Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 18°. Длина меньшей дуги AB равна 5. Найдите длину большей дуги окружности.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

∠ AOB = 18°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 18/360 = 1/20 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/20 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 19/20 окружности.

1/20 окружности соответствует длине дуги, равной 5. Тогда длина большей дуги равна 5*19 = 95.

Задача 10 (ОГЭ — 2015)

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠ AOB = 40°. Длина меньшей дуги AB равна 50. Найдите длину большей дуги окружности.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

∠ AOB = 40°. Вся окружность составляет 360°. Поэтому ∠ AOB составляет 40/360 = 1/9 окружности.

Значит, и меньшая дуга AB составляет 1/9 всей окружности, поэтому большая дуга — это остальная часть, т.е. 8/9 окружности.

1/9 окружности соответствует длине дуги, равной 50. Тогда длина большей дуги равна 50*8 = 400.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AOB получим:

AO 2 = OB 2 +AB 2 ,

AO 2 = 27 2 +36 2 = 729+1296 = 2025,

Тогда диаметр равен 2R = 2*45 = 90.

Задача 10 (ГИА — 2014)

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 134° и ∠OAB = 75°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

∠ABC — вписанный, а значит равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому большая дуга AC = 2*134 = 268°.

Тогда дуга ABC = 360° — 268° =92°.

∠AOC = 92°,так как он является центральным углом и опирается на дугу ABC.

Сумма углов в выпуклом четырехугольнике равна 360°, откуда получаем:

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаОсновные определения и свойства. Число π
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаФормулы для площади круга и его частей
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаФормулы для длины окружности и ее дуг
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаПлощадь круга
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаДлина окружности
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаДлина дуги
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаПлощадь сектора
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дугаПлощадь сегмента

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
ДугаКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
КругКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
СекторКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
СегментКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Правильный многоугольникКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Окружность
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Формулы для площади круга и его частей

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в градусах

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Площадь сектораКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Площадь сегментаКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Площадь круга
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в радианах

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Длина дугиКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга
Длина окружности
Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиКак найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

если величина угла α выражена в радианах

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИСкачать

НАЙДИ ДЛИНУ БОЛЬШЕЙ ДУГИ

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Длина окружности

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

из которой вытекает равенство:

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

из которой вытекает равенство:

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Видео:Задание 16 из ОГЭ. Найдите длину большей дуги.Скачать

Задание 16 из ОГЭ. Найдите длину большей дуги.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

из которой вытекает равенство:

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

из которой вытекает равенство:

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Как найти длину дуги окружности

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Формула для нахождения длины дуги окружности довольно проста, и очень часто на важных экзаменах типа ЕГЭ встречаются такие задачи, которые невозможно решить без ее применения. Также необходимо ее знать для сдачи международных стандартизированных тестов, например SAT и других.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Чему равна длина дуги окружности?

Формула выглядит следующим образом:

Что собой представляет каждый из элементов формулы:

  • l — длина дуги окружности;
  • π — число Пи (постоянная величина, равная ≈ 3,14);
  • r — радиус данной окружности;
  • α — величина угла, на который опирается дуга (центральный, а не вписанный).

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Как видно, чтобы решить задачу, в условии должны присутствовать r и α. Без этих двух величин длину дуги найти невозможно.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Каким образом выводится эта формула и почему она так выглядит?

Все предельно легко. Станет намного понятнее, если в знаменателе поставить 360°, а в числителе спереди добавить двойку. Также можно α не оставить в дроби, вывести ее и написать со знаком умножения. Это вполне можно себе позволить, так как данный элемент стоит в числителе. Тогда общий вид станет таким:

Просто для удобства сократили 2 и 360°. А теперь, если приглядеться, то можно заметить очень знакомую формулу длины всей окружности, а именно — 2πr. Весь круг состоит из 360°, потому мы делим полученную меру на 360 частей. Затем мы умножаем на число α, то есть на то количество «кусков пирога», которое нам требуется. Но всем доподлинно известно, что число (то есть длина всей окружности) не может делиться на градус. Что же делать в таком случае? Обычно, как правило, градус сокращается с градусом центрального угла, то есть с α. После же остаются только числа, а в итоге получается конечный ответ.

Как найти большую дугу окружности если известна меньшая дуга

Этим можно объяснить то, почему длина дуги окружности находится таким образом и имеет такой вид.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Пример задачи средней сложности с применением данной формулы

Условие: Имеется окружность с радиусом 10 сантиметров. Градусная мера центрального угла составляет 90°. Найти длину дуги окружности, образованную этим углом.

Решение: l = 10π × 90° / 180° = 10π × 1 / 2=5π

Также возможно, чтоб вместо градусной меры давалась бы радианная мера угла. Ни в коем случае не стоит пугаться, ведь на сей раз задача стала намного легче. Чтобы перевести радианную меру в градусную, нужно данное число умножить на 180° / π. Значит, теперь можно подставить вместо α следующую комбинацию: m × 180° / π. Где m — это радианное значение. А дальше 180 и число π сокращаются и получается совершенно упрощенная формула, которая выглядит следующим образом:

  • l — длина дуги окружности;
  • m — радианная мера угла;
  • r — радиус данной окружности.

💡 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружностиСкачать

На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружности

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Как брать неберущийся интеграл Задача Найти длину дуги параболыСкачать

Как брать неберущийся интеграл Задача Найти длину дуги параболы
Поделиться или сохранить к себе: