Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Глава 4. Интегрирование функций комплексного переменного
Определение интеграла от функции комплексного переменного
Пусть $[a,b]$ — отрезок на вещественной оси. Образ при непрерывном отображении отрезка $[a,b]$ на комплексную плоскость называется непрерывной кривой: $$ Gamma=. $$ Непрерывная кривая называется кривой Жордана, если указанные отображения взаимно-однозначны, за исключением, может быть, одной точки на кривой, в которую могут отображаться концы отрезка $[a,b]$ (в таком случае кривая — замкнутая). Другими словами, кривая Жордана — непрерывная кривая без самопересечений.
Кривая Жордана называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная (отображение $z(t)$ — непрерывно дифференцируемо, то есть $x,yin C^1[a,b]$, причем $z'(t)neq0$).
Кривая Жордана называется спрямляемой, если она имеет длину. Гладкая кривая имеет длину, но существуют непрерывные кривые, не имеющие длины.
Пусть в области $D$ плоскости $z$ задана непрерывная функция $$ w=f(z)=u(x,y)+ mathbf i v(x,y) $$ и пусть $ell$ — кусочно-гладкая линия с началом в точке $z_0=a$ и концом в точке $z_n=b$, целиком лежащая в области $D$.
Задание начала и конца линии $ell$ ориентирует эту линию, т.е. устанавливает на ней положительное направление.
Линия $ell$ может быть как незамкнутой, так и замкнутой (в последнем случае $z_n=z_0$).
Любым образом разобьем линию $ell$ на $n$ элементарных дуг в направлении от $a$ к $b$ точками $z_1,dots,z_$, где $z_k=x_k+iy_k$. Обозначим $$z_k-z_=Delta z_k=Delta x_k+iDelta y_k,$$ где $$Delta x_k=x_k-x_, ,,Delta y_k=y_k-y_, ,, k=1,dots,n.$$ ($Delta z_k $ — вектор, идущий из точки $z_$ в точку $z_k$, а $|Delta z_k|$ — длина этого вектора, т.е. длина хорды, стягивающей $k$-ую элементарную дугу).
В произвольном месте каждой элементарной дуги $(z_,z_k)$ возьмем соответственно по точке $t_k=xi_k+mathbf i eta_k$.
Составим сумму $$ sumlimits_^n f(t_k)Delta z_k=sumlimits_^n big(u(xi_k,eta_k)Delta x_k-v(xi_k,eta_k)Delta y_kbig)+ $$ $$ +mathbf i sumlimits_^nbig(v(xi_k,eta_k)Delta x_k+u(xi_k,eta_k) Delta y_kbig). $$
Через $max|Delta z_k|$ обозначим наибольшую из величин $|Delta z_k|$. В курсе математического анализа доказывается, что при условии $max|Delta z_k|to0$ (в этом случае $ntoinfty$) обе суммы в правой части формулы для непрерывных функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ $big($непрерывность этих функций следует из непрерывности $f(z)$$big)$ и кусочно-гладкой $ell$ стремятся к конечным пределам, не зависящими ни от способа разбиения $ell$ на элементарные дуги, ни от выбора точек $t_k$.
Эти пределы являются соответственно криволинейными интегралами второго рода $$ lim_(mbox)= intlimits_ u(x,y),dx-v(x,y),dy+mathbf i intlimits_ v(x,y),dx+u(x,y),dy. $$
Следовательно, при $max|Delta z_k|to0$ и сумма в левой части исходной формулы тоже стремится к конечному пределу, не зависящему ни от выбора точек $z_k$, ни от выбора точек $t_k$. Предел этот называется контурным интегралом от функции $f(z)$ вдоль линии $ell$ и обозначается символом $$ intlimits_ f(z),dz=lim_sumlimits_^n f(t_k)Delta z_k=intlimits_ u,dx-v,dy+ mathbf iintlimits_ v,dx+u,dy, $$ т.е. представляется как сумма криволинейных интегралов от вещественной переменной.
Обозначение для интеграла в случае замкнутой кривой: $$ ointlimits_ f(z),dz.$$
При параметрическом задании дуги $ell$: $z(s)=x(s)+iy(s)$, $s_1 0$ такое, что неравенство $|f(z)-f(z_0)| tfkp/chapter4.txt · Последние изменения: 2022/01/14 10:40 — nvr
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Интеграл от функции комплексного переменного
Рассмотрим гладкую кривую Г на комплексной плоскости, заданную параметрическими уравнениями
(определение гладкой кривой дано в начале §8). Как уже отмечалось в § 8, эти уравнения можно записать в компактной форме:
При изменении параметра t от а до /3 соответствующая точка z(t) будет двигаться по кривой Г. Поэтому уравнения (15.1) и (15.2) не только определяют точки кривой Г, но и задают направление обхода этой кривой. Кривая Г с заданным направлением ее обхода называется ориентированной кривой.
Пусть в области D С С задана непрерывная функция /(г) = = и(х, у) + iv(x. у), и пусть кривая Г лежит в D. Чтобы ввести понятие интеграла [ f(z)dz от функции f(z) по кривой Г, определим г
дифференциал dz равенством dz = dx + idy. Подынтегральное выражение преобразуется к виду
Таким образом, интеграл от комплексной функции f(z) по кривой Г естественно определить равенством
в правую часть которого входят два действительных криволинейных интеграла второго рода от действительных функций и и и. Для вычисления этих интегралов следует вместо х и у подставить функции x(t) и t/(/), а вместо dx и dy — дифференциалы этих функций dx = x'(t) dt и dy = y'(t) dt. Тогда интегралы в правой части (15.3) сведутся к двум интегралам от функций действительного переменного t
Теперь мы готовы дать следующее определение.
Интегралом вдоль кривой Г от функции комплексного переменного f(z) называется число, обозначаемое J’ f(z)dz и вычисляемое по
где z(t) = x(t) + iy(t), а ^ t ^ ft, — уравнение кривой Г, a z'(t) = = x'(t) + iy'<t).
Пример 15.1. Вычислить интеграл от функции f(z) = (г — а) п по окружности радиуса г с центром а, направление обхода которой против часовой стрелки.
Р е ш е н и е. Уравнение окружности z — а = г будет z — а = ге а , или 
При изменении t. от 0 до 2тг точка z(t.) движется по окружности Г против часовой стрелки. Тогда
Применяя равенство (15.5) и формулу Муавра (2.10), получаем
Мы получили результат, важный для дальнейшего изложения:
Заметим, что значение интеграла не зависит от радиуса г окружности.
П р и мер 15.2. Вычислить интеграл от функции f(z) = 1 но гладкой кривой Г с началом в точке а и концом в точке Ь.
Р е ш е н и е. Пусть кривая Г задается уравнением z(t.) = x(t) + + iy <t), а^ t ^ /3, причем а = -г(а), Ь = z( <3).Используя формулу (15.5), а также формулу Ньютона Лейбница для вычисления интегралов от действительных функций, получим
Мы видим, что интеграл f 1 dz не зависит от вида пути Г, соединяю-
щего точки а и 6, а зависит только от концевых точек.
Изложим вкратце другой подход к определению интеграла от комплексной функции f(z) по кривой, аналогичный определению интеграла от действительной функции по отрезку.
Разобьем кривую Г произвольным образом на п участков точками zq = a, z 1, . zn-ь zn = Ь, занумерованными в направлении движения от начальной точки к конечной (рис. 31). Обозначим z — zo = = Az> . , Zlc — Zk-l = Az/c, zn — Zn— 1 = = Azn. (Число Azk изображается вектором, идущим из точки ziL_i в Zk-) На каждом участке (zk-i,Zk) кривой выберем произвольную точку (д- и составим сумму
Эта сумма называется интегральной суммой. Обозначим через Л длину наибольшего из участков, на которые разбита кривая Г. Рассмотрим последовательность разбиений, для которой Л —? 0 (при этом п -* оо).
П1>едел интегральных сумм, вычисленный при условии, что длина наибольшего из участков разбиения стремится к нулю, называется интегралом от функции /(г) по кривой Г и обозначается Г f(z)dz:
Можно показать, что это определение также приводит нас к формуле (15.3) и, следовательно, эквивалентно определению (15.5), данному выше.
Установим основные свойства интеграла / f(z)dz.
1°. Линейность. Для любых комплексных постоянных а и b
Это свойство следует из равенства (15.5) и соответствующих свойств интеграла по отрезку.
2°. Аддитивность. Если кривая Г разбита на участки Ti м Г2, то 
Доказательство. Пусть кривая Г с концами а, Ь разбита точкой с на две части: кривую Гi с концами а, с и кривую Гг с концами с, Ь. Пусть Г задается уравнением z = z(t), а ^ t ^ в. причем а = 2(a), b = z(ft), с = 2(7). Тогда уравнения кривых Г1 и Гг будут z = z(t), где а ^ t ^ 7 для Ti и 7 ^ t ^ /? для Гг. Применяя определение (15.5) и соответствующие свойства интеграла по отрезку, получим
что и требовалось доказать.
Свойство 2° позволяет вычислять интегралы не только по гладким кривым, но также и но кусочно гладким, т.е. кривым, которые можно разбить на конечное число гладких участков.
3°. При изменении направления обхода кривой интеграл меняет знак.
Доказаге л ь с т в о. Пусть кривая Г с концами а и Ь задается уравнением г = г(?), о ^ t ^ $. Кривую, состоящую из тех же точек, что и Г, но отличающуюся от Г направлением обхода (ориентацией), обозначим через Г“. Тогда Г — задается уравнением z = 2i(J)> где z(t) = 2(0 -I— fi — t), Действительно, введем новое переменное г = а + — t. При изменении t от а до (д переменное г изменяется от (5 до а. Следовательно, точка г(т) пробежит кривую Г».
Свойство 3° доказано. (Заметим, что из определения интеграла (15.8) это свойство следует непосредственно: при изменении ориентации кривой все приращения AZk меняют знак.)
4°. Модуль интеграла f f(z)dz не превосходит значения криволи- г
нейного интеграла от модуля функции по длине кривой s (криволинейного интеграла от f(z) первого рода):
Легко видеть, что z[(t) = г’г(т)(а + — t)J = —z’t(t), dt = —dr. Используя определение (15.5) и переходя к переменному г, получим
Доказательство. Воспользуемся тем, что для интеграла по отрезку
(это неравенство сразу следует из определения интеграла по отрезку как предела интегральных сумм). Отсюда и из (15.5) имеем