Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Видео:Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольников

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.


Катет в прямоугольном треугольнике
— это две стороны прилежащие к прямому углу.

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Видео:7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

  1. Сумма острых углов 90˚.
  2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
  4. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
    Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Формулы:

  1. Площадь прямоугольного треугольника равна
    половине произведения катетов:
    Как доказать равенство прямоугольных треугольников
  2. Радиус описанной окружности около прямоугольного
    треугольника равен половине гипотенузы:
    Как доказать равенство прямоугольных треугольников
  3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
    выражается следующим образом:
    Как доказать равенство прямоугольных треугольников
  4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

  1. По двум катетам:
    Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Как доказать равенство прямоугольных треугольников
  2. По катету и гипотенузе:
    Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.
    Как доказать равенство прямоугольных треугольников
  3. По гипотенузе и острому углу:
    Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольникиравны.
    Как доказать равенство прямоугольных треугольников
  4. По катету и острому углу:
    Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
    равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
    то такие треугольники равны.

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

  1. По теореме Пифагора:
    Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  2. По центру описанной окружности:
    Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
    то треугольник прямоугольный.
  3. По медиане:
    Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
    то треугольник прямоугольный.
  4. По площади:
    Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
    то треугольник прямоугольный.
  5. По радиусу описанной окружности:
    Если радиус описанной окружности равен половине,
    то треугольник прямоугольный.

Видео:36. Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

36. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Видео:Геометрия 7 класс : Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Геометрия 7 класс : Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения

Содержание:

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Вы уже знаете три признака равенства треугольников. Поскольку часто приходится иметь дело с прямоугольными треугольниками, то выделяют пять признаков равенства прямоугольных треугольников. Сформулируем и докажем их.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказать: Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказательство:

Как доказать равенство прямоугольных треугольниковпо стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Как доказать равенство прямоугольных треугольников Как доказать равенство прямоугольных треугольников(рис. 264).

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказать: Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказательство:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что Как доказать равенство прямоугольных треугольниковследует, что Как доказать равенство прямоугольных треугольниковТогда Как доказать равенство прямоугольных треугольниковпо стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Как доказать равенство прямоугольных треугольников Как доказать равенство прямоугольных треугольников(рис. 265).

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказать: Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказательство:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что Как доказать равенство прямоугольных треугольниковследует, что Как доказать равенство прямоугольных треугольниковТогда Как доказать равенство прямоугольных треугольниковпо стороне и двум прилежащим к ней углам.

Видео:Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузеСкачать

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пятый признак (по катету и гипотенузе).

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: Как доказать равенство прямоугольных треугольниковКак доказать равенство прямоугольных треугольников Как доказать равенство прямоугольных треугольников(рис. 266).

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказать: Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказательство:

Приложим треугольников А1В1С1 к треугольнику АВС так, чтобы совместились равные катеты А1С1 и АС, а вершины В1 и В лежали по разные стороны от прямой АС. Треугольник А1В1С1 займет положение треугольника АВ2С. Так как Как доказать равенство прямоугольных треугольниковB2CB — развернутый и АВ2 = АВ, то треугольник В2АВ — равнобедренный, катет АС — его высота. По свойству равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, будет и медианой. Тогда В2С=СВ и треугольники ABC и АВ2С равны по двум катетам.

Отсюда Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Пример:

На рисунке 267 Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказать равенство треугольников: а) Как доказать равенство прямоугольных треугольниковАВС и Как доказать равенство прямоугольных треугольниковADC б) Как доказать равенство прямоугольных треугольниковАОВ и Как доказать равенство прямоугольных треугольниковCOD.

Доказательство:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC. У них гипотенуза АС — общая, катеты AD и ВС равны по условию. Тогда Как доказать равенство прямоугольных треугольниковАВС =Как доказать равенство прямоугольных треугольниковADC по катету и гипотенузе.

б) Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство сторон АВ и CD (доказано в пункте а). Тогда Как доказать равенство прямоугольных треугольниковАОВ =Как доказать равенство прямоугольных треугольниковCOD. по катету (АВ = CD) и противолежащему острому углу (Как доказать равенство прямоугольных треугольниковAOB =Как доказать равенство прямоугольных треугольниковCOD как вертикальные).

Пример:

Дан треугольник ABC, АК и СМ — его высоты, проведенные к боковым сторонам, О — точка их пересечения (рис. 268). Доказать, что если треугольники АОМ и СОК равны, то треугольник ABC — равнобедренный.

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Доказательство:

Так как Как доказать равенство прямоугольных треугольниковAOM =Как доказать равенство прямоугольных треугольниковCOK как вертикальные, то Как доказать равенство прямоугольных треугольниковMAO =Как доказать равенство прямоугольных треугольниковKCO (сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°). Из равенства треугольников АОМ и СОК следует равенство гипотенуз АО и СО. Треугольник АОС — равнобедренный,Как доказать равенство прямоугольных треугольниковOAC =Как доказать равенство прямоугольных треугольниковOCA как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Как доказать равенство прямоугольных треугольниковBAC =Как доказать равенство прямоугольных треугольниковBCA как составленные из равных углов. Треугольник ABC равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Признаки равенства прямоугольных треугольников #11Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников #11

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.

1. Признак равенства по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.

Пример:

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Как доказать равенство прямоугольных треугольниковABC = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. AB = A1B1 и AC = A1C1.

2. Признак равенства по катету и острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны

Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.

Пример:

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Как доказать равенство прямоугольных треугольниковABC = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. AC = A1C1, Как доказать равенство прямоугольных треугольниковC = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковC1

3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Теорема

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны

Пример:

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Как доказать равенство прямоугольных треугольниковABC = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. BC = B1C1, Как доказать равенство прямоугольных треугольниковB = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковB1

Доказательство

Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 , то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.

4. Признак равенства по катету и гипотенузе

Теорема

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны

Пример:

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Как доказать равенство прямоугольных треугольниковABC = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1B1C1, т.к. BC = B1C1, AB = A1B1

Доказательство

Дано: Как доказать равенство прямоугольных треугольниковABC, Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1B1C1, BC = B1C1, AB = A1B1

Доказать: Как доказать равенство прямоугольных треугольниковABC = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1B1C1

Доказательство:

Рассмотрим данные треугольники:

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

Так как Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA = Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1, то Как доказать равенство прямоугольных треугольниковABC можно наложить на Как доказать равенство прямоугольных треугольниковA1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A1C1 и A1B1. При этом вершина B совместится с вершиной B1, потому что AB = A1B1. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C1. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C2 луча A1C1, то получим равнобедренный треугольник C1B1C2.

Как доказать равенство прямоугольных треугольников

В Как доказать равенство прямоугольных треугольниковC1B1C2 углы при основании не равны (Как доказать равенство прямоугольных треугольниковC2острый, а Как доказать равенство прямоугольных треугольниковC1тупой, так как он смежный с углом B1C1A1, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C1. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A1B1C1, т.е. они равны, что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

📸 Видео

7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников.Скачать

7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углуСкачать

Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Первые три признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Первые три признака равенства прямоугольных треугольников

Доказательство I признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать

Доказательство I признака равенства прямоугольных треугольников

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Геометрия 7 класс : Решение задач "Признаки равенства прямоугольных треугольников"Скачать

Геометрия 7 класс : Решение задач "Признаки равенства прямоугольных треугольников"

Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников - 7 класс геометрияСкачать

Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников - 7 класс геометрия

Признаки равенства прямоугольных треугольников. Видеоурок 18. Геометрия 7 класс.Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников. Видеоурок 18. Геометрия 7 класс.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.Скачать

Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Поделиться или сохранить к себе: