Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

Вписанная окружность

Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали
    • Четырехугольник
      Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали
    • Многоугольник
      Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Окружность: вписанная в многоугольник или угол

    Определения

    Окружность (S) вписана в угол (alpha) , если (S) касается сторон угла (alpha) .

    Окружность (S) вписана в многоугольник (P) , если (S) касается всех сторон (P) .

    В этом случае многоугольник (P) называется описанным около окружности.

    Теорема

    Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.

    Доказательство

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Пусть (O) – центр некоторой окружности, вписанной в угол (BAC) . Пусть (B’) – точка касания окружности и (AB) , а (C’) – точка касания окружности и (AC) , тогда (OB’) и (OC’) – радиусы, проведённые в точки касания, следовательно, (OC’perp AC) , (OB’perp AB) , (OC’ = OB’) .

    Значит, треугольники (AC’O) и (AB’O) – прямоугольные треугольники, у которых равны катеты и общая гипотенуза, следовательно, они равны, откуда (angle CAO = angle BAO) , что и требовалось доказать.

    Теорема

    В любой треугольник можно вписать единственную окружность, причём центр этой вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника.

    Доказательство

    Проведем биссектрисы углов (angle A) и (angle B) . Пусть они пересеклись в точке (O) .

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Т.к. (O) лежит на биссектрисе (angle A) , то расстояния от точки (O) до сторон угла равны: (ON=OP) .

    Т.к. (O) также лежит на биссектрисе (angle B) , то (ON=OK) . Таким образом, (OP=OK) , следовательно, точка (O) равноудалена от сторон угла (angle C) , следовательно, лежит на его биссектрисе, т.е. (CO) – биссектриса (angle C) .

    Таким образом, точки (N, K, P) равноудалены от точки (O) , то есть лежат на одной окружности. По определению это и есть вписанная в треугольник окружность.

    Данная окружность единственна, т.к. если предположить, что существует другая вписанная в (triangle ABC) окружность, то она будет иметь тот же центр и тот же радиус, то есть будет совпадать с первой окружностью.

    Таким образом, попутно была доказана следующая теорема:

    Следствие

    Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

    Теорема о площади описанного треугольника

    Если (a,b,c) – стороны треугольника, а (r) – радиус вписанной в него окружности, то площадь треугольника [S_=pcdot r] где (p=dfrac2) – полупериметр треугольника.

    Доказательство

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Но (ON=OK=OP=r) – радиусы вписанной окружности, следовательно,

    Следствие

    Если в многоугольник вписана окружность и (r) – ее радиус, то площадь многоугольника равна произведению полупериметра многоугольника на (r) : [S_<text>=pcdot r]

    Теорема

    В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

    Доказательство

    Необходимость. Докажем, что если в (ABCD) вписана окружность, то (AB+CD=BC+AD) .

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Пусть (M,N,K,P) – точки касания окружности и сторон четырехугольника. Тогда (AM, AP) – отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, (AM=AP=a) . Аналогично, (BM=BN=b, CN=CK=c, DK=DP=d) .

    Достаточность. Докажем, что если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Проведем биссектрисы углов (angle A) и (angle B) , пусть они пересекутся в точке (O) . Тогда точка (O) равноудалена от сторон этих углов, то есть от (AB, BC, AD) . Впишем окружность в (angle A) и (angle B) с центром в точке (O) . Докажем, что эта окружность будет касаться и стороны (CD) .

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Предположим, что это не так. Тогда (CD) либо является секущей, либо не имеет общих точек с окружностью. Рассмотрим второй случай (первый будет доказываться аналогично).

    Проведем касательную прямую (C’D’ parallel CD) (как показано на рисунке). Тогда (ABC’D’) – описанный четырехугольник, следовательно, (AB+C’D’=BC’+AD’) .

    Т.к. (BC’=BC-CC’, AD’=AD-DD’) , то:

    [AB+C’D’=BC-CC’+AD-DD’ Rightarrow C’D’+CC’+DD’=BC+AD-AB=CD]

    Получили, что в четырехугольнике (C’CDD’) сумма трех сторон равна четвертой, что невозможно*. Следовательно, предположение ошибочно, значит, (CD) касается окружности.

    Замечание*. Докажем, что в выпуклом четырехугольнике не может сторона равняться сумме трех других.

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Т.к. в любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то (a+x>d) и (b+c>x) . Складывая данные неравенства, получим: (a+x+b+c>d+x Rightarrow a+b+c>d) . Следовательно, сумма любых трех сторон всегда больше четвертой стороны.

    Теоремы

    1. Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 1).

    2. Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Верны и обратные утверждения: в любой ромб и квадрат можно вписать окружность, и притом только одну.

    Доказательство

    1) Рассмотрим параллелограмм (ABCD) , в который вписана окружность. Тогда (AB+CD=BC+AD) . Но в параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. (AB=CD, BC=AD) . Следовательно, (2AB=2BC) , а значит, (AB=BC=CD=AD) , т.е. это ромб.

    Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей ромба.

    2) Рассмотрим прямоугольник (QWER) . Т.к. прямоугольник является параллелограммом, то согласно первому пункту (QW=WE=ER=RQ) , т.е. это ромб. Но т.к. все углы у него прямые, то это квадрат.

    Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата.

    Вписанная окружность

    Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность. На рисунке 1 четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Теорема

    В любой треугольник можно вписать окружность.

    Доказательство

    Дано: произвольный Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС.

    Доказать: в Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС можно вписать окружность.

    Доказательство:

    1. Проведем биссектрисы углов А, В и С, которые пересекутся в точке О (следствие из свойства биссектрис). Из точки О проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (Рис. 2).

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    2. Точка О равноудалена от сторон Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС (свойство биссектрис), поэтому ОК = ОL = ОМ. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС касаются этой окружности в точках К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС. Теорема доказана.

    Замечание 1

    В треугольник можно вписать только одну окружность.

    Доказательство

    Предположим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, значит в треугольник можно вписать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

    Замечание 2

    Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

    Доказательство

    На рисунке 2 мы видим, что Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС составлен из трех треугольников: АВО, ВСО и САО. Пусть АВ, ВС и АС основания треугольников АВО, ВСО и САО соответственно, тогда высотами данных треугольников окажутся отрезки ОК = ОL = ОМ = r ( r — радиус окружности с центром О). Следовательно, площади этих треугольников вычисляются по формулам: Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали. Тогда, по свойству площадей, площадь треугольника Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС выражается формулой: Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали, где Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали— периметр Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналиАВС. Что и требовалось доказать.

    Замечание 3

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

    Доказательство

    Рассмотрим, например, прямоугольник, у которого смежные стороны не равны, т.е. прямоугольник, не являющийся квадратом. В такой прямоугольник можно «поместить» окружность, касающуюся трех его сторон (Рис.3), но нельзя «поместить» окружность так, чтобы она касалась всех четырех его сторон, т.к. диаметр окружности меньше большей стороны прямоугольника т.е. нельзя вписать окружность. Что и требовалось доказать.

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством:

    В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Доказательство

    Рассмотрим четырехугольник АВСD, описанный около окружности (Рис. 4).

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    На рисунке 4 одинаковыми буквами обозначены равные отрезки касательных, т.к. отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Тогда АВ + СD = Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагоналии ВС + АD = Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали, следовательно, АВ + СD = ВС + АD.

    Верно и обратное утверждение:

    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Доказательство

    Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСD

    АВ + СD = ВС + АD. (1)

    Точка О пересечения биссектрис углов А и В равноудалена от сторон АD, АВ и ВС (свойство биссектрис), поэтому можно провести окружность с центром О, касающуюся указанных трех сторон (Рис. 5).

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Докажем, что эта окружность касается также стороны СD и, значит, является вписанной в четырехугольник АВСD.

    Предположим, что это не так. Тогда прямая СD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. Рассмотрим первый случай (Рис. 6). Проведем касательную С1D1, параллельную стороне СD (С1 и D1 — точки пересечения касательной со сторонами ВС и АD).

    Как доказать что центр вписанной окружности лежит на диагонали

    Так как АВС1D1 — описанный четырехугольник, то по свойству его противоположных сторон

    АВ + С1D1 = ВС1 + AD1. (2)

    Но ВС1 = ВСС1С, АD1 = АDD1D, поэтому из равенства (2) получаем:

    С1D1 + С1С + D1D = ВС + АDАВ.

    Правая часть этого равенства в силу (1) равна СD. Следовательно, приходим к равенству

    т.е. в четырехугольник С1СDD1 одна сторона равна сумме трех других сторон. Но этого не может быть, т.к. к аждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон. Значит, наше предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что прямая CD не может быть секущей окружности. Следовательно, окружность касается стороны СD. Что и требовалось доказать.

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    🎥 Видео

    Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

    Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Задача с параллелограммом. Доказываем | Номер 16 | ЕГЭ с ДетекторомСкачать

    Задача с параллелограммом. Доказываем | Номер 16 | ЕГЭ с Детектором

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

    Центр вписанной окружности равнобедренного ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Центр вписанной окружности равнобедренного ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    [12] Площадь через радиус вневписанной окружности. Теорема о трилистнике, трезубец, Теорема МансионаСкачать

    [12] Площадь через радиус вневписанной окружности. Теорема о трилистнике, трезубец, Теорема Мансиона

    #5str. Как проверять перпендикулярность?Скачать

    #5str. Как проверять перпендикулярность?

    17 задание ЕГЭ ✧ З балла за 4 мин!!! #егэ #геометрияСкачать

    17 задание ЕГЭ  ✧  З балла за 4 мин!!!     #егэ #геометрия

    19 ЗАДАНИЕ ОГЭ ДИАГОНАЛИ РОМБА РАВНЫ?Скачать

    19 ЗАДАНИЕ ОГЭ ДИАГОНАЛИ РОМБА РАВНЫ?

    Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

    Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

    Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

    Вписанная окружность. Доказательства свойствСкачать

    Вписанная окружность. Доказательства свойств
    Поделиться или сохранить к себе: