Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу: 4 способа поиска ответа

После изучения темы про прямоугольные треугольники ученики часто выбрасывают из головы всю информацию о них. В том числе и то, как найти гипотенузу, не говоря уже о том, что это такое.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

И напрасно. Потому что в дальнейшем диагональ прямоугольника оказывается этой самой гипотенузой, и ее нужно найти. Или диаметр окружности совпадает с самой большой стороной треугольника, один из углов которого прямой. И найти ее без этого знания невозможно.

Существует несколько вариантов того, как найти гипотенузу треугольника. Выбор метода зависит от исходного набора данных в условии задачи величин.

Видео:Найдите гипотенузуСкачать

Найдите гипотенузу

Способ под номером 1: даны оба катета

Это самый запоминающийся метод, потому что использует теорему Пифагора. Только иногда ученики забывают, что по этой формуле находится квадрат гипотенузы. Значит, чтобы найти саму сторону, нужно будет извлечь квадратный корень. Поэтому формула для гипотенузы, которую принято обозначать буквой «с», будет выглядеть так:

с = √ (а 2 + в 2 ), где буквами «а» и «в» записаны оба катета прямоугольного треугольника.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Способ под номером 2: известен катет и угол, который к нему прилежит

Для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить тригонометрические функции. А именно косинус. Для удобства будем считать, что даны катет «а» и прилежащий к нему угол α.

Теперь нужно вспомнить, что косинус угла прямоугольного треугольника равен отношению двух сторон. В числителе будет стоять значение катета, а в знаменателе — гипотенузы. Из этого следует, что последнюю можно будет сосчитать по формуле:

с = а / cos α.

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Способ под номером 3: даны катет и угол, который лежит напротив него

Чтобы не запутаться в формулах, введем обозначение для этого угла — β, а сторону оставим прежнюю «а». В этом случае потребуется другая тригонометрическая функция — синус.

Как и в предыдущем примере, синус равен отношению катета к гипотенузе. Формула этого способа выглядит так:

с = а / sin β.

Для того чтобы не запутаться в тригонометрических функциях, можно запомнить простое мнемоническое привило: если в задаче идет речь о противолежащем угле, то нужно использовать синус, если — о прилежащем, то косинус. Следует обратить внимание на первые гласные в ключевых словах. Они образуют пары о-и или и-о.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Способ под номером 4: по радиусу описанной окружности

Теперь, для того чтобы узнать, как найти гипотенузу, потребуется вспомнить свойство окружности, которая описана около прямоугольного треугольника. Оно гласит следующее. Центр окружности совпадает с серединой гипотенузы. Если сказать по-другому, то самая большая сторона прямоугольного треугольника равна диагонали окружности. То есть удвоенному радиусу. Формула для этой задачи будет выглядеть так:

с = 2 * r, где буквой r обозначен известный радиус.

Это все возможные способы того, как находить гипотенузу прямоугольного треугольника. Пользоваться в каждой конкретной задаче нужно тем методом, который больше подходит по набору данных.

Видео:№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,Скачать

№693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника,

Пример задачи №1

Условие: в прямоугольном треугольнике проведены медианы к обоим катетам. Длина той, которая проведена к большей стороне, равна √52. Другая медиана имеет длину √73. Требуется вычислить гипотенузу.

Так как в треугольнике проведены медианы, то они делят катеты на два равных отрезка. Для удобства рассуждений и поиска того, как найти гипотенузу, нужно ввести несколько обозначений. Пусть обе половинки большего катета будут обозначены буквой «х», а другого — «у».

Теперь нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника, гипотенузами у которых являются известные медианы. Для них нужно дважды записать формулу теоремы Пифагора:

(2у) 2 + х 2 = (√52) 2

(у) 2 + (2х) 2 = (√73) 2 .

Эти два уравнения образуют систему с двумя неизвестными. Решив их, легко можно будет найти катеты исходного треугольника и по ним его гипотенузу.

Сначала нужно все возвести во вторую степень. Получается:

Из второго уравнения видно, что у 2 = 73 — 4х 2 . Это выражение нужно подставить в первое и вычислить «х»:

4(73 — 4х 2 ) + х 2 = 52.

292 — 16 х 2 + х 2 = 52 или 15х 2 = 240.

Из последнего выражения х = √16 = 4.

Теперь можно вычислить «у»:

у 2 = 73 — 4(4) 2 = 73 — 64 = 9.

По данным условия получается, что катеты исходного треугольника равны 6 и 8. Значит, можно воспользоваться формулой из первого способа и найти гипотенузу:

√(6 2 + 8 2 ) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: гипотенуза равна 10.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Видео:Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

Пример задачи №2

Условие: вычислить диагональ, проведенную в прямоугольнике с меньшей стороной, равной 41. Если известно, что она делит угол на такие, которые соотносятся как 2 к 1.

В этой задаче диагональ прямоугольника является наибольшей стороной в треугольнике с углом 90º. Поэтому все сводится к тому, как найти гипотенузу.

В задаче идет речь об углах. Это значит, что нужно будет пользоваться одной из формул, в которых присутствуют тригонометрические функции. А сначала требуется определить величину одного из острых углов.

Пусть меньший из углов, о которых идет речь в условии, будет обозначен α. Тогда прямой угол, который делится диагональю, будет равен 3α. Математическая запись этого выглядит так:

Из этого уравнения просто определить α. Он будет равен 30º. Причем он будет лежать напротив меньшей стороны прямоугольника. Поэтому потребуется формула, описанная в способе №3.

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, то есть:

Видео:Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71Скачать

Задача 6 №27624 ЕГЭ по математике. Урок 71

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностиДано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностиAK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностиДано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

1) Проведем отрезки OK и OF.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностиЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

3. Теорема Пифагора:

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности, где Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности– катеты, Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности– гипотенуза. Видеодоказательство

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

4. Площадь Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностипрямоугольного треугольника с катетами Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности:

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

5. Высота Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностипрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностии гипотенузу Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностиследующим образом:

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

7. Радиус Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностиописанной окружности есть половина гипотенузы Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности:

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностивписанной окружности выражается через катеты Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностии гипотенузу Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружностиследующим образом:

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника зная радиус вписанной окружности

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

💥 Видео

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Важная формула для ЕГЭ! Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольникаСкачать

Важная формула для ЕГЭ! Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника

ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решенияСкачать

ЕГЭ задание 16 Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника. Разные способы решения

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1Скачать

Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1
Поделиться или сохранить к себе: