Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус вписанной окружности в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Как находить радиус окружности вписанной в треугольникСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как находить радиус окружности вписанной в треугольникФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как находить радиус окружности вписанной в треугольникВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак находить радиус окружности вписанной в треугольник
Равнобедренный треугольникКак находить радиус окружности вписанной в треугольник
Равносторонний треугольникКак находить радиус окружности вписанной в треугольник
Прямоугольный треугольникКак находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Произвольный треугольник
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник
Равнобедренный треугольник
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник
Равносторонний треугольник
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник
Прямоугольный треугольник
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник
Произвольный треугольник
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как находить радиус окружности вписанной в треугольник.

Равнобедренный треугольникКак находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Равносторонний треугольникКак находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Видео:Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | УмскулСкачать

Все об окружностях на ЕГЭ | Профильная математика 2023 | Умскул

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как находить радиус окружности вписанной в треугольник– полупериметр (рис. 6).

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

с помощью формулы Герона получаем:

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольникСкачать

Сможешь найти радиус окружности? Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

где a – сторона треугольника.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Как находить радиус окружности вписанной в треугольник

Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

📽️ Видео

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130Скачать

Задача 6 №27910 ЕГЭ по математике. Урок 130

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математика

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Сможешь найти радиус вписанной окружности?Скачать

Сможешь найти радиус вписанной окружности?
Поделиться или сохранить к себе: