Интегралы по вершинам треугольника

Как сдать тест на отлично

Геометрические приложения двойного интеграла

Пример. Вычислить двойной интеграл по области D, где D – треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(1,1) и В(0,2).

Решение. Построим область D и запишем уравнения линий, ограничивающих эту область (рис. 7).

Уравнение ОА: ; отрезок ВА задается уравнением ; OB – .

Пример. Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением .

Решение. Произведем замену переменных, полагая . Тогда уравнение кривой примет вид

Тогда . С учетом того, что имеет период T = , .

С учетом симметрии фигуры вычислим площадь четвертой части и результат умножим на четыре.

Вычислим площадь по формуле .

Площадь всей фигуры, ограниченной данной линией, .

Функции, не являющиеся ни чётными, ни нечётными, принято называть функциями общего вида.

Любую функцию, область определения которой симметрична относительно точки x = 0, можно единственным образом представить в виде суммы чётной и нечётной.

Опр. 4.1.15. Функция называется периодической, если существует число Т ¹ 0 такое, что для » x Î X: 1. x+Т Î X; 2. f(x+Т) = f(x). Число Т называется периодом функции.

Периодическими являются тригонометрические функции. Нетривиальные примеры: периодична любая постоянная функция f(x) = С=const; периодична функция Дирихле, причем её периодом может служить любое рациональное число. Из определения следует, что если Т — период функции, то числа 2Т, 3Т, …. — тоже периоды. Наименьший отличный от нуля положительный период называется основным периодом. Функция Дирихле демонстрирует пример периодической функции, не имеющей основного периода.

Видео:Вычислить двойной интеграл по областиСкачать

Вычислить двойной интеграл по области

Задача 61184 Вычислить интеграл , где область D –.

Условие

Интегралы по вершинам треугольника

Вычислить интеграл , где область
D – треугольник с вершинами A(-1;2), B(3;4), C(6;2) Интегралы по вершинам треугольника

Решение

Интегралы по вершинам треугольника

Область D рассматриваем как область горизонтального входа

Составляем уравнение прямой АВ как прямой, проходящей через две точки


x=2y-5 — уравнение линии входа в область

Составляем уравнение прямой ВC как прямой, проходящей через две точки


x=(-3/2)y+6 — уравнение линии выхода

=∫ ^(4)_(2) ([b]((2y-5)^2-y*(2y-5)-((-3/2)y+6)^2-y*( (-3/2)y+6))dy=[/b])dy
Интегралы по вершинам треугольника

Видео:Криволинейный интеграл 1-го рода ★ Криволинейный интеграл по длине дуги ★ ∫(x+y)dsСкачать

Криволинейный интеграл 1-го рода ★ Криволинейный интеграл по длине дуги ★ ∫(x+y)ds

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Интегралы по вершинам треугольника

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Основные определения, понятия, свойства.

Правила вычисления двойных интегралов в декартовой и полярной системах координат; тройных интегралов в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

Приложения кратных интегралов.

Пусть в плоскости хоу задана замкнутая квадрируемая (имеющей площадь) область DИнтегралы по вершинам треугольникахоу, ограниченная линией l и включающая ее в себя, и задана функция f(x,y), определенная в этой области.

Диаметром области называется наибольшее из расстояний между точками области.

Шагом разбиения области на конечное число частей называется наибольший из диаметров областей деления. Обычно обозначают λ.

Определение двойного интеграла.

1) Разобьем область DИнтегралы по вершинам треугольникахоу на n элементарных не пересекающихся областей Δsi : Δs1, Δs2,…, , Δsn диаметрами d1, d2,…, dn соответственно.

4) Составим интегральную сумму: Интегралы по вершинам треугольника, которая вообще говоря зависит от способа разбиения области на части и от выбора точки Рii, ηi).

5) Если существует конечный предел частичных сумм при λ →0 (или числу разбиений n→∞, что равносильно), то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) по заданной области DИнтегралы по вершинам треугольникахоу: Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника.

Приложения двойного интеграла.

1) Если f(x,y) > 0 в области DИнтегралы по вершинам треугольникахоу, то двойной интеграл Интегралы по вершинам треугольникаравен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), снизу – областью DИнтегралы по вершинам треугольникахоу, сбоку – цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельными оси Oz, то есть: V = Интегралы по вершинам треугольника.

2) Если f(x,y) = 1 в области DИнтегралы по вершинам треугольникахоу, то двойной интеграл Интегралы по вершинам треугольникаравен площади области D: S = Интегралы по вершинам треугольника.

3) Если μ(x,y) > 0 – плотность в каждой точке области DИнтегралы по вершинам треугольникахоу, то двойной интеграл Интегралы по вершинам треугольникаравен массе пластинки D: m = Интегралы по вершинам треугольника.

Основные свойства двойного интеграла.

1) Интегралы по вершинам треугольника Интегралы по вершинам треугольника± Интегралы по вершинам треугольника.

2) Интегралы по вершинам треугольника= СИнтегралы по вершинам треугольника, где С – постоянная.

3) Если область интегрирования D состоит из двух (или более) непересекающихся частей D1 и D2, то Интегралы по вершинам треугольника= Интегралы по вершинам треугольника+Интегралы по вершинам треугольника.

4) Если m f(x,y) ≤ M в области D, то ms Интегралы по вершинам треугольника Ms, где s площадь области D, m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D.

Вычисление двойных интегралов.

Интегралы по вершинам треугольника

· Если область интегрирования D ограничена слева прямой x = a, справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х), сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то

Интегралы по вершинам треугольника

· Интегралы по вершинам треугольникаЕсли область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c, сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией

Интегралы по вершинам треугольника.

Правые части приведенных формул называются двукратными (повторными) интегралами. Внешний интеграл всегда имеет переменными интегрирования константы, внутренний – в общем случае функции. Двойной интеграл вычисляется последовательным вычислением определенных интегралов от внутреннего интеграла к внешнему. Все табличные формулы интегрирования и методы вычисления неопределенных интегралов применимы для вычисления кратных интегралов (нахождения первообразных) с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница.

Рекомендации по вычислению кратных интегралов.

1) Необходимо изобразить область интегрирования.

2) У внешнего интеграла пределы всегда постоянные.

3) Вычисляя внутренний интеграл по переменной у (или х), переменную х (или у) считаем const.

4) Можно поменять порядок интегрирования: внешний вычислять по у, а внутренний – по х. Пределы интегрирования в этом случае меняются не формально, а из уравнений линий, ограничивающих заданную область.

5) Если области ограничены окружностями, то вычисления проще выполнять в полярной системе координат.

6) Все табличные формулы для неопределенного интеграла применимы для вычисления кратных интегралов.

Интегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольникаПример 1. Вычислить двойной интеграл от функции по области D: треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(5;0), С(5;5).

Область ограничена прямыми: прямой АС (её уравнение у = х), осью ОХ (0 ≤ х ≤ 5) и

прямой х = 5 (0 ≤ у ≤ х).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области АВС (заштрихована), выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у.

Интегралы по вершинам треугольника.

Поменяем порядок интегрирования: во внешнем интеграле по у, во внутреннем – по х. Тогда 0 ≤ у ≤ 5, а у ≤ х ≤ 5.

Интегралы по вершинам треугольника

От порядка интегрирования зависит трудоемкость вычислений.

Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника

Пример 2. Вычислить двойной интеграл Интегралы по вершинам треугольникапо области D: треугольник с вершинами в точках

Область ограничена прямыми: прямыми АС (её уравнение у = ), АВ (её уравнение у =- х — 2),

ВС(её уравнение х = 2).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области ΔАВС, выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у. Это рациональное решение.

Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольника

Вычислим двойной интеграл по треугольной области ΔАВС, выбрав другой порядок интегрирования: во внешнем интеграле по y, во внутреннем – по x. Это не рациональное решение, так как область интегрирования D необходимо разбить на две области: D1 – ΔАВД и D2 –ΔАСД.

Для области D1: – 4 ≤ y ≤ 0, а x меняется от прямой АВ до прямой ВД, то есть – (-y – 2) ≤ х ≤ 2.

Для области D2: 0 ≤ y ≤ 1, а x меняется от прямой АC до прямой ВД, то есть – 4y — 2 ≤ х ≤ 2.

Отметим, что уравнения прямых АВ: у =- х – 2, АС: у = Интегралы по вершинам треугольника, ВС: х = 2 в этом случае разрешены относительно переменной у (х = f(y)).

Получим уравнения прямых АВ: х = –у – 2, АС: х = 4у – 2, ВС: х = 2

Интегралы по вершинам треугольника= Интегралы по вершинам треугольника+ Интегралы по вершинам треугольника= Интегралы по вершинам треугольника

= Интегралы по вершинам треугольника☺ Ответ тот же? Проверьте!

Интегралы по вершинам треугольникаПри переходе от прямоугольных декартовых координат (x,y) к полярным координатам (ρ,φ), связанным соотношениями Интегралы по вершинам треугольника, происходит преобразование двойного интеграла по следующей формуле: Интегралы по вершинам треугольника, где ρ – якобиан преобразования. Если область интегрирования D ограничена двумя лучами φ = α и φ = β, выходящими из полюса, и двумя кривыми, заданными функциями ρ = ρ1(φ) и ρ =ρ2(φ), то двойной интеграл вычисляется по формуле (полюс совмещен с О, полярная ось с Ох): Интегралы по вершинам треугольника.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл Интегралы по вершинам треугольникапо области D, заданной неравенствами: х2 + у2 ≤ -4х и у ≤ — х.

Интегралы по вершинам треугольника

Решение. Построим область интегрирования.

Линия, заданная уравнением х2 + у2 = -4х, окружность (х + 2)2 + у2 = 4 радиуса R = 2 c центром в (-2,0).

Линия, заданная уравнением у = — х, прямая, проходящая через II и IV четверти.

Область интегрирования, соответствующая неравенствам, заштрихована на рисунке.

Перейдем к полярным координатам: Интегралы по вершинам треугольника≤ φ ≤Интегралы по вершинам треугольника, полярный радиус меняется от 0 до окружности. Запишем уравнение окружности в полярной системе координат: Интегралы по вершинам треугольника. Тогда 0 ≤Интегралы по вершинам треугольника.

Подынтегральную функцию так же запишем в полярной системе координат Интегралы по вершинам треугольника.

Далее можем провести вычисления: Интегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольника.

Заметим, что двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Тройной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Пусть в замкнутой области VИнтегралы по вершинам треугольникаOxyz (в пространстве R(3)) задана непрерывная функция u = f(x,y,z).

Определение тройного интеграла.

1) Разобьем область VИнтегралы по вершинам треугольникаOхуz на n элементарных не пересекающихся областей ΔVi : ΔV1, ΔV2,…, , ΔVn диаметрами d1, d2,…, dn соответственно.

4) Составим интегральную сумму: Интегралы по вершинам треугольника, которая вообще говоря зависит от способа разбиения области на части и от выбора точки Рi.

5) Если существует конечный предел частичных сумм при λ →0 (или числу разбиений n→∞, что равносильно), то этот предел называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по заданной области VИнтегралы по вершинам треугольникаOхуz: Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника, где dV=dxdydz – элемент объема.

Некоторые свойства тройного интеграла.

1) Интегралы по вершинам треугольника, где с – const.

2) Интегралы по вершинам треугольника

3) Если область интегрирования V состоит из двух (или более) непересекающихся частей V1 и V2, то Интегралы по вершинам треугольника= Интегралы по вершинам треугольника= Интегралы по вершинам треугольника

4) Если в области V f(x,y,z) ≥ 0, то и Интегралы по вершинам треугольника≥ 0.

5) Если в области V f(x,y,z) ≥ φ(x,y,z), то и Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника.

6) Если в области V f(x,y,z) = 1, то Интегралы по вершинам треугольника, так как любая интегральная сумма имеет вид Интегралы по вершинам треугольникачисленно равна объему тела V.

7) Оценка тройного интеграла mV Интегралы по вершинам треугольника MV, где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) а области V.

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов от внутреннего к внешнему. У которого пределы интегрирования всегда должны быть постоянными (const).

Пусть область интегрирования V тело, ограниченное

непрерывные функции, проектирующиеся в область DИнтегралы по вершинам треугольникахоу,

боковая поверхность – цилиндрическая, образующие которой параллельны оси

oz, а направляющей является граница области DИнтегралы по вершинам треугольникахоу.

Интегралы по вершинам треугольника.

Если область интегрирования D Интегралы по вершинам треугольникахоу ограничена слева прямой x = a, справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х), сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то Интегралы по вершинам треугольника.

Если область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c, сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией x = x1(х), справа непрерывной функцией x = x2(х), то Интегралы по вершинам треугольника.

Некоторые приложения тройного интеграла.

1) Если в каждой точке области V плотность тела μ(x,y,z)>0, то Интегралы по вершинам треугольника— масса тела.

2) Если в области V f(x,y,z) = 1, то Интегралы по вершинам треугольника— объем тела.

Пример 4. Вычислить тройной интеграл Интегралы по вершинам треугольникапо области V, ограниченной плоскостями: x + y + z = 2, z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаРешение. Изобразим тело – это пирамида АВСД. Плотность тела в каждой точке – переменная величина, пропорциональная х. Изобразим бласть DИнтегралы по вершинам треугольникаxoy это треугольник. Замечание. Изображать тело бывает достаточно трудно, поэтому достаточно изобразить его проекцию.

Вычислим тройной интеграл, расставив пределы интегрирования: Интегралы по вершинам треугольника= Интегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольника<подошли к вычислению двойного интеграла; расставим пределы интегрирования, зная проекцию тела на плоскость хоу – треугольник> =Интегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника

Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются для упрощения вычислений тройных интегралов.

Если проекции тела на координатные плоскости – окружности, то проще тройной интеграл вычислять в цилиндрической системе координат.

Если тело ограничено сферами с центром в начале координат и конусами с вершиной в начале координат, то рациональнее вычисления выполнять в сферической системе координат.

Интегралы по вершинам треугольникаЦилиндрическая система координат.

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,z) в цилиндрической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М’ (М’ – проекция точки М на плоскость хоу), φ – угол, образованный этим радиус-вектором с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), z аппликата точки М. Эти три переменные (ρ,φ,z) называются цилиндрическими координатами точки М.

Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (1): Интегралы по вершинам треугольника, причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, zИнтегралы по вершинам треугольникаR, якобиан преобразования равен как в полярной системе координат ρ.

Тогда Интегралы по вершинам треугольника.

Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Интегралы по вершинам треугольникаz = x2 + y2 + 1 и Интегралы по вершинам треугольника(2).

Решение. Изобрази тело, объем которого будем вычислять. Оно ограничено двумя параболоидами. Его проекция на плоскость хоу – окружность. Решая систему (3) Интегралы по вершинам треугольника, находим уравнение их пересечения на плоскости z = 2: . Радиус окружности R =1.

Запишем уравнения параболоидов в цилиндрической системе координат, используя формулы связи (1) и уравнения поверхностей (2 и 3): Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника, и границы изменения переменных интегрирования: 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ ρ ≤ 1;

V = Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника

= Интегралы по вершинам треугольника.

Интегралы по вершинам треугольника

Точку М(x,y,z) в декартовой системе координат определим тройкой новых переменных M(ρ,φ,θ) в сферической системе координат, где ρ – длина радиуса-вектора точки М (ОМ), φ – угол в плоскости хоу, образованный проекцией радиус-вектора (ОМ’) с осью ох (положительное измерение угла против часовой стрелки), θ угол в плоскости уоz от оси oz до ρ (положительное измерение угла по часовой стрелке). Эти три переменные (ρ,φ,θ) называются сферическими координатами точки М.

Сферические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями (4): Интегралы по вершинам треугольника, причем ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π, якобиан преобразования равен ρ2sinθ. Заметим, что уравнение сферы х2+у2+z2=R2 в сферических координатах имеет вид (подставьте координаты (4)): ρ = R.

Тогда Интегралы по вершинам треугольника.

Пример 6. Вычислить тройной интегралИнтегралы по вершинам треугольника, где V – шар,

Решение. Исходя из приложений, необходимо вычислить массу шара с переменной плотностью, изменяющейся в каждой точке по закону (смотри подынтегральную функцию): Интегралы по вершинам треугольника.

Так как область интегрирования – сфера, то вычисления выполним в сферических координатах (4):

Интегралы по вершинам треугольника= Интегралы по вершинам треугольника

= <заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке> =Интегралы по вершинам треугольника.

Пример 7. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

области, лежащей внутри конуса.

Интегралы по вершинам треугольникаРешение. Решим систему Интегралы по вершинам треугольника

2z2 = 2, z2 = 1, в нашем случае z ≥ 0, поэтому возьмем , z = 1. Тогда проекция тела на плоскость хоу – окружность x2 + y2 = 1, поэтому 0 ≤ φ ≤ 2π. Значения угла θ найдем из уравнения конуса z = , подставив в него сферические координаты:

Интегралы по вершинам треугольника

tgθ = 1, поэтому Интегралы по вершинам треугольникаи пределы изменения θ примут значения 0 ≤ Интегралы по вершинам треугольника. Сферический радиус меняется от нуля до сферы: 0 ≤ ρ ≤ Интегралы по вершинам треугольника, так как в сферических координатах уравнение сферы х2+у2+z2 = 2 имеет вид ρ = Интегралы по вершинам треугольника.

Далее вычисляем объем тела Интегралы по вершинам треугольникаИнтегралы по вершинам треугольника

= <заметим (!), что в сферических координатах тройной интеграл имеет постоянные пределы во всех трех интегралах и в подынтегральных выражениях каждого интеграла переменные разделены, поэтому их можно вычислять в любом порядке> = Интегралы по вершинам треугольника.

🎥 Видео

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способаСкачать

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл через повторный (двукратный) / Два способа

Определенный интеграл. 11 класс.Скачать

Определенный интеграл. 11 класс.

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода

Двойной интеграл / Как находить двойной интегралСкачать

Двойной интеграл / Как находить двойной интеграл

Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать

Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго рода

Формула Остроградского - ГринаСкачать

Формула Остроградского - Грина

Криволинейный интеграл 1 родаСкачать

Криволинейный интеграл 1 рода

Вычисление двойного интегралаСкачать

Вычисление двойного интеграла

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Площадь треугольника с помощью интегралаСкачать

Площадь треугольника с помощью интеграла

Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

Формула ГринаСкачать

Формула Грина

Формула Стокса.ЦиркуляцияСкачать

Формула Стокса.Циркуляция

Как расставить пределы интегрирования в двойном интегралеСкачать

Как расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

Математика без Ху!ни. Интегралы, часть 4. Интегрирование по частям.Скачать

Математика без Ху!ни. Интегралы, часть 4. Интегрирование по частям.

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного

РАЗБИРАЕМ ИНТЕГРАЛЫ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #задачиегэ #формулыСкачать

РАЗБИРАЕМ ИНТЕГРАЛЫ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #задачиегэ #формулы
Поделиться или сохранить к себе: