Если дан криволинейный интеграл, а кривая, по которой происходит интегрирование — замкнутая (называется контуром), то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и обозначается следующим образом:
.
Область, ограниченную контуром L обозначим D. Если функции P(x, y) , Q(x, y) и их частные производные 
и 
— функции, непрерывные в области D, то для вычисления криволинейного интеграла можно воспользоваться формулой Грина:
.
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла по замкнутому контуру сводится к вычислению двойного интеграла по области D.
Формула Грина остаётся справедливой для всякой замкнутой области, которую можно проведением дополнительных линий на конечное число простых замкнутых областей.
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L — контур треугольника OAB , где О(0; 0) , A(1; 2) и B(1; 0) . Направление обхода контура — против часовой стрелки. Задачу решить двумя способами: а) вычислить криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника и сложить результаты; б) по формуле Грина.
а) Вычислим криволинейные интегралы по каждой стороне треугольника. Сторона OB находится на оси Ox , поэтому её уравнением будет y = 0 . Поэтому dy = 0 и можем вычислить криволинейный интеграл по стороне OB :
Уравнением стороны BA будет x = 1 . Поэтому dx = 0 . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне BA :
Уравнение стороны AO составим, пользуясь формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:
.
Таким образом, dy = 2dx . Вычисляем криволинейный интеграл по стороне AO :
Данный криволинейный интеграл будет равен сумме интегралов по краям треугольника:
.
б) Применим формулу Грина. Так как 
, 
, то 
. У нас есть всё для того, чтобы вычислить данный интеграл по замкнутому контуру по формуле Грина:
Как видим, получили один и тот же результат, но по формуле Грина вычисление интеграла по замкнутому контуру происходит значительно быстрее.
Пример 2. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
,
где L — контур OAB , OB — дуга параболы y = x² , от точки О(0; 0) до точки A(1; 1) , AB и BO — отрезки прямых, B(0; 1) .
Решение. Так как функции 
, 
, а их частные производные 
, 
, D — область, ограниченная контуром L , у нас есть всё, чтобы воспользоваться формулой Грина и вычислить данный интеграл по замкнутому контуру:
Пример 3. Пользуясь формулой Грина, вычислить криволинейный интеграл
, если L — контур, который образуют линия y = 2 − |x| и ось Oy .
Решение. Линия y = 2 − |x| состоит из двух лучей: y = 2 − x , если x ≥ 0 и y = 2 + x , если x .
Имеем функции 
, 
и их частные производные 
и 
. Подставляем всё в формулу Грина и получаем результат:
Пример 4. С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл
,
если L — окружность 
.
Решение. Функции 
, 
и их частные производные 
и 
непрерывны в замкнутом круге . Подставляем всё в формулу Грина и вычисляем данный интеграл:
Интеграл по окружности против часовой стрелки
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
 |