- Определение
- Свойства прямоугольного треугольника
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Признаки прямоугольного треугольника
- Признаки подобия прямоугольных треугольников
- Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения
- Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)
- Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)
- Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)
- Пятый признак (по катету и гипотенузе).
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Теорема
- Доказательство
- Теорема
- Доказательство
- 📸 Видео
Видео:Геометрия 7. Урок 9 - Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Определение
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.
Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.
Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.
Видео:7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике:
- Сумма острых углов 90˚.
- Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
- Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Формулы:
- Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения катетов: - Радиус описанной окружности около прямоугольного
треугольника равен половине гипотенузы: - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
выражается следующим образом: - Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
- По двум катетам:
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По катету и гипотенузе:
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По гипотенузе и острому углу:
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольникиравны. - По катету и острому углу:
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны.
Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.
- По теореме Пифагора:
Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
то треугольник прямоугольный. - По центру описанной окружности:
Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
то треугольник прямоугольный. - По медиане:
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
то треугольник прямоугольный. - По площади:
Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
то треугольник прямоугольный. - По радиусу описанной окружности:
Если радиус описанной окружности равен половине,
то треугольник прямоугольный.
Видео:36. Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Признаки подобия прямоугольных треугольников
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
Видео:Геометрия 7 класс : Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами решения
Содержание:
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
Вы уже знаете три признака равенства треугольников. Поскольку часто приходится иметь дело с прямоугольными треугольниками, то выделяют пять признаков равенства прямоугольных треугольников. Сформулируем и докажем их.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать
Второй признак (по катету и прилежащему острому углу)
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано:
Доказать:
Доказательство:
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Третий признак (по катету и противолежащему острому углу)
Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: (рис. 264).
Доказать:
Доказательство:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что следует, что Тогда по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Четвертый признак (по гипотенузе и острому углу)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: (рис. 265).
Доказать:
Доказательство:
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Из того, что следует, что Тогда по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Видео:Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузеСкачать
Пятый признак (по катету и гипотенузе).
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: (рис. 266).
Доказать:
Доказательство:
Приложим треугольников А1В1С1 к треугольнику АВС так, чтобы совместились равные катеты А1С1 и АС, а вершины В1 и В лежали по разные стороны от прямой АС. Треугольник А1В1С1 займет положение треугольника АВ2С. Так как B2CB — развернутый и АВ2 = АВ, то треугольник В2АВ — равнобедренный, катет АС — его высота. По свойству равнобедренного треугольника высота, проведенная к основанию, будет и медианой. Тогда В2С=СВ и треугольники ABC и АВ2С равны по двум катетам.
Отсюда
Пример:
На рисунке 267
Доказать равенство треугольников: а) АВС и ADC б) АОВ и COD.
Доказательство:
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и ADC. У них гипотенуза АС — общая, катеты AD и ВС равны по условию. Тогда АВС =ADC по катету и гипотенузе.
б) Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство сторон АВ и CD (доказано в пункте а). Тогда АОВ =COD. по катету (АВ = CD) и противолежащему острому углу (AOB =COD как вертикальные).
Пример:
Дан треугольник ABC, АК и СМ — его высоты, проведенные к боковым сторонам, О — точка их пересечения (рис. 268). Доказать, что если треугольники АОМ и СОК равны, то треугольник ABC — равнобедренный.
Доказательство:
Так как AOM =COK как вертикальные, то MAO =KCO (сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°). Из равенства треугольников АОМ и СОК следует равенство гипотенуз АО и СО. Треугольник АОС — равнобедренный,OAC =OCA как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда BAC =BCA как составленные из равных углов. Треугольник ABC равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.
Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Соотношения в прямоугольном треугольнике
- Сумма углов треугольника
- Внешний угол треугольника
- Свойство точек биссектрисы угла
- Задачи на построение по геометрии
- Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
- Перпендикулярные прямые в геометрии
- Признаки равенства треугольников
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:Признаки равенства прямоугольных треугольников #11Скачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют сравнивать прямоугольные треугольники лишь по двум элементам, так как любые два прямых угла равны.
1. Признак равенства по двум катетам
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны |
Данный признак следует из первого признака равенства треугольников.
Пример:
ABC = A1B1C1, т.к. AB = A1B1 и AC = A1C1.
2. Признак равенства по катету и острому углу
Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны |
Данный признак следует из второго признака равенства треугольников.
Пример:
ABC = A1B1C1, т.к. AC = A1C1, C = C1
3. Признак равенства по гипотенузе и острому углу
Теорема
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,то такие треугольники равны |
Пример:
ABC = A1B1C1, т.к. BC = B1C1, B = B1
Доказательство
Так как сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 , то в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому данные треугольники равны по второму признаку треугольников, т.е. по стороне(по гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам, что и требовалось доказать.
4. Признак равенства по катету и гипотенузе
Теорема
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны |
Пример:
ABC = A1B1C1, т.к. BC = B1C1, AB = A1B1
Доказательство
Дано: ABC, A1B1C1, BC = B1C1, AB = A1B1
Доказать: ABC = A1B1C1
Доказательство:
Рассмотрим данные треугольники:
Так как A = A1, то ABC можно наложить на A1B1C1 так, что вершина A совместится с вершиной A1, а стороны AC и AB наложатся соответственно на лучи A1C1 и A1B1. При этом вершина B совместится с вершиной B1, потому что AB = A1B1. Но тогда вершина C также совместится с вершиной C1. Действительно, если предположить, что точка C совместится с некоторой другой точкой C2 луча A1C1, то получим равнобедренный треугольник C1B1C2.
В C1B1C2 углы при основании не равны (C2 — острый, а C1 — тупой, так как он смежный с углом B1C1A1, который является острым). А это невозможно, так как у равнобедренного треугольника углы у основания равны, следовательно, вершина C совместится с вершиной C1. А это значит, что полностью совместятся треугольники ABC, A1B1C1, т.е. они равны, что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
📸 Видео
7 класс. Признаки равенства прямоугольных треугольников.Скачать
Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углуСкачать
Первые три признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать
Доказательство I признака равенства прямоугольных треугольниковСкачать
ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать
Геометрия 7 класс : Решение задач "Признаки равенства прямоугольных треугольников"Скачать
Прямоугольный треугольник. Признаки равенства прямоугольных треугольников - 7 класс геометрияСкачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников. Видеоурок 18. Геометрия 7 класс.Скачать
Признаки равенства прямоугольных треугольников.Скачать