В геометрии первая фигура, которую школьники начинают изучать, это треугольник. Он является одним из самых распространенных и простых замкнутых объектов. Знание свойств фигуры и необходимых теорем позволяет решать разные задачи о том, как найти третью сторону треугольника на плоскости.
- Фигура из шести элементов
- Дополнительные отрезки
- Виды треугольников
- Основные свойства и понятия
- Важные теоремы
- Примеры решения задач
- Квадрат и его диагональ
- Две высоты и угол
- Решение треугольников онлайн
- Решение треугольника по трем сторонам
- Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
- Решение треугольника по стороне и любым двум углам
- Все формулы для треугольника
- 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
- 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
- 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
- 4. Найти длину высоты треугольника
- 💥 Видео
Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Фигура из шести элементов
Под геометрическим элементом полагают какой-либо объект, который имеет определенную меру и является составляющей частью некоторой фигуры. Например, для сферы основными образующими элементами являются радиус и центр.
Как известно, треугольник — это фигура, которая состоит из трех отрезков и такого же количества вершин. При этом все отрезки попарно пересекаются. Из определения фигуры следует, что ее образуют два типа элементов, общее количество которых составляет 6:
- сторона (3);
- вершина (3).
Обычно треугольник обозначают большими латинскими буквами, например, ABC, PQM и так далее. Каждая буква — это название вершины (точка пересечения двух отрезков). AB, BC и CA, которые являются длинами сторон, принято обозначать маленькими латинскими буквами по названию противоположных им вершин, то есть c, a и b, соответственно.
Дополнительные отрезки
Несмотря на всю простоту построения фигуры, она обладает большим количеством дополнительных элементов, которые ее могут определять. Среди них самыми важными являются следующие:
Виды треугольников
Разработана достаточно развитая классификация рассматриваемых фигур. Главными ее пунктами являются значения углов треугольника и взаимоотношение между его отрезками. Так, если в фигуре все углы острые, то она называется остроугольной. Если же один из углов больше 90 °, то треугольник полагается тупоугольным. Чаще всего в задачах рассматривают следующие виды:
Основные свойства и понятия
Треугольник является одной из самых изученных фигур в геометрии. Для него известны многие теоремы, которые с успехом используются при решении задач. Существует два основных свойства фигуры, которые следуют из характеристик евклидового пространства:
Помимо названных свойств, следует знать о треугольнике еще такое понятие, как подобие. Его суть состоит в том, что одна из рассматриваемых фигур является точной копией в миниатюре другой. Для подобных треугольников все углы равны попарно, а все три стороны относятся соответственно попарно друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия.
Еще одной полезной характеристикой рассматриваемой фигуры является ее качество (CT). Вычисляется оно по следующей формуле:
CT = (a + b — c)*(b + c — a)*(c + a — b)/(a*b*c).
Величина CT лежит в пределах от 0 до 1. Она показывает степень близости фигуры к равностороннему, то есть к наиболее симметричному объекту. Если CT 0,5, то фигура характеризуется, как имеющая хорошее качество.
Величина CT применяется для алгоритмов, которые разделяют какую-либо изучаемую геометрическую поверхность на сетку треугольников. Если в этой сетке генерируется много низкокачественных фигур, то будет велика ошибка аппроксимации рассматриваемой величины.
Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Важные теоремы
Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:
К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.
Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:
Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.
Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:
a 2 + b 2 = ½*c 2 + 2*Mc 2 .
Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.
Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать
Примеры решения задач
После того как изучены и рассмотрены основные понятия, свойства и теоремы для различного рода треугольников, можно переходить к решению геометрических задач. Поскольку для этого требуется в большинстве случаев знать значения тригонометрических функций, рекомендуется воспользоваться либо соответствующими таблицами, либо инженерным калькулятором.
Задачи школьного курса с треугольниками, как правило, не являются сложными. Они решаются благодаря однократному применению какого-либо свойства или теоремы.
Квадрат и его диагональ
Пусть дан квадрат, сторона которого составляет 11 см. Необходимо определить половину длины его диагонали.
Эту геометрическую задачу проще всего решить, если увидеть, что две смежные стороны исходной фигуры и ее диагональ образуют прямоугольный треугольник, который к тому же является равнобедренным. Каждая из равных сторон в нем имеет длину 11 см и является катетом. Диагональ c — это гипотенуза. Применяя пифагорову теорему, можно получить следующее равенство:
c = (11 2 + 11 2 )^0,5 ≈ 15,556 см.
Поскольку половина диагонали в два раза меньше гипотенузы, то искомым ответом на задачу будет число c/2 ≈ 7,778 см.
Две высоты и угол
Дан треугольник ABC. Известно, что при вершине C угол составляет 37 °. Из вершин A и B проведены высоты к сторонам этого треугольника, их длины составляют h1 = 10 см и h2 = 8 см, соответственно. Необходимо узнать длину стороны фигуры, которая лежит против угла C.
Из условия задачи можно найти длины сторон AC и BC. Для этого следует увидеть, что каждая из высот с двумя другими сторонами треугольника образует прямоугольную фигуру. Воспользовавшись тригонометрическими равенствами, можно получить следующие результаты:
- AC = h1/sinC = 10/sin (37 °) ≈ 16,616 см;
- BC = h2/sinC = 8/sin (37 °) ≈ 13,293 см.
Против угла C лежит сторона AB, которую следует найти. Получается, что известны две стороны треугольника (AC и BC) и угол между ними. Остается применить теорему косинусов, чтобы получить ответ:
AB = (AC 2 + BC 2 — 2*AC*BC*cosC)^0,5 = (16,616 2 + 13,293 2 — 2* 16,616 * 13,293 *cos (37 °))^0,5 ≈ 10 см.
Полученный результат свидетельствует о том, что высота h1 совпадает со стороной AB с рассчитанной точностью, то есть исходный треугольник являлся прямоугольным.
Таким образом, для нахождения стороны треугольника, если известны две другие его стороны или иные отрезки, следует воспользоваться теоремами. Основными из них являются теорема косинусов и синусов, а также Пифагора и Аполлония.
Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать
Решение треугольников онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем 
.
 |
 |
 |
 | (1) |
 | (2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
 . |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: 
Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
  . |
  . |
 ,  . |
И, наконец, находим угол C:
  |
Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
 |
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
 . |
 . |
Далее, из формулы
| . |
| . | (3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
 . |
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: 
и 
(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
| , |
   . |
Из формулы (3) найдем cosA:
  |
 . |
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
  . |
Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
 |
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
 . |
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
 ,  . |
 ,  . |
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: 
и углы 
(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
  |
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
 |
 |
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Все формулы для треугольника
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
Видео:Вычислить определитель 3 порядка. Правило треугольникаСкачать
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
💥 Видео
Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать
По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать
Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
