Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, но не принадлежит прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Говорят, что прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпересекаются в точке М.
Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Это можно записать так: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— знак принадлежности точки прямой, «Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловперпендикулярны (рис. 12), то пишут Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловb.
  2. Если Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 90°, то а Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловАВ и b Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловb.
  3. Если Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловОFА = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2). Из равенства этих треугольников следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловЗ = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4 и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов5 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов6.
  6. Так как Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов5 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов6 следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов6 = 90°. Получаем, что а Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловFF1 и b Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловFF1, а аКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов
2) Заметим, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловAOF = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловl + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180° и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180° следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловF и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3. Кроме того, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAF. Действительно, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4 и Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловFAC равны как соответственные углы, a Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловFAC = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180° (рис. 97, а).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3= 180°.

4) Из равенств Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов= Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 = 180° следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 + Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAF + Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сКак доказать что прямые параллельны без секущей и углова (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Так как Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = 90°, то и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = 90°, а, значит, сКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпараллельны, то есть Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, лучи АВ и КМ.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, то Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов(рис. 161).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, перпендикулярную прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови строят другую перпендикулярную прямую Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, затем — третью прямую Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови т. д. Поскольку прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловперпендикулярны одной прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, то из указанной теоремы следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, параллельной прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, то Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловтретьей прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов5,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов8,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов6,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов7,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов5,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов8 — соответственные углы;
  • Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов6,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов5 — внутренние односторонние углы;
  • Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов7,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— данные прямые, АВ — секущая, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 (рис. 166).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказать: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови продлим его до пересечения с прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 по условию, Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBMK =Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловANM =Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBKM = 90°. Тогда прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 (рис. 167).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказать: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови секущей Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловl +Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180° (рис. 168).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказать: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови секущей Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловAOB = Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAO=Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAK = 26°, Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAC = 2 •Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловADK +Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1=Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2. Так как Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов||Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Реальная геометрия

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпроходит через точку М и параллельна прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов||Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов(рис. 187).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказать: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов||Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Доказательство:

Предположим, что прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, параллельные третьей прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов||Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов4. Доказать, что Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Так как Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, то Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, которая параллельна прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, которые параллельны прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, АВ — секущая,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказать: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2.

Доказательство:

Предположим, чтоКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, параллельные прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— секущая,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 — соответственные (рис. 196).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказать:Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— секущая,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 иКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказать:Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловl +Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 +Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 = 180°. По свойству параллельных прямыхКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловl =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3 как накрест лежащие. Следовательно,Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловl +Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, т. е.Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 = 90°. Согласно следствию Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, т. е.Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 = 90°.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловАОВ =Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловABD =Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловADB =Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловпараллельны, то пишут: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов(рис. 211).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов2 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов3. Значит,Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов1 =Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов2.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови АВКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, то расстояние между прямыми Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, А Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, С Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, АВКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов, CDКак доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловCAD =Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловравны (см. рис. 285). Прямая Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, проходящая через точку А параллельно прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, которая параллельна прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловбудет перпендикуляром и к прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAD +Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Тогда Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, параллельную прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Тогда Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов|| Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловравноудалены от прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловна расстояние Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, то есть расстояние от точки М до прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловравно Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Но через точку К проходит единственная прямая Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, параллельная Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Значит, точка М принадлежит прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов.

Таким образом, все точки прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловравноудалены от прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов. Прямая Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловКак доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов— параллельны.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Как доказать что прямые параллельны без секущей и углови Как доказать что прямые параллельны без секущей и угловесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Признаки параллельности прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Параллельные прямые.
  • Накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
  • Признаки параллельности прямых.
  • Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности двух прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2. Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что при пересечении двух прямых секущей образуются углы:

  • накрест лежащие: 3 и 6, 4 и 5.
  • односторонние: 3 и 5, 4 и 6.
  • соответственные: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6; 4 и 8.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.

Рассмотрим и докажем признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠ 1 = ∠ 2 накрест лежащие.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

В этом случае две прямые, перпендикулярные к третьей не пересекаются, т. е. параллельны.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

2 случай: ∠ 1= ∠ 2 ≠ 90°

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

1) Из середины O отрезка AB проведём перпендикуляр OH к прямой а. На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1.

2) AO = OB т. к. O середина AB; AH = BH1 по построению; ∠1 = ∠2 по условию. Тогда ΔOHA = ΔOH1B по первому признаку равенства треугольников.

Далее следует из равенства треугольников: ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6.

3) Из равенства углов ∠3 и ∠4 следует, что точка H1 лежит на продолжении луча OH. Это значит, что точки H1, O, H лежат на одной прямой.

4) Из равенства ∠5 и ∠6 следует, что ∠6 = 90°. Это значит, что прямые a и b перпендикулярны к третьей НН1, а значит, по теореме о двух прямых, перпендикулярных к третьей, не пересекаются, т. е. параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Дано: прямые a и b, секущая AB, ∠1 = ∠2 соответственные.

∠1 = ∠2 – по условию и ∠2 = ∠3 – по свойству вертикальных углов.

Значит, ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Если при пересечении двух прямых секущей, сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Прямые a и b, секущая AB, ∠1 + ∠2 = 180° ‑ односторонние.

∠3 +∠2 = 180°– по свойству смежных углов, откуда ∠3 = 180° – ∠2.

∠1 + ∠2 = 180 ° по условию, откуда ∠1 = 180° – ∠2.

Тогда ∠1 = ∠3, это накрест лежащие углы, следовательно, a║b по теореме 1.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Дано: ∠1= 60°, ∠2 = 120°.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

  1. ∠2 и ∠3 смежные, ∠3 = 180° – 120° = 60° по свойству смежных углов;
  2. ∠3 = ∠1, это накрест лежащие углы;
  3. Значит, прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Ответ: прямые a и b параллельны по 1 признаку параллельности прямых.

Дано: ΔABC – равнобедренный, ∠А = 60°. CD – биссектриса ∠BCK.

Докажите: AB ║ CD.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

  1. ∠A = ∠C = 60° – углы при основании равнобедренного Δ–ка равны.
  2. ∠BCK и ∠С смежные. ∠BCK = 180° – 60°= 120° – по свойству смежных углов.
  3. ∠BCD = ∠CDK = 60° т. к. CD – биссектриса делит угол пополам.
  4. Значит, ∠A = ∠DCK = 60° ‑ соответственные, следовательно, AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Ответ: AB║CD по 2 признаку параллельности прямых.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельность прямых

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

29. Теорема об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Как доказать что прямые параллельны без секущей и углов

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

🔥 Видео

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Признаки параллельности, накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 классСкачать

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 класс

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 классСкачать

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 класс

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.Скачать

Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.
Поделиться или сохранить к себе: