Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

math4school.ru

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Окружность

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Основные определения

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), которая лежит в той же плоскости, что и кривая.

Отрезок R , который соединяет центр окружности с любой её точкой (а также длина этого отрезка), называется радиусом.

Отрезок DE , который соединяет какие-либо две точки окружности, называется хордой.

Хорда BC , проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Диаметр – наибольшая хорда данной окружности. Наименьшей хорды окружности не существует.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Дуга, ∪AB,– это часть окружности, расположенная между двумя её точками.

Вписанным углом, α , называется угол, образованный двумя хордами, имеющими общий конец.

Центральным углом, β , называется угол, образованный двумя радиусами.

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Хорды

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Параллельные хорды отсекают на окружности равные дуги:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от её центра:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги:

Большая из двух хорд окружности расположена ближе к её центру:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Угол, составленный двумя хордами, измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами, продолженными в обе стороны:

Если хорды AB и CD пересекаются в точке М, то

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Касательные и секущие

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Прямая ( a ), которая лежит в одной плоскости с окружностью и имеет с ней только одну общую точку ( B ), называется касательной к этой окружности.

Прямая ( a ), которая перпендикулярна диаметру окружности ( АВ ) и проходит через его конец ( В ), является касательной к этой окружности.

Касательная окружности перпендикулярна диаметру и радиусу, проведённым в точку касания.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны:

Углы, образованные касательными, проведёнными из одной точки, и прямой, проходящей через центр окружности и эту точку, равны:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках, называется секущей.

Если через точку М вне окружности проведена секущая к ней, то произведение расстояний от точки М до точек пересечения с окружностью равно квадрату длины отрезка касательной, проведённой из точки М к окружности:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Угол, образованный двумя секущими, равен полуразности дуг, заключенных между его сторонами:

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Касание двух окружностей

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Для двух окружностей с центрами О 1 и О 2, и радиусами R и r :

  • при внешнем касании: О 1 О 2 = R + r ;
  • при внутреннем касании: О 1 О 2 = Rr .

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Углы в окружности

Радиан – угол, который соответствует дуге, длина которой равна радиусу окружности. Один радиан содержит приближённо 57°17’44,8’’.

Радиан принимается за единицу измерения углов при так называемом круговом, или радианном, измерении углов.

Если радианная мера угла равна α , то угол содержит (180· α )/ π градусов.

Если градусная мера угла составляет п ° , то круговая – πп /180 радиан.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Угловой величиной дуги называется величина соответствующего ей центрального угла:

Угловая величина дуги обладает следующими свойствами:

  • Угловая величина дуги неотрицательна.
  • Равные дуги имеют равные угловые величины.
  • Если две дуги одной окружности (или равных окружностей) имеют равные угловые величины, то они равны.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, и равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

∠ АВС = ½ ·∪ АС = ½ ·∠ АОС .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), является прямым:

∠ ACВ = ½ ·∪ АВ = ½ ·180°=90°.

Видео:Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Длина окружности и дуги

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Длиной окружности называется общая граница периметров вписанных и описанных правильных многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон.

Отношение длины окружности к длине её диаметра одинаково для всех окружностей и обозначается греческой буквой π .

Длина дуги окружности, выраженной в радианной мере, равна произведению числа её радиан на радиус окружности:

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаСвойства хорд и дуг окружности
Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Хорды окружности равны тогда и только тогда когдаТеорема о бабочке

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Видео:В окружности три хордыСкачать

В окружности три хорды

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьХорды окружности равны тогда и только тогда когда
КругХорды окружности равны тогда и только тогда когда
РадиусХорды окружности равны тогда и только тогда когда
ХордаХорды окружности равны тогда и только тогда когда
ДиаметрХорды окружности равны тогда и только тогда когда
КасательнаяХорды окружности равны тогда и только тогда когда
СекущаяХорды окружности равны тогда и только тогда когда
Окружность
Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрияСкачать

ищем хорду в окружности. огэ 1 часть геометрия

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеХорды окружности равны тогда и только тогда когдаДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыХорды окружности равны тогда и только тогда когдаЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныХорды окружности равны тогда и только тогда когдаБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиХорды окружности равны тогда и только тогда когдаУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыХорды окружности равны тогда и только тогда когдаДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиХорды окружности равны тогда и только тогда когда

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыХорды окружности равны тогда и только тогда когда
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиХорды окружности равны тогда и только тогда когда
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиХорды окружности равны тогда и только тогда когда
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаХорды окружности равны тогда и только тогда когда

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Пересекающиеся хорды
Хорды окружности равны тогда и только тогда когда
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Хорды окружности равны тогда и только тогда когда
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Хорды окружности равны тогда и только тогда когда
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Хорды окружности равны тогда и только тогда когда
Пересекающиеся хорды
Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Видео:ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

ОГЭ по математике. Задание 16

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Тогда справедливо равенство

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Хорды окружности равны тогда и только тогда когда

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📸 Видео

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИСкачать

ОГЭ 23 КАК РЕШИТЬ ЗАДАЧУ НА ХОРДЫ В ОКРУЖНОСТИ

Геометрия Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5Скачать

Геометрия Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности
Поделиться или сохранить к себе: