Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?Скачать

Как доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке?

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности.

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникКак доказать что биссектриса проходит через центр окружности
Равнобедренный треугольникКак доказать что биссектриса проходит через центр окружности
Равносторонний треугольникКак доказать что биссектриса проходит через центр окружности
Прямоугольный треугольникКак доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности.

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности.

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Произвольный треугольник
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности
Равнобедренный треугольник
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности
Равносторонний треугольник
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности
Прямоугольный треугольник
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности
Произвольный треугольник
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности.

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности.

Равнобедренный треугольникКак доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Равносторонний треугольникКак доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникКак доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Видео:Пересечение биссектрис треугольника в одной точке, Геометрия 7 классСкачать

Пересечение биссектрис треугольника в одной точке,  Геометрия 7 класс

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности– полупериметр (рис. 6).

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

Центр окружности, вписанной в угол

Окружность называется вписанной в угол, если она касается сторон угла.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружностиДано :

окружность (O; R) вписана в угол ABC, O∈BD

Доказать : BD — биссектриса ∠ABD

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружностиПроведём из точки O радиусы OF и OP в точки касания.OF=OP=R

Как доказать что биссектриса проходит через центр окружности

Значит, прямоугольные треугольники BOF и BOP равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠FBO=∠PBO.

Следовательно, BO — биссектриса угла ABC.

Что и требовалось доказать.

OF=OP (как радиусы). Значит, точка O равноудалена от сторон угла ABC. А так как любая точка внутри неразвёрнутого угла, равноудалённая от сторон этого угла, лежит на его биссектрисе, то BO — биссектриса угла ABC.

Видео:Геометрическое место точек (окружность, биссектриса угла и серединный перпендикуляр отрезка)Скачать

Геометрическое место точек (окружность, биссектриса угла и серединный перпендикуляр отрезка)

На окружности взяты точки А, В и С так, что А В = ВС. Докажите, что биссектриса угла ABC проходит через центр окружности.

Видео:ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикулярСкачать

ЕГЭ 2024 по математике. №1,17 Медиана, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр

Ваш ответ

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,006
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

🎥 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Описанная и вписанная окружности в равностороннем треугольникеСкачать

Описанная и вписанная окружности в равностороннем треугольнике

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

ЕГЭ 2023 по математике. №1,16 Замечательные свойства биссектрисыСкачать

ЕГЭ 2023 по математике. №1,16 Замечательные свойства биссектрисы

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Биссектриса углаСкачать

Биссектриса угла

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 8 "Биссектриса как ГМТ. Вписанная и вневписанная окружности треугольника"

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностей

Вторая замечательная точка треугольникаСкачать

Вторая замечательная точка треугольника

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение
Поделиться или сохранить к себе: