Как находить диаметр окружности через хорду

Вычисление диаметра трубы по хорде

Бывают ситуации, когда необходимо измерить диаметр чего-либо, например, трубопровода, но нет возможности измерить длину окружности (из-за изоляции или температуры).

В этом случае можно применить метод вычисления диаметра по хорде. Для этого метода необходим только штангенциркуль.

  1. Прикладываем его, как показано на рис. 1;
  2. измеряем длину L;
  3. измеряем высоту губок штангенциркуля Н;
  4. вычисляем диаметр по формуле D = (L 2 ⁄ 4H) + H или
  5. вычисляем радиус по формуле r = (L 2 + 4H 2 ) ⁄ 8H

Как находить диаметр окружности через хорду
Рисунок 1

Если под рукой только «штангель» с длинными губками или не хватает его измеряемого диапазона можно применить какую-нибудь «проставку». В идеале подойдёт плоскопараллельная концевая мера… 😉 Её надо вставить, как показано на рисунке 2, и при вычислении, от длины губок отнять высоту этой «проставки». Н = Н1 — Н2

Как находить диаметр окружности через хорду
Рисунок 2

Точность этого метода зависит, только от инструмента, который Вы будете применять.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Как находить диаметр окружности через хордуСегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Как находить диаметр окружности через хордуОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Как находить диаметр окружности через хордуСвойства хорд и дуг окружности
Как находить диаметр окружности через хордуТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Как находить диаметр окружности через хордуДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Как находить диаметр окружности через хордуТеорема о бабочке

Как находить диаметр окружности через хорду

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьКак находить диаметр окружности через хорду
КругКак находить диаметр окружности через хорду
РадиусКак находить диаметр окружности через хорду
ХордаКак находить диаметр окружности через хорду
ДиаметрКак находить диаметр окружности через хорду
КасательнаяКак находить диаметр окружности через хорду
СекущаяКак находить диаметр окружности через хорду
Окружность
Как находить диаметр окружности через хорду

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругКак находить диаметр окружности через хорду

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусКак находить диаметр окружности через хорду

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаКак находить диаметр окружности через хорду

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрКак находить диаметр окружности через хорду

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяКак находить диаметр окружности через хорду

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяКак находить диаметр окружности через хорду

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеКак находить диаметр окружности через хордуДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыКак находить диаметр окружности через хордуЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныКак находить диаметр окружности через хордуБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиКак находить диаметр окружности через хордуУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыКак находить диаметр окружности через хордуДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Как находить диаметр окружности через хорду

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыКак находить диаметр окружности через хорду

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыКак находить диаметр окружности через хорду

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиКак находить диаметр окружности через хорду

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныКак находить диаметр окружности через хорду

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиКак находить диаметр окружности через хорду

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыКак находить диаметр окружности через хорду

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как находить диаметр окружности через хорду

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыКак находить диаметр окружности через хорду
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиКак находить диаметр окружности через хорду
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиКак находить диаметр окружности через хорду
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаКак находить диаметр окружности через хорду

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как находить диаметр окружности через хорду

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Пересекающиеся хорды
Как находить диаметр окружности через хорду
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Как находить диаметр окружности через хорду
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Как находить диаметр окружности через хорду
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Как находить диаметр окружности через хорду
Пересекающиеся хорды
Как находить диаметр окружности через хорду

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Как находить диаметр окружности через хорду

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Тогда справедливо равенство

Как находить диаметр окружности через хорду

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Как находить диаметр окружности через хорду

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как находить диаметр окружности через хорду

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Как находить диаметр окружности через хорду

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Как находить диаметр окружности через хорду

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Как находить диаметр окружности через хорду

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Как находить диаметр окружности через хорду

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Как находить диаметр окружности через хорду

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📸 Видео

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хордСкачать

Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хорд
Поделиться или сохранить к себе: