Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование — замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:
.
Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(x, y) , Q(x, y) и их частные производные 
и 
— функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:
.
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.
Видео:ТФКП. ИНТЕГРАЛ ПО ДУГЕ ОКРУЖНОСТИ от неаналитической функции. Метод замены переменной.Скачать
Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L — контур треугольника OAB , где О(0; 0) , A(1; 2) и B(1; 0) . Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.
а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :
Видео:ТФКП. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов. Пример из ДемидовичаСкачать
Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :
Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:
.
Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :
Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:
.
б) Применим формулу Грина. Так как 
, 
, то 
. У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:
Видео:Вычислить интеграл по заданному контуру. Интегрирование по части окружности и по отрезку прямой.Скачать
Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.
Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
,
где L — контур OAB , OB — дуга параболы y = x² , от точки О(0; 0) до точки A(1; 1) , AB и BO — отрезки прямых, B(0; 1) .
Решение. Так как функции 
, 
, а их частные производные 
, 
, D — область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:
Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
, если L — контур, который образуют линия y = 2 − |x| и ось Oy .
Видео:ТФКП. Интегральная формула Коши. Примеры решений типовых задач. Решение контурных интегралов.Скачать
Решение. Линия y = 2 − |x| состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x .
Имеем функции 
, 
и их частные производные 
и 
. Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат:
Пример 4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл
,
если L — окружность 
.
Решение. Функции 
, 
и их частные производные 
и 
непрерывны в замкнутом круге . Подставляем всё в формулу Грина и вычисляем данный интеграл:
Интеграл по окружности против часовой стрелки
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать
Контакты
 |
