- 51.143. Векторы
- Нахождение координат вектора
- Нахождение координат вектора
- Примеры задач
- Геометрия
- Прямоугольная система координат
- Координаты вектора
- Координаты середины отрезка
- Вычисление длины векторов и расстояния между точками
- Коллинеарность векторов
- Определение компланарности векторов
- Скалярное произведение векторов
- 📹 Видео
Видео:Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать
51.143. Векторы
ОСИ КООРДИНАТ:
Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».
- ось x — ось абсцисс;
- ось y — ось ординат,
- точка О — начало координат.
Любой точке плоскости сопоставляются два числа:
Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.
ВЕКТОР:
Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.
Пусть имеются две точки:
Тогда мы имеем вектор $,overline $, который обозначим за $overline a.$
На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.
Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:
Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $overline a$ его координатами будут: $(a_x;,a_y).$ Свойства координат вектора:
- Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
- У равных векторов соответствующие координаты равны.
Нахождение координат вектора:
Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y)colon$
То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$
Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.
Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.
Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y;,a_z)$:
$begin&a_x = x_2-x_1 \ &a_y = y_2-y_1 \ &a_z = z_2 — z_1end$
То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$
Модуль вектора $overline acolon$
СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:
Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:
1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.
2. Разделить на два.
НА ПЛОСКОСТИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
O — середина вектора $,overline $
ВИДЫ ВЕКТОРОВ:
Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.
Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.
Коллинеарные и компланарные векторы
Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой.
Два коллинеарных вектора $|overline a| и |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу:
Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости.
В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:
НА ПЛОСКОСТИ | В ПРОСТРАНСТВЕ | |
Координаты вектора $overline $ | Сложение векторов: $overline =overline a + overline b$ | |
$x$ | $c_x = a_x + b_x$ | $c_x = a_x + b_x$ |
$y$ | $c_y = a_y + b_y$ | $c_y = a_y + b_y$ |
$z$ | — | $c_z = a_z + b_z$ |
Координаты вектора $overline $ | Вычитание векторов: $overline =overline a — overline b$ | |
$x$ | $c_x = a_x — b_x$ | $c_x = a_x — b_x$ |
$y$ | $c_y = a_y — b_y$ | $c_y = a_y — b_y$ |
$z$ | — | $c_z = a_z — b_z$ |
Координаты вектора $overline $ | Умножение вектора на число: $overline b = lambdaoverline a$ | |
$x$ | $overline b_x = lambda a_x$ | $overline b_x = lambda a_x$ |
$y$ | $overline b_y = lambda a_y$ | $overline b_y = lambda a_y$ |
$z$ | — | $overline b_z = lambda a_z$ |
Значение числа $s$ | Скалярное умножение векторов: $s = overline acdotoverline b$ | |
$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y$ | $s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y + a_z!cdot b_z$ |
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:
СЛОЖЕНИЕ
Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $overline = overline a + overline b$.
$<mathbf >\ Для любых трёх точек A,,B,,C справедливо соотношениеcolon overline+,overline=,overline!.$
$<mathbf >\Разность двух векторов overline a и overline b;— это вектор overline , который в сумме с вектором overline b даёт вектор overline a \ overline b + overline = overline aquadRightarrowquadoverline = overline a — overline b$
$Вектор overline можно найти также, складывая с вектором overline a вектор bigl(-overline bbigr), противоположный вектору overline bcolon \ overline = overline a + bigl(-overline bbigr)$
Видео:Координаты середины отрезкаСкачать
Нахождение координат вектора
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
Видео:Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
<table data-id="254" data-view-id="254_31110" data-title="Координаты вектора" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> AB = <Bx — Ax; By — Ay>
<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> » data-order=» AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az> «> AB = <Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az>
<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> » data-order=» AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An> «> AB = <B1 — A1; B2 — A2; . Bn — An>
Видео:Координаты вектора. 9 класс.Скачать
Примеры задач
Задание 1
Найдем координаты вектора AB , если у его точек следующие координаты: , .
Задание 2
Определим координаты точки B вектора , если координаты точки .
Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = AB x + Ax = 6 + 2 = 8.
By = AB y + Ay = 14 + 5 = 19.
Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Геометрия
Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке
Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера
. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке
Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке
План урока:
Видео:Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать
Прямоугольная система координат
В планиметрии мы уже рассматривали прямоугольную систему координат. Ее образовывали 2 перпендикулярные друг другу оси – Ох и Оу. С ее помощью можно было определить положение любой точки на координатной плоскости, просто указав две ее координаты – абсциссу х и ординату у.
В стереометрии необходимо определять положение точки уже не на плоскости, а в пространстве. Для этого добавляется третья ось Оz, которую ещё называют осью апликат. Каждые пара осей образует свою отдельную координатную плоскость, всего получается три таких плос-ти: Оху, Охz и Oуz.
Точка О именуется началом координат. Она делит каждую ось на два луча, один из которых – это положительная полуось, а второй – отрицательная полуось.
Для каждой точки в пространстве можно указать три координаты, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Пусть в пространстве есть некоторая точка М. Опустим из нее перпендикуляры на координатные плоскости. В свою очередь из этих проекций точки М опустим перпендикуляры уже на координатные оси. В результате будет построен прямоугольный параллелепипед. Измерения этого параллелепипеда и будут координатами точки М:
Если точка M находится в одной из координатных плоскостей, то одна из ее координат будет нулевой. Например, если М принадлежит плоскости Охz, то нулю будет равна координата у. Если же точка располагается на одной из координатных осей, то у нее уже две координаты будут нулевыми. Так, если точка находится на оси Ох, то только координата х может быть ненулевой, а у и z окажутся нулевыми координатами.
На показанном рисунке ребра параллелепипеда лежат на положительных полуосях, поэтому все координаты положительны. Если же какие-то ребра будут лежать на отрицательных полуосях, то и соответствующие координаты будут отрицательными.
Видео:Как построить точки в системе координат OXYZСкачать
Координаты вектора
Введем в пространстве прямоугольную систему коорд-т, а далее от ее начала отложим вектора i, j и k, которые соответственно будут лежать на координатных осях Ох, Оу и Оz, и длина которых составит единицу. Эти вектора именуют координатными векторами, единичными векторами или просто ортами.
Ясно, что орты находятся в разных плоскостях, то есть они образуют тройку некомпланарных векторов. Это означает, что любой вектор а в пространстве можно разложить на орты:
где х, у и z – какие-то действительные числа. Они как раз и считаются координатами вектора а. Записываются коорд-ты вектора в фигурных скобках. На следующем рисунке показан вектор а.
Задание. Разложите на орты вектор
Если начало вектора ОМ располагается в начале системы координат О, то вектор ОМ именуют радиус-вектором. В таком случае коорд-ты точки конца вектора, то есть точки М, совпадают с коорд-тами самого вектора ОМ.
Это свойство радиус-вектора мы уже изучали в 9 классе в планиметрии, и в стереометрии оно сохраняется.
Задание. О – начало координат, а точка М имеет коорд-ты (2; 5; – 3). Найдите коорд-ты вектора ОМ.
Решение. Всё очень просто – коорд-ты вектора будут совпадать с коорд-тами его конца, так его начало совпадает с началом коорд-т:
Также в стереометрии остаются справедливыми ещё несколько правил, которые были доказаны в курсе планиметрии:
Задание. Найдите сначала сумму, а потом разность векторов а и b.
Решение. Будем обозначать коорд-ты векторов через индексы. Например, коорд-ты вектора а – это ха, уа и zа. Пусть сумма векторов будет вектором с, а их разность – вектором d. Для вычисления суммы надо складывать соответствующие координаты:
Для вычисления разности надо из коорд-т вектора а вычитать коорд-ты вектора b:
Задание. Вычислите коорд-ты вектора р, зная, что:
Решение. Для вычисления координат надо в выражении для вектора р сами векторы заменить на их координаты:
Получается, что вектор p имеет координаты .
Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение, уже известное из курса планиметрии:
Действительно, пусть есть некоторый вектор АВ, причем коорд-ты точек А и В известны. Построим радиус-вектора OА и OВ:
Координаты радиус-векторов будут совпадать с координатами их концов:
Задание. Определите коорд-ты вектора CD, если даны коорд-ты точек С и D: С(3; 8; – 5) и D(5; 4; 1).
Решение. Здесь надо просто из коорд-т точки D, являющейся концом вектора, вычесть коорд-ты точки С:
Задание. От точки K(10; 6; 13) отложен вектор m, конец совпал в точку H. Найдите коорд-ты точки H.
Решение. Коорд-ты вектора m и его концов связаны формулами:
Видео:Как найти координаты вектора?Скачать
Координаты середины отрезка
Пусть в пространстве есть отрезок АВ, и координаты его концов известны. Точка М – середина этого отрезка. Как вычислить ее координаты? Рассмотрим взаимосвязь векторов АМ, МВ и АВ:
Раз М – середина АВ, то вектора АМ и МВ имеют равные длины, и при этом они находятся на одной прямой. Значит, эти вектора равны и потому у них одинаковые коорд-ты:
Аналогично можно получить аналогичные формулы для коорд-т у и z:
Рассмотрим несколько задач на координаты точек.
Задание. Найдите коорд-ты середины отрезка, соединяющего точки А(3; 7; 12) и В(1; 5; – 4).
Решение. Просто используем только что выведенные формулы. Середину также обозначаем буквой М:
Задание. Известно, что K середина отрезка CD. Даны координаты точек С и K: С(12; 9; – 3) и K(15; 7; 3). Найдите коорд-ты D.
Решение. Сначала запишем формулу для коорд-ты х:
Видео:9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Вычисление длины векторов и расстояния между точками
Рассмотрим радиус-вектор ОМ с коорд-тами . Попытаемся найти его длину. Мы можем построить прямоугольный параллелепипед, в котором этот вектор окажется диагональю:
Напомним, что квадрат длины диагонали в прямоугольном параллелепипеде равен сумме квадратов его измерений. Но в полученном параллелепипеде измерения – это коорд-ты х, у и z, поэтому можно записать:
Так как равные вектора имеют как одинаковы и коорд-ты, и длина, то ясно, что каждый вектор с коорд-тами будет равен рассмотренному радиус-вектору, а значит и его длина будет рассчитываться по такой же формуле.
Задание. Найдите длину вектора m.
Решение. Просто используем формулу:
Рассмотрим отрезок АВ с известными коорд-тами его концов. Можно построить вектор АВ, его коорд-ты будут определяться так:
Задание. Найдите расстояние между точкой K(10; 15; 5) и M(16; 21; – 2).
Решение. Просто подставляем коорд-ты точек в формулу:
Задание. Найдите длину медианы KM в ∆ KPN, если известны коорд-ты его вершин: P(2; 5; 8), N (6; 9; 12) и K(16; 11; 13).
Решение. Для нахождения длины медианы достаточно знать коорд-ты ее концов. Коорд-ты K уже известны, а M – середина PN, что позволяет вычислить и ее коорд-ты:
Видео:Координаты середины отрезка. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Коллинеарность векторов
Напомним, что если два вектора а и b коллинеарны друг другу, то должно существовать такое число k, что
Полученное отношение (1) является одновременно и признаком коллинеарных векторов, и их свойством. Слово «признак» означает, что любые вектора, чьи координаты соответствуют условию (1), будут коллинеарны. Слово «свойство» означает обратное – если известно, что вектора коллинеарны, то для них обязательно выполняется условие (1). В таких случаях в математике может использоваться словосочетание «тогда и только тогда»:
Очень важно то, что это правило действует только в случае, если все коорд-ты векторов ненулевые. Теперь рассмотрим случай, когда какие-то коорд-ты вектора b (одна или две из них) равны нулю. Например, пусть
В результате мы выяснили, что если коорд-та одного вектора нулевая, то и у любого вектора, коллинеарному ему, эта же коорд-та также должна быть нулевой. Особняком стоит случай с нулевым вектором с коорд-тами . Он условно признается коллинеарным любому вектору.
Задание. Выясните, какие из этих пар векторов коллинеарны:
Решение. В первом задании просто делим друг на друга соответствующие коорд-ты и находим значение коэффициента k:
Значение коэффициента k оказалось одинаковым для каждой пары коорд-т, значит, вектора коллинеарны.
Повторяем эти действия в задании б):
На этот раз коэффициенты k оказались различными, значит, вектора неколлинеарны.
В задании в) у вектора е коорд-та z нулевая. Значит, если и у вектора f, если он коллинеарен z, эта координата должна быть нулевой, но это не так. Значит, вектора e и f неколлинеарны.
В задании г) снова указаны вектора с нулевыми коорд-тами. Но у обоих векторов коорд-та z нулевая, поэтому они могут быть коллинеарными. Однако необходимо проверить, что отношение ненулевых координат одинаково:
Коэффициент k получился одинаковым, поэтому вектора коллинеарны.
В последнем задании д) вектор n – нулевой, ведь все его коорд-ты нулевые. Нулевой вектор всегда коллинеарен другим векторам, в том числе и в этом задании.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет; г) да; д) да.
Задание. Выясните, располагаются ли на одной прямой точки А(3; 5; 12), В(5; 7; 16) и С(0; 2; 6).
Решение. Ясно, что если эти точки находятся на одной прямой, то вектора АВ и ВС будут коллинеарными. Если же эти вектора неколлинеарны, то и точки должны находиться на разных прямых.
Сначала вычислим коорд-ты векторов АВ и ВС:
Теперь проверяем, коллинеарны ли эти вектора:
Коэффициенты k одинаковы, а потому АВ и ВС – коллинеарные векторы. Значит, точки А, В и С находятся на одной прямой.
Видео:11 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать
Определение компланарности векторов
Пусть у нас есть три вектора с известными коорд-тами:
Как определить, компланарны ли эти вектора, то есть располагаются ли они в одной плоскости? Если эти вектора компланарны, то, по признаку компаланарности, вектор а можно разложить на вектора b и с:
где х и y – некоторые числа. Но если такое разложение существует, то коорд-ты векторов а, b и с будут связаны равенствами:
Получили систему из 3 уравнений с двумя неизвестными (х и y). Если такая система имеет решение, то вектора компланарны. Если же решения нет, то вектора не компланарны.
Задание. Определите, компланарны ли вектора
Имеем систему с тремя уравнениями. Из последних двух уравнений очевидно, что его решением может быть только пара чисел:
Значит, рассмотренная тройка векторов компланарна.
Задание. Располагаются ли в одной плос-ти вектора:
Решение. Нам надо проверить компаланарность векторов, поэтому действуем также, как и в предыдущей задаче. Если вектора компланарны, то существует разложение:
Получилось неверное равенство. Это означает, что у системы уравнений решения нет, и потому тройка векторов некомпланарна.
Видео:КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ решение задачСкачать
Скалярное произведение векторов
В 9 классе мы уже изучали скалярное произведение векторов.
Для нахождения угла между векторами необходимо отложить их от одной точки, тогда они образуют такой угол.
Задание. Угол между векторами с и d составляет 60°, а их длины соответственно равны 5 и 6. Найдите их скалярное произведение.
Решение. Здесь для расчета просто перемножаем длины векторов и косинус 60°:
Напомним несколько уже известных нам фактов о скалярном произведении, остающихся верными и в стереометрии:
Формула для расчета скалярного произведения по коорд-там векторов, используемая в стереометрии, несколько отличается от формулы из курса планиметрии. Напомним, что в планиметрии произведение векторов а<xа; уа> и b<хb; yb> можно было рассчитать так:
Задание. Вычислите скалярное произведение векторов:
На практике скалярное произведение обычно используется для расчета углов между векторами, а также отрезками и прямыми. Рассмотрим несколько задач.
Задание. Вычислите угол между векторами:
Теперь через скалярное произведение возможно рассчитать косинус искомого нами угла, а затем и сам угол, который мы обозначим как α:
Задание. Рассчитайте углы в ∆АВС, зная коорд-ты его вершин: А(1; – 1; 3), В(3; – 1; 1) и С(– 1; 1; 3).
Решение. Чтобы найти ∠В, необходимо просто рассчитать угол между векторами ВС и ВА также, как это сделано в предыдущей задаче. Но сначала найдем коорд-ты векторов ВС и ВА и их длины:
Далее рассчитываем скалярное произведение векторов:
Теперь найдем угол А, который представляет собой угол между векторам AВ и AС. Вектор AВ – это вектор, противоположный ВA, то у него та же длина, но противоположный знак у коорд-т:
Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 ребра имеют длину:
Рассчитайте угол между векторами DB1 и BC1.
Решение. Введем систему коорд-т Охуz и расположим в нем параллелепипед следующим образом:
При этом построении граничные точки векторов будут иметь следующие коорд-ты:
Находим коорд-ты векторов, а также их длины:
Рассчитываем скалярное произведение DB1 и BC1:
Получили ноль. Из этого вытекает, что вектора перпендикулярны, то есть искомый нами угол составляет 90°.
Сегодня мы научились использовать координаты для решения стереометрических задач. Почти все формулы, используемые в методе координаты, аналогичны тем формулам, которые были выведены ещё в курсе планиметрии. Надо лишь учитывать существование ещё одной, третьей координаты z.
📹 Видео
Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать
№934. Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), B (-2; 7);Скачать
90. Координаты вектораСкачать
Расстояние между двумя точками. Координаты середины отрезка.Скачать
Координаты в новом базисеСкачать
Длина вектора через координаты. 9 класс.Скачать
Координаты середины отрезка. Формула. Геометрия 9 класс.Скачать