Как находить отношение сторон треугольника

Подобные треугольники
Содержание
  1. Определение
  2. Признаки подобия треугольников
  3. Свойства подобных треугольников
  4. Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
  5. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  6. Типы треугольников
  7. По величине углов
  8. По числу равных сторон
  9. Вершины углы и стороны треугольника
  10. Свойства углов и сторон треугольника
  11. Теорема синусов
  12. Теорема косинусов
  13. Теорема о проекциях
  14. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  15. Медианы треугольника
  16. Свойства медиан треугольника:
  17. Формулы медиан треугольника
  18. Биссектрисы треугольника
  19. Свойства биссектрис треугольника:
  20. Формулы биссектрис треугольника
  21. Высоты треугольника
  22. Свойства высот треугольника
  23. Формулы высот треугольника
  24. Окружность вписанная в треугольник
  25. Свойства окружности вписанной в треугольник
  26. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  27. Окружность описанная вокруг треугольника
  28. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  29. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  30. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  31. Средняя линия треугольника
  32. Свойства средней линии треугольника
  33. Периметр треугольника
  34. Формулы площади треугольника
  35. Формула Герона
  36. Равенство треугольников
  37. Признаки равенства треугольников
  38. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  39. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  40. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  41. Подобие треугольников
  42. Признаки подобия треугольников
  43. Первый признак подобия треугольников
  44. Второй признак подобия треугольников
  45. Третий признак подобия треугольников
  46. Подобные треугольники
  47. Определение
  48. Практические задачи с подобными треугольниками
  49. Практические примеры

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Как находить отношение сторон треугольника

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Как находить отношение сторон треугольника

Видео:Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Как находить отношение сторон треугольника II признак подобия треугольников

Как находить отношение сторон треугольника

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Как находить отношение сторон треугольника

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Как находить отношение сторон треугольника
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Как находить отношение сторон треугольника

2. Треугольники Как находить отношение сторон треугольникаи Как находить отношение сторон треугольника, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Как находить отношение сторон треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Как находить отношение сторон треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Типы треугольников

По величине углов

Как находить отношение сторон треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

По числу равных сторон

Как находить отношение сторон треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Геометрия. 7 класс. Задача на отношение сторон треугольникаСкачать

Геометрия. 7 класс. Задача на отношение сторон треугольника

Медианы треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Найдите сторону треугольника на рисунке

Биссектрисы треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Высоты треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Окружность вписанная в треугольник

Как находить отношение сторон треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Окружность описанная вокруг треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Соотношение сторон треугольника с углами 45-45-90Скачать

Соотношение сторон треугольника с углами 45-45-90

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Периметр треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:6 класс, 20 урок, ОтношенияСкачать

6 класс, 20 урок, Отношения

Формулы площади треугольника

Как находить отношение сторон треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:№549. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольникаСкачать

№549. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны треугольника

Подобие треугольников

Как находить отношение сторон треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.

Подобные треугольники

Видео:Найдите стороны треугольникаСкачать

Найдите стороны треугольника

Определение

Как находить отношение сторон треугольника

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac
$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac
=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
Как находить отношение сторон треугольника

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR. Как находить отношение сторон треугольника

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.
Как находить отношение сторон треугольника

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac = frac = frac = frac = frac Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.
Как находить отношение сторон треугольника

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac = frac = frac Rightarrow CA = frac = 23.57$
x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.
Как находить отношение сторон треугольника

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac = frac = frac Rightarrow AB = frac = 24 м$
x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.
Как находить отношение сторон треугольника

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.
Как находить отношение сторон треугольника

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.
Как находить отношение сторон треугольника

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.
Как находить отношение сторон треугольника

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac = frac = frac Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 — 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac = 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

Поделиться или сохранить к себе: