В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Ваш ответ

Видео:егэ по математике c4, биссектрисы и медианыСкачать

егэ по математике c4, биссектрисы и медианы

решение вопроса

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,013
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медианеСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медианеФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медианеВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикулярСкачать

ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равнобедренный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равносторонний треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Прямоугольный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Произвольный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равнобедренный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Равносторонний треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Прямоугольный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане
Произвольный треугольник
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане.

Равнобедренный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Равносторонний треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникВ треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Видео:Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане– полупериметр (рис. 6).

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

с помощью формулы Герона получаем:

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

то, в случае равностороннего треугольника, когда

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Окружность, вписанная в правильный треугольник

Окружность, вписанная в правильный треугольник, помимо свойств вписанной в произвольный треугольник окружности, обладает своими собственными свойствами.

1) Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Поскольку в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают, то центр вписанной в правильный треугольник окружности является точкой пересечения не только его биссектрис, но также медиан и высот.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медианеНапример, в правильном треугольнике ABC AB=BC=AC=a

точка O — центр вписанной окружности.

AK, BF и CD — биссектрисы, медианы и высоты треугольника ABC.

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

2) Расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу. Так как центр вписанной в правильный треугольник окружности лежит на пересечении его медиан, а медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен одной третьей длины медианы:

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Таким образом, формула для радиуса вписанной в правильный треугольник окружности

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Обратно, сторона равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

3) Так как формула для нахождения площади равностороннего треугольника через сторону

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

можем найти площадь через r:

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

Таким образом, формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности —

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

3) Все отрезки, на которые стороны равностороннего треугольника делятся точками касания вписанной окружности, равны половине его стороны:

В треугольнике центр вписанной окружности лежит на медиане

4) Центр вписанной в правильный треугольник окружности является также центром описанной около него окружности.

5) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

📽️ Видео

С4,ЕГЭ-решение задачи-Центр пересечения медиан,центр вписанной окружности на прямой,параллельной BCСкачать

С4,ЕГЭ-решение задачи-Центр пересечения медиан,центр вписанной окружности на прямой,параллельной BC

9 класс. Геометрия.Скачать

9 класс. Геометрия.

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)Скачать

Вписанные и описанные окружности (в треугольник)

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.Скачать

Медиана, высота и биссектриса треугольника. Центроид, инцентр, ортоцентр. Геометрия 7 класс.

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

ОГЭ | Математика | Задача с медианой треугольника #огэ #математика #репетитор #геометрияСкачать

ОГЭ | Математика | Задача с медианой треугольника #огэ #математика #репетитор #геометрия

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

Формулы для медианы треугольникаСкачать

Формулы для медианы треугольника

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать

Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||

Описанная и вписанная окружности треугольникаСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5Скачать

#31. Регион ВсОШ 2023, 11.5
Поделиться или сохранить к себе: