Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Как найти диаметр окружности описанной около квадратаКак найти диаметр окружности описанной около квадратаКак найти диаметр окружности описанной около квадратаКак найти диаметр окружности описанной около квадратаКак найти диаметр окружности описанной около квадратаКак найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата
Как найти диаметр окружности описанной около квадрата.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Ответ: Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Ответ: Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Ответ: Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата
Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(5)

Из формулы (5) найдем R:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата
Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Как найти диаметр окружности описанной около квадрата, получим:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Ответ: Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата
Как найти диаметр окружности описанной около квадрата.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Как найти диаметр окружности описанной около квадратаНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Как найти диаметр окружности описанной около квадратав (8), получим:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Ответ: Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Schimbă-ți viziunea și viața ti se va schimba | Vladimir DubkovskiyСкачать

Schimbă-ți viziunea și viața ti se va schimba | Vladimir Dubkovskiy

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(9)

где Как найти диаметр окружности описанной около квадрата− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Как найти диаметр окружности описанной около квадрата. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Как найти диаметр окружности описанной около квадратав (9), получим:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Ответ: Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Как найти диаметр окружности описанной около квадратаКак найти диаметр окружности описанной около квадрата(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Как найти диаметр окружности описанной около квадратаКак найти диаметр окружности описанной около квадрата(13)

Из (13) следует, что

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Нахождение радиуса описанной вокруг квадрата окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около квадрата. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Через сторону квадрата

Радиус R окружности, описанной около квадрата, равняется длине его стороны a, умноженной на квадратный корень из двух и деленной на два.

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Через диагональ квадрата

Радиус R описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали d.

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Примеры задач

Задание 1

Длина стороны квадрата равняется 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Применим первую формулу, рассмотренную выше:

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Задание 2

Вычислите длину диагонали квадрата, если радиус описанной вокруг него окружности составляет 6 см.

Как мы знаем, радиус описанной окружности равняется половине диагонали квадрата. Следовательно, общая длина диагонали равняется 12 см (6 см ⋅ 2).

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Найти диагональ квадрата или диаметр описанной окружности. Калькулятор и формулы

Быстро найти диагональ квадрата, которая также является диаметром описанной окружности при наличии последней, можно при помощи этого онлайн-калькулятора. Для этого просто впишите одно из известных значений, будь то площадь квадрата, периметр, одну из сторон или радиусы вписанной/описанной окружностей, в свободную ячейку и нажмите на кнопку “Рассчитать”. В результате отобразится не только диагональ квадрата, но и все вышеперечисленные значения.

Как найти диаметр окружности описанной около квадрата

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

🎦 Видео

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО КВАДРАТА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 классСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ КРУГА, ОПИСАННОГО ОКОЛО КВАДРАТА? Примеры | ГЕОМЕТРИЯ 9 класс

1742. Названия основных геометрических фигур на иврите: мэшулаш, рибУа, мэруба, мэуйан, кадурСкачать

1742. Названия основных геометрических фигур на иврите: мэшулаш, рибУа, мэруба, мэуйан, кадур

17 задание ОГЭ по математикеСкачать

17 задание ОГЭ по математике

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга
Поделиться или сохранить к себе: