Как находить корни тангенса на окружности

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Тангенс

Тангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение тангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность.

Видео:Отбор корней по окружностиСкачать

Аргумент и значение тангенса

Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac), (π), (-frac) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.

Для обоих случаев тангенс вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Тангенс острого угла

Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Вычисление тангенса числа или любого угла

Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:

Пример. Вычислите (tg:0).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус (0). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга :

Точка (0) на числовой окружности совпадает с (1) на оси косинусов, значит (cos:0=1). Если из точки (0) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку (0), значит (sin:⁡0=0). Получается: (tg:0=) (frac) (=) (frac) (=0).

Пример. Вычислите (tg:(-765^circ)).
Решение: (tg: (-765^circ)=) (frac)
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).

Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.

Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.

Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).

Пример. Вычислите (tg: 45°) и (tg: (-240°)).
Решение:
Для угла (45°) ((∠KOA)) тангенс будет равен (1), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось тангесов. А для угла (-240°) ((∠KOB)) тангенс равен (-sqrt) (приблизительно (-1,73)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.

При этом тангенс не определен для:
1) всех точек (A) (значение в Пи: …(-) (frac) ,(-) (frac) , (frac) , (frac) , (frac) …; и значение в градусах: …(-630°),(-270°),(90°),(450°),(810°)…)
2) всех точек (B) (значение в Пи: …(-) (frac) ,(-) (frac) ,(-) (frac) , (frac) , (frac) …; и значение в градусах: …(-810°),(-450°),(-90°),(270°)…) .

Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ .

Видео:Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать

Знаки по четвертям

С помощью оси тангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак тангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Связь с другими тригонометрическими функциями:

— котангенсом того же угла: формулой (ctg⁡:x=) (frac)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Отбор корней в тригонометрическом уравнение

В этой статье и постараюсь объяснить 2 способа отбора корней в тригонометрическом уравнение: с помощью неравенств и с помощью тригонометрической окружности. Перейдем сразу к наглядному примеру и походу дела будем разбираться.

а) Решить уравнение sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-7Pi/2; -2Pi]

Решим пункт а.

Воспользуемся формулой приведения для синуса sin(Pi/2+x) = cos(x)

sqrt(2)cos^2x — cosx = 0

cosx(sqrt(2)cosx — 1) = 0

x1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

sqrt(2)cosx — 1 = 0

x2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

x2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Решим пункт б.

1) Отбор корней с помощью неравенств

Здесь все делается просто, полученные корни подставляем в заданный нам промежуток [-7Pi/2; -2Pi], находим целые значения для n.

-7Pi/2 меньше или равно Pi/2 + Pin меньше или равно -2Pi

Сразу делим все на Pi

-7/2 меньше или равно 1/2 + n меньше или равно -2

-7/2 — 1/2 меньше или равно n меньше или равно -2 — 1/2

-4 меньше или равно n меньше или равно -5/2

Целые n в этом промежутку это -4 и -3. Значит корни принадлежащие этому промежутку буду Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Аналогично делаем еще два неравенства

-7Pi/2 меньше или равно Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-15/8 меньше или равно n меньше или равно -9/8

Целых n в этом промежутке нет

-7Pi/2 меньше или равно -Pi/4 + 2Pin меньше или равно -2Pi
-13/8 меньше или равно n меньше или равно -7/8

Одно целое n в этом промежутку это -1. Значит отобранный корень на этом промежутку -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Значит ответ в пункте б: -7Pi/2, -5Pi/2, -9Pi/4

2) Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Чтобы пользоваться этим способом надо понимать как работает эта окружность. Постараюсь простым языком объяснить как это понимаю я. Думаю в школах на уроках алгебры эта тема объяснялась много раз умными словами учителя, в учебниках сложные формулировки. Лично я понимаю это как окружность, которую можно обходить бесконечное число раз, объясняется это тем, что функции синус и косинус периодичны.

Обойдем раз против часовой стрелки

Обойдем 2 раза против часовой стрелки

Обойдем 1 раз по часовой стрелки (значения будут отрицательные)

Вернемся к нашем вопросу, нам надо отобрать корни на промежутке [-7Pi/2; -2Pi]

Чтобы попасть к числам -7Pi/2 и -2Pi надо обойти окружность против часовой стрелки два раза. Для того, чтобы найти корни уравнения на этом промежутке надо прикидывать и подставлять.

Рассмотри x = Pi/2 + Pin. Какой приблизительно должен быть n, чтобы значение x было где-то в этом промежутке? Подставляем, допустим -2, получаем Pi/2 — 2Pi = -3Pi/2, очевидно это не входит в наш промежуток, значит берем меньше -3, Pi/2 — 3Pi = -5Pi/2, это подходит, попробуем еще -4, Pi/2 — 4Pi = -7Pi/2, также подходит.

Рассуждая аналогично для Pi/4 + 2Pin и -Pi/4 + 2Pin, находим еще один корень -9Pi/4.

Сравнение двух методов.

Первый способ (с помощью неравенств) гораздо надежнее и намного проще для пониманию, но если действительно серьезно разобраться с тригонометрической окружностью и со вторым методом отбора, то отбор корней будет гораздо быстрее, можно сэкономить около 15 минут на экзамене.

📺 Видео

Выборка с помощью окружностиСкачать

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

3 СПОСОБА ОТБОРА КОРНЕЙ В ЗАДАНИИ #12 (по окружности, неравенством и подбором)Скачать

Отбор арктангенса по окружности | Тригонометрия ЕГЭ 2020Скачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

отбор корней в 13 задании. Тангенс, котангенсСкачать

Отбор корней с аркфункциями в №12 | Это будет на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Тангенс и котангенс на тригонометрической окружности. Формулы приведения.Скачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать