Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Пересечение двух окружностей

Этот онлайн калькулятор находит точки пересечения двух окружностей, если они существуют

Чтобы использовать калькулятор, введите координаты x и y центра и радиус каждой окружности.

Формулы для расчета приведены под калькулятором.

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Точки пересечения двух окружностей

Первая окружность

Вторая окружность

Видео:Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностей

Пересечение окружностей

Сама по себе задача нахождения точек пересечения двух окружностей достаточно проста, однако предварительно надо проанализировать если ли вообще точки пересения у данных двух окружностей. Поэтому начать надо с вычисления расстояния d в декартовых координатах между центрами окружностей и сравнения его с радиусами окружностей r1 и r2.

При этом возможно следующие случаи (расстояние между центрами показано красным отрезком):

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

СлучайОписаниеУсловие
Тривиальный случай — окружности совпадают (это одна и та же окружность)
Окружности не касаются друг другаr1 + r2″ />
Одна окружность содержится внутри другой и не касается ее
Окружности пересекаются в двух точкахНе выполнено ни одно из условий выше
Окружности соприкасаются в одной точкеЧастный случай предыдущего

Если окружности действительно пересекаются, калькулятор использует следующие формулы (в-основном выведенные из теоремы Пифагора), проиллюстрированные рисунком ниже:

Сначала калькулятор находит отрезок a

Чтобы найти точку P3, калькулятор использует следующую формулу (в векторном виде):

И наконец, чтобы найти точки пересечения, калькулятор использует следующие уравнения:
Первая точка:

Обратите внимание на разные знаки перед вторым слагаемым

По теме также можно посмотреть следующие ссылки (на английском языке): Circle-Circle Intersection и Circles and spheres

Видео:Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Координаты пересечения двух окружностей

Координаты центра первой окружности, через пробел
Радиус первой окружности
Координаты центра второй окружности, через пробел
Радиус второй окружности
Координата первого пересечения
Координата второго пересечения

Продолжим изучение геометрии и в этом материале мы рассмотрим, как находить координаты пересечения двух окружностей, если заданы их уравнения.

Определение координат двух окружностей на плоскости можно свести к более простым задачам которые мы можем уже решать или понимаем, как их решать.

Пусть Две окружности заданы своими двумя уравнениями

Как найти координаты точек пересечения двух окружностей

Повернем изображение на такой угол, что бы линия соединяющая центры окружностей, совпадала с осью абсцисс.

Кроме этого перенесем всю схему таким образом, что бы центр одной из окружностей совпал с началом координат.

Как найти координаты точек пересечения двух окружностейТеперь мы можем решить данную задачу по несложной формуле.

Как найти координаты точек пересечения двух окружностейКак найти координаты точек пересечения двух окружностей

И алгоритм следующий:

1. Приводим ( линейным смещением) центр первой окружности к координатам (0,0)

3. Определяем угол (W) прямой, проходящей между точками A и C

4. Определяем два угла (psi_1) как сумму и (psi_2) как разность углов W и F

5. Взяв для каждого из углов (в п. 4), синус и умножив на радиус первой окружности мы узнаем координату Y , взяв косинус мы узнаем координату X.

6. Делаем для двух полученных координат, обратное смещение.

Видео:Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

Пересечение двух окружностей

Даны две окружности, каждая определена координатами своего центра и радиусом. Требуется найти все их точки пересечения (либо одна, либо две, либо ни одной точки, либо окружности совпадают).

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Решение

Предположим, не теряя общности, что центр первой окружности — в начале координат (если это не так, то перенесём центр в начало координат, а при выводе ответа будем обратно прибавлять координаты центра). Тогда мы имеем систему двух уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от квадратов переменных:

Таким образом, мы свели задачу о пересечении двух окружностей к задаче о пересечении первой окружности и следующей прямой:

А решение последней задачи описано в соответствующей статье.

Единственный вырожденный случай, который надо рассмотреть отдельно — когда центры окружностей совпадают. Действительно, в этом случае вместо уравнения прямой мы получим уравнение вида 0 = С, где C — некоторое число, и этот случай будет обрабатываться некорректно. Поэтому этот случай нужно рассмотреть отдельно: если радиусы окружностей совпадают, то ответ — бесконечность, иначе — точек пересечения нет.

📽️ Видео

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать

Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.Образовательный

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.Скачать

№976. Найдите координаты точки пересечения прямых 4x + 3y-6 = 0 и 2х+у-4 = 0.

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

Определение точки пересечения окружности с прямойСкачать

Определение точки пересечения окружности с прямой

Найти координаты точки пересечения прямыхСкачать

Найти координаты точки пересечения прямых

Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.Скачать

Не выполняя построения графиков, найдите координаты точки пересечения прямых. Алгебра 7 класс.

Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координатСкачать

Нахождение координат точек пересечения графика функции с осями координат

8 класс. Найти координаты точек пересечения параболы с осями координатСкачать

8 класс. Найти координаты точек пересечения  параболы с осями координат

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружностиСкачать

Взаимное расположение и точки пересечения прямой и окружности

Геометрия Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополамСкачать

Геометрия Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам
Поделиться или сохранить к себе: