Интеграл и площадь окружности

Как найти площадь круга? У меня этот вопрос встал очень остро на экзамене по физике в университете, когда я решал одну из задач. Память человека вещь непредсказуемая, сегодня ты помнишь все до мелочей, а завтра это все уже выветрилось из головы. И благо если это была глупость какая, а если нет? Если это день рождения жены или тещи, пароль аккаунта в контакте, или площадь круга. Как это было в моем случае.

Здравствуйте дорогие друзья, меня зовут Валентин Анатольевич, и сегодня мы вычисляем площадь круга 3 способами. Точнее способ будет один, это формула , но вот варианты ее получения будут различны.

Честно говоря, я уже и не помню правильно или нет решил ту задачу, я даже не помню, что это была за задача. Но сам момент того, как выполняя промежуточные расчеты я интегрировал уравнение окружности, чтоб получить казалось бы, простейшую формулу из школьной программы… сильно врезался в память
Итак, первый способ у нас будет от студентов физико-математических факультетов.

Интегрирование.

1. Берем уравнение окружности. Для тех, кто не знает его легко получить из теоремы Пифагора, заменив там катеты на координаты x и y, а за гипотенузу приняв радиус R. Конечно, при условии, что центр окружности будет находится на пересечении координатных осей.

К счастью, это я помнил.
2. Выражаем y.

3. Если вычислить определенный интеграл для значений x от 0 до R, мы получим площадь одной четверти круга.

Соответственно, чтоб получить всю площадь, нам необходимо будет все это безобразие до множить на 4.

4. Давайте выполним замену переменной, и представим x как . Тогда: .
5. Найдем пределы интегрирования. Для этого необходимо в наше уравнение замены переменной подставить значения x и вычислить чему будет равно t при этих значениях. Получаем промежуток от 0 до .
6. Итак запишем нашу формулу:

7. Сделаем еще кое какие математические преобразования и вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона -Лейбница.

Готово. В принципе, не так сложно если не впадать в ступор при виде синусов и косинусов, а также уметь интегрировать.

Но вот вопрос. Люди умели находить с большой точностью площадь круга и до интегрального исчисления. Поэтому давайте попробуем обойтись интегралов.

Площадь прямоугольника

Условно, можно сказать, что площадь — это количество квадратиков, со стороной в единицу помещающихся в данной фигуре. К примеру, кухня в хрущевке имеет размеры 2 на 3 метра. Перемножаем длину на ширину и получаем площадь 6 квадратных метров. То есть если у нас имеется 6 квадратных кусков линолеума, со стороной в 1 метр, мы ими полностью без остатка, покроем весь пол.

Прямоугольную кухню легко разбить на квадраты, но что делать если у нас круг? Скажем круглый кусок сыра.
Любой старший прапорщик, обладая не дюжей армейской смекалкой вам скажет, что нужно в таком случае из круга сделать прямоугольник. И он окажется прав. Почему? По тому что старший прапорщик всегда прав.
В общем метод номер два. Метод старших прапорщиков.

Перегруппировка

Делим круг на восемь равных секторов и совмещаем друг с другом.

Отдаленно напоминает прямоугольник? Нет? Отжимаемся восемь раз, и делим еще.

Если секторов будет бесконечно много, то в таком случае, искривления их дуг будут незначительны. А это значит мы получим уже треугольники.
Опять совместим их друг с другом как и в первом случае. И у нас уже идеальный прямоугольник, с шириной равной радиусу , и длиной в половину длины окружности, то есть .
Перемножаем получаем:

Если внимательно посмотреть на полученную формулу мы увидим, что с её помощью можно найти площадь прямоугольного треугольника с основанием равным длине окружности и высотой равной ее радиусу.

Равенство площадей такого треугольника и круга доказывал Архимед, в своей работе о площадях круга.
Я не буду приводить здесь доказательство этой теоремы, скажу только, что Архимед использовал многоугольники. Один вписанный в окружность, а другой описанный вокруг нее. Площадь круга находилась где-то между площадями этих многоугольников, причем при увеличении сторон, их площади приближались друг к другу, а значит приближались и к площади круга.
Но все же как получить из круга треугольник? Давайте воспользуемся методом неделимых Бонавентуры Кавальери.

Метод неделимых

Представим, что наш круг состоит из бесконечно большого числа окружностей, толщина линий которых стремится к нулю. Если развернуть эти окружности в отрезки и сложить друг на друга стопкой, мы получим треугольник с основанием равным длине большей окружности, то есть и высотой равной радиусу.
Площадь треугольника как известно это половина произведения основания на высоту.
Или в нашем случае .

Те, кто внимательно слушал, наверно помнят, что в теореме Архимеда говорится о прямоугольном треугольнике. Но его довольно легко получить сместив наши отрезки к левому или правому краю. К слову, так легким движением мы докажем еще одну теорему из школьной геометрии. Если знаете какую, пишите в комментариях.
Так же можете написать, как старшие прапорщики находят объем шара, или как бы с этой задачей справился Бонавентура Кавальери.
А я с вами прощаюсь, желаю счастья и до скорых встреч.

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Как найти площадь поверхности вращения с помощью интеграла

Прежде чем перейти к формулам площади поверхности вращения, дадим краткую формулировку самой поверхности вращения. Поверхность вращения, или, что то же самое — поверхность тела вращения — пространственная фигура, образованная вращением отрезка AB кривой вокруг оси Ox (рисунок ниже).

Представим себе криволинейную трапецию, ограниченную сверху упомянутым отрезком кривой. Тело, образованное вращением этой трапеции вокруг то же оси Ox, и есть тело вращения. А площадь поверхности вращения или поверхности тела вращения — это его внешняя оболочка, не считая кругов, образованных вращением вокруг оси прямых x = a и x = b .

Заметим, что тело вращения и соответственно его поверхность могут быть образованы также вращением фигуры не вокруг оси Ox, а вокруг оси Oy.

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая, вращением которой вокруг координатной оси образовано тело вращения.

Формула для вычисления площади поверхности вращения следующая:

(1).

Пример 1. Найти площадь поверхности параболоида, образованную вращением вокруг оси Ox дуги параболы , соответствующей изменению x от x = 0 до x = a .

Решение. Выразим явно функцию, которая задаёт дугу параболы:

Найдём производную этой функции:

Прежде чем воспользоваться формулу для нахождения площади поверхности вращения, напишем ту часть её подынтегрального выражения, которая представляет собой корень и подставим туда найденную только что производную:

Далее по формуле (1) находим:

Ответ: длина дуги кривой равна

.

Пример 2. Найти площадь поверхности, образуемой вращением вокруг оси Ox астроиды .

Решение. Достаточно вычислить площадь поверхности, получающейся от вращения одной ветви астроиды, расположенной в первой четверти, и умножить её на 2. Из уравнения астроиды выразим явно функцию, которую нам нужно будет подставить в формулу для нахождения площади повержности вращения:

.

Производим интегрирование от 0 до a:

Ответ: площадь поверхности вращения равна .

Видео:Площадь круга через интегралСкачать

Вычисление площади поверхности вращения, заданной параметрически

Рассмотрим случай, когда кривая, образующая поверхность вращения, задана параметрическими уравнениями

Тогда площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

(2).

Пример 3. Найти площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной циклоидой и прямой y = a . Циклоида задана параметрическими уравнениями

Решение. Найдём точки пересечения циклоиды и прямой. Приравнивая уравнение циклоиды и уравнение прямой y = a , найдём

Из этого следует, что границы интегрирования соответствуют

Теперь можем применить формулу (2). Найдём производные:

Запишем подкоренное выражение в формуле, подставляя найденные производные:

Найдём корень из этого выражения:

.

Подставим найденное в формулу (2):

.

И, наконец, находим

В преобразовании выражений были использованы тригонометрические формулы

Ответ: площадь поверхности вращения равна .

Видео:Почему площадь сферы в четыре раза больше её тени? [3Blue1Brown]Скачать

Вычисление площади поверхности вращения, заданной в полярных координатах

Пусть кривая, вращением которой образована поверхность, задана в полярных координатах:

Площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:

(3).

Пример 4. Найти площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты вокруг полярной оси.

Решение. Действительные значения для ρ получаются при , то есть при (правая ветвь лемнискаты) или при (левая ветвь лемнискаты).

Решение. Дифференциал корня из формулы площади поверхности вращения равен:

В свою очередь произведение функции, которой задана лемниската, на синус угла равно

.

Поэтому площадь поверхности вращения найдём следующим образом:

.

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Интуитивное объяснение интеграла. Часть I — от умножения натуральных чисел до Ньютона и Лейбница

Видео:Зачем нужен ИНТЕГРАЛ. Объяснение смыслаСкачать

0. Предисловие

Математика представляет собой универсальный, мощный и элегантный раздел знания. По-сути её предмет и значение невозможно разделить с наиболее фундаментальными разделами философии — логикой, онтологией и теорией познания. Именно поэтому она касается прямо или косвенно всех аспектов любого прикладного или теоретического знания.

К сожалению, так сложилось, что многим (и мне) она, порой кажется, слишком сложной, недоступной, наукой для избранных. Между тем, так только кажется ! Безусловно, она требует интеллектуального напряжения, памяти, воображения и много чего ещё, как и многие другие интеллектуальные занятия.

Отличительными особенностями её являются:

использование особой знаковой системы (цифры, буквы разных алфавитов, языковые правила и т.д.),

логическая строгость (понятия, определения, суждения, правила вывода задаются в явном и точном виде),

последовательность (не поймёшь пункт 3, если не понял пункты 1 и 2),

высокая плотность информации на единицу текста (часто смысла в тексте гораздо больше, чем в текстах иного содержания).

Легко показать, что любой интеллектуально развитый человек регулярно использует те же мыслительные конструкции, что и математика. Когда мы говорим давайте рассмотрим десять каких-либо операций (алгоритм) вроде кулинарного рецепта или простейшей программы или рассмотрим какой-либо частный случай явления, определим его свойства, отношения с другими явлениями, изучим структуру — мы прибегаем к универсальным способам мышления, которые характерны для любого знания и в том числе математического.

Эта статья никогда бы не появилась на свет, если бы учебная литература была бы настолько совершенна, что могла бы легко объяснить, что такое интеграл. Перечитав десятки книг и статей я с уверенностью могу сказать, что ни одна из них не объясняет все нюансы этого вопроса так и таким образом, чтобы среднему, неискушённому человеку было всё абсолютно ясно.

Многие источники не удовлетворительны по следующим причинам:

Говорят о какой-то площади под кривой при том, что читатель ни сном, ни духом не задумывался о площади, тем более под кривой и какой-то связи этой площади с универсальной идеей суммирования переменных величин

Без интуитивного подведения читателя через сложение и умножение чисел, основательного разъяснения связи …. сразу бросаются к определению интеграла через предел римановской суммы

Забывают рассказать об историческом процессе развития математики (зачем ввели интеграл, какие открытия этому предшествовали, что подвело к этому, как считали интегральные суммы до этого, как Ньютон и Лейбниц считали интегралы и т.д.)

Не считают нужным или не хотят привести пару тройку простых примеров интегрирования из прикладных наук

Сыпят доказательствами утверждений, которые новичку покажутся неуместными или второстепенными

Забывают напомнить выводы, обозначения и утверждения, использованные или доказанные ранее

Пропускают те или иные алгебраические преобразования, которые «очевидны» автору, но могут запутать новичка

Автору надоело чувствовать неясность и он решил взять дело в свои руки — расписать все аспекты так, чтобы было всё предельно ясно и понятно.

Видео:Площадь круга, продолжение, вывод через интегралыСкачать

1. Предпосылки возникновения интегрирования

Интеграл и интегрирование являются неотъемлемыми и последовательными элементами исследования величин и функций. Интегрирование теснейшим образом связано с важнейшими способами анализа и исследования числовых функций — средними, предельными, бесконечно малыми, бесконечно большими величинами, пределами, дифференциалами, производными и т.д. А потому, без осознания и исследования этих понятий невозможно и формирование понятия интеграла.

Исторически и логически они развивались и развиваются слитно и нераздельно.

Во введении к книге «Развитие понятия интеграла» известный историк математики профессор Фёдор Андреевич Медведев так охарактеризовал сущность интегрирования и процесс его развития в науке «. Интегрирование представляет собой абстрактное выражение разнообразнейших способов измерения величин, и по мере вовлечения в человеческое познание всё новых и новых объектов реальной действительности математики создают всё более и более общие схемы интеграционных процессов с тем, чтобы охватить всё расширяющийся круг объектов, подлежащих измерению» [1].

Как известно осознание самостоятельной значимости и полноценное развитие математики начались в Древней Греции. Постепенное накопление прикладных знаний о различного рода вычислительных, логических и геометрических задачах неизбежно привело к формированию теоретических начал и абстрактных представлений о существе многих математических идей.

Корпус прикладных и теоретических знаний накапливался и формировался шаг за шагом за счёт осмысления логического устройства мышления, применения арифметических операций, составления и решения алгебраических уравнений, построения и изучения свойств плоских и объёмных геометрических фигур.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

2. Геометрический и аналитико-алгебраический смысл интегрирования

Естественным образом, возникает два вида задач, которые отражают два смысла интегрирования: — геометрический и аналитико-алгебраический. Первый — отыскание площади плоской фигуры под произвольной кривой (квадратура) и отыскание объёма (кубатура). Второй — подсчёт суммарного значения некой переменной величины [2], которая изменяется, принимает различные значения сообразно единицам времени, длины и т.д.

Согласно дошедшим до нас источникам, именно отыскание квадратуры является первой формой постановки задачи интегрирования. Задача явно сформулирована и решена в трудах Евдокса Книдского (сформулировал метод исчерпывания, позднее развитый в XVI веке в метод неделимых), Евклида и Архимеда. Древнегреческих математиков интересовали задачи отыскания площади круга, поверхности сферы, сегмента параболы, а также объёма шара, цилиндра, пирамиды, конуса, тетраэдра и ряда других геометрических фигур.

Под проведением квадратуры понималось построение с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого заданной фигуре (то есть имеющего такую же площадь) или прямое вычисление соответствующей площади. Вероятно связи геометрии и анализа если и обнаруживались, то интуитивно и неявно. Во всяком случае координатный метод и понятия дифференциального исчисления точно не были известны, хотя и почти что точно были так или иначе интуитивно восприняты и неявно затронуты.

Что касается второго типа задач. Интегралы часто описываются как площадь под кривой. Это описание сбивает с толку. Точно также, как если сказать, что умножение — это нахождение площади прямоугольника. Именно понимание сущности умножения применительно к различного рода частным случаям позволяет понять аналитико-алгебраическую суть интегрирования.

Понимание и использование простейших случаев умножения, к примеру, умножения натуральных чисел, было известно с древнейших времён.

Однако, за всеми частными случаями умножения находится определённая общность. Вот как можно описать умножение чисел из различных числовых множеств:

В случае с натуральными числами. К примеру, умножим число 3 на число 4, то есть 3 × 4. Умножение — это повторяющееся сложение, то есть произведение чисел получим сложив число три четыре раза или наоборот сложив число четыре три раза [3].

В случае с вещественными числами.

Возьмём одно рациональное число — дробь, а другое целое. К примеру, умножим 3,5 на 2, то есть — 3,5 × 2. Умножение — это повторяющееся сложение, произведение получим сложив число три целых и пять десятых два раза. Также, получить произведение можно путём сложения произведений вначале целой части числа 3,5 то есть 3 на 2, а затем дробной то есть 0,5 на 2. Для целой части — сложим число три два раза, а для дробной части — возьмём единицу разделим на десять, затем возьмём пять частей от деления то есть пять десятых и сложим два раза.

Возьмём два рациональных числа — две дроби и получим произведение. К примеру, умножим 3,5 на 2,1 то есть — 3,5 × 2,1, произведение получим сложив произведение 3,5 на 2 и 3,5 на 0,1 [4]. Словесно это будет выглядеть следующим образом, для первого произведения — сложим число три целых пять десятых два раза, для второго — разделим число три целых пять десятых на десять частей и возьмём одну часть то есть одну десятую.

В случае с отрицательными числами (-2,3 × 4,3), умножение — сумма произведений и разворот числовой оси или иными словами отражение суммарного значения произведения — в данном случае числа 9,89 относительно начала отсчёта, то есть числа ноль, в результате получаем -9,89.

В случае с комплексными числами (3 × 3i), умножение выступает вращением и масштабированием.

Мы ходим вокруг да около «применения» одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование — это всего лишь еще один шаг в этом направлении.

Когда мы умножаем числа мы повторяем сложение, где в каждом слагаемом знаем какие находятся операнды, а именно — повторяющиеся числа.

К примеру, если мы хотим вычислить пройденный путь телом, движущимся с одинаковой скоростью в каждый момент времени, то мы просто перемножим скорость на время (значение функции скорости одинаково, а геометрически грубо говоря одинаково во всем прямоугольнике).

Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (момент за моментом, секунда за секундой). В каждый момент скорость может быть разной.

Вот как это выглядит в большой перспективе:

Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и «масштабируем ее».

Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные в каждое из мгновений (секунд, миллисекунд и т. д.).

То есть, интегральную сумму (значение интеграла, определённый интеграл) можно определить, как максимально точную сумму значений искомой переменной величины

при её изменении в промежутке от до где а .

Точность достигается в пределе, то есть при всё большем уменьшении размера промежутков между значениями или, что тоже самое, при всё большом увеличении числа отрезков (числа — обозначающего индекс-номер последнего отрезка)

Несомненно греческих и более поздних мыслителей интересовали задачи на отыскание суммарного значения переменных величин. Вероятно их устраивало простое суммирование значений переменной величины, приближённые вычисления. Если мы возьмём приращение переменной равное единице, то интеграл приближённо будет равен сумме значений функции в рассматриваемом промежутке.

В дальнейшем, начиная с XVI века (работы Галилея, Кеплера, Кавальери и других о методе неделимых) понимание интегрирования постепенно совершенствовалось и развивалось пока не достигло формализации у Бернхарда Римана в середине XIX века и дальнейшего обобщения.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

3. Интуитивные способы отыскания значения интеграла

Итак, каким же образом вычислить интегральную сумму ? Можно попробовать несколько способов:

Умножить совокупное приращение переменной на значение функции и получить площадь прямоугольника, который добавит значительный излишек, либо срежет значительную часть в зависимости от того какое значение функции мы выберем. Вручную мы можем подобрать такое значение функции, что при умножении её на приращение переменной мы получим довольно точное значение площади (определённого интеграла в промежутке). Для этого нам потребуется провести линию так, чтобы площадь излишка примерно равнялась срезанной площади. Однако, это не даст нам универсального метода отыскания значения искомой величины.

2. Сложить произведения приращения переменной на значение функции в соответствующих точках, получив тем самым сумму площадей прямоугольников, внешне напоминающих лестницу (ступеньки). В самом простом случае приращение равно единице. На этом методе и основано формальное определение определённого интеграла, данное Б. Риманом. О нём мы поговорим ниже.

3. Воспользоваться иными так называемыми численными способами отыскания значения интегральной суммы (интеграла).

Видео:Доказательство площади окружности через интегралСкачать

4. Отыскание значения интеграла через отыскание первообразной

Однако есть более изящный и универсальный способ вычисления интегральной суммы, который был открыт Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницом. Этот способ устанавливает фундаментальную связь дифференцирования (производной) и интегрирования (первообразной).

Чтобы рассмотреть суть открытия, необходимо последовательно прийти к ряду идей и рассуждений.

Пусть имеется некоторая функция от числовой переменной — Обозначим её [5].

Следует отметить несколько обстоятельств относительно рассматриваемой функции:

Функция является числовой, то есть область определения и область значений являются числовыми — принимают числовые значения (более точно — вещественные значения).

Функция непрерывна и принимает значения в каждой точке с соответствующим значением переменной (к примеру, в точкесуществует значение функции , а в точке значение

Функция может иметь любое выражение. Мы можем иметь набор значений функции в соответствующих точках в виде таблицы (функция задана таблично). Или функция может быть явно задана в виде аналитического выражения (к примеру, в случае с функцией от одной вещественной переменной — , и т.д.).

Функция может описывать зависимость величины любой природы — физической, биологической, экономической и т.д.

Для наглядности изобразим график рассматриваемой функции в виде произвольной кривой.

Пусть мы хотим отыскать всю или часть совокупного значения (аналитико-алгебраический смысл интегрирования) или площадь под кривой (геометрический смысл). Выберем промежуток между двумя точками и и продолжим наши рассуждения.

Искомое значение представляет собой функцию и очевидно, что оно будет зависеть от размера промежутка и того значения изначальной функции, которое она принимает в каждой точке этого промежутка. Также, очевидно, что промежуток значений переменной для изначальной функции и функции площади будет одинаковым [6].

Сказанное выше легко показать и увидеть на графике.

Заметим, что значения функции площади не равны значению изначальной функции при том же значении переменной [7]. Значения площади постоянно возрастает слева-направо, то есть при каждом шаге приращения промежутка суммирования (интегрирования).

Пусть теперь исследуемая функция является функцией скорости движения материальной точки (тела) по некоторой траектории. Тогда, очевидно, по определению производной, что скорость в конкретный момент времени — это первая производная пути (координаты) по времени

Если скорость это производная пути и мы знаем аналитическое выражение её выражающее, то мы можем найти выражение для самого пути то есть для самой функции. Мы можем это сделать через операцию, обратную нахождению производной то есть через отыскание первообразной. Это справедливо, поскольку производная и соответствующее ей семейство первообразных единственны.

Данный вывод можно обобщить на все интегрируемые функции.

Далее, легко понять из простых арифметических и геометрических соображений, что значение интегральной суммы (площади) будет равно разности значений полученной функции (первообразной), взятых в соответствующих точках [8].

То есть если требуется найти интегральную сумму в промежутке от до , где первое и второе — некоторые произвольные значения переменной, то необходимо вычислить разность

Указанная сумма и есть определённый интеграл, который записывается, как

[1]. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1974. С. 4

[2]. Имеется ввиду сумма значений переменной, которая является элементом интегрирования, интегрируемой величиной.

[3]. Не имеет значения каким образом будем вычислять произведение, так как от перестановки множителей произведение не меняется, то есть данная операция обладает свойством коммутативности.

[4]. 3,5 · 2 + 3,5 · 0,1 = 3,5 (2 + 0,1) = 3,5 · 2,1.

[5]. Вместоможет быть любое обозначение, к примеру, — это не имеет значения. Буквавсего лишь обозначает имя для функции, а скобки отделяют имя от сущностей — обычно числовых переменных над которыми совершаются те или иные операции, дающие в результате значение функции.

[6]. Переменная-аргумент — одна и таже, то есть иными словами значения переменной-аргумента в точках для и одно и тоже. Далее, мы покажем, что производная , то есть можно записать или .

[7]. То есть . К примеру, пусть функция задана выражением . Тогда, при , , а значение . Если. Тогда, при , , а значение .

[8]. Пусть имеется точка, число 7 и 10, чтобы найти величину промежутка между этими значениями надо найти разность то есть 10 — 7 = 3.

🎥 Видео

Определенный интеграл. 11 класс.Скачать

Как вывести формулу площади круга?Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

ПЛОЩАДЬ КРУГА. ЛАЙФХАК #math #логика #загадка #математика #геометрияСкачать

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25Скачать

Площадь круга - Доказательство Архимеда πR²Скачать

Длина окружности и площадь круга | Математика 6 класс #24 | ИнфоурокСкачать

Площадь кругаСкачать