Геометрия центр описанной окружности

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Геометрия центр описанной окружности

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Геометрия центр описанной окружностиАВС.

Доказать: около Геометрия центр описанной окружностиАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Геометрия центр описанной окружностиАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Геометрия центр описанной окружности

Точка О равноудалена от вершин Геометрия центр описанной окружностиАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Геометрия центр описанной окружностиАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Геометрия центр описанной окружности

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Геометрия центр описанной окружности

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Геометрия центр описанной окружностиВ = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиАDС, Геометрия центр описанной окружностиD = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиАВС, откуда следует Геометрия центр описанной окружностиВ + Геометрия центр описанной окружностиD = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиАDС + Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиАВС = Геометрия центр описанной окружности(Геометрия центр описанной окружностиАDС + Геометрия центр описанной окружностиАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Геометрия центр описанной окружностиАDС + Геометрия центр описанной окружностиАВС = 360 0 , тогда Геометрия центр описанной окружностиВ + Геометрия центр описанной окружностиD = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружности360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Геометрия центр описанной окружностиBАD + Геометрия центр описанной окружностиBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Геометрия центр описанной окружности

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Геометрия центр описанной окружности

Геометрия центр описанной окружностиВСDвнешний угол Геометрия центр описанной окружностиСFD, следовательно, Геометрия центр описанной окружностиBСD = Геометрия центр описанной окружностиВFD + Геометрия центр описанной окружностиFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Геометрия центр описанной окружностиВFD = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВАD и Геометрия центр описанной окружностиFDE = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Геометрия центр описанной окружностиBСD = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВАD + Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиЕF = Геометрия центр описанной окружности(Геометрия центр описанной окружностиВАD + Геометрия центр описанной окружностиЕF), следовательно, Геометрия центр описанной окружностиВСDГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВАD.

Геометрия центр описанной окружностиBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Геометрия центр описанной окружностиBАD = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВЕD, тогда Геометрия центр описанной окружностиBАD + Геометрия центр описанной окружностиBСDГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружности(Геометрия центр описанной окружностиВЕD + Геометрия центр описанной окружностиВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Геометрия центр описанной окружностиВЕD + Геометрия центр описанной окружностиВАD = 360 0 , тогда Геометрия центр описанной окружностиBАD + Геометрия центр описанной окружностиBСDГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружности360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Геометрия центр описанной окружностиBАD + Геометрия центр описанной окружностиBСDГеометрия центр описанной окружности180 0 . Но это противоречит условию Геометрия центр описанной окружностиBАD + Геометрия центр описанной окружностиBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Геометрия центр описанной окружности

По теореме о сумме углов треугольника в Геометрия центр описанной окружностиВСF: Геометрия центр описанной окружностиС + Геометрия центр описанной окружностиВ + Геометрия центр описанной окружностиF = 180 0 , откуда Геометрия центр описанной окружностиС = 180 0 — ( Геометрия центр описанной окружностиВ + Геометрия центр описанной окружностиF). (2)

Геометрия центр описанной окружностиВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Геометрия центр описанной окружностиВ = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиЕF. (3)

Геометрия центр описанной окружностиF и Геометрия центр описанной окружностиВFD смежные, поэтому Геометрия центр описанной окружностиF + Геометрия центр описанной окружностиВFD = 180 0 , откуда Геометрия центр описанной окружностиF = 180 0 — Геометрия центр описанной окружностиВFD = 180 0 — Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Геометрия центр описанной окружностиС = 180 0 — (Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиЕF + 180 0 — Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВАD) = 180 0 — Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиЕF — 180 0 + Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВАD = Геометрия центр описанной окружности(Геометрия центр описанной окружностиВАDГеометрия центр описанной окружностиЕF), следовательно, Геометрия центр описанной окружностиСГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВАD.

Геометрия центр описанной окружностиА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Геометрия центр описанной окружностиА = Геометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружностиВЕD, тогда Геометрия центр описанной окружностиА + Геометрия центр описанной окружностиСГеометрия центр описанной окружностиГеометрия центр описанной окружности(Геометрия центр описанной окружностиВЕD + Геометрия центр описанной окружностиВАD). Но это противоречит условию Геометрия центр описанной окружностиА + Геометрия центр описанной окружностиС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Геометрия центр описанной окружности

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Четырехугольник, вписанный в окружность

Окружность, вписанная в ромб

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Геометрия центр описанной окружностиСерединный перпендикуляр к отрезку
Геометрия центр описанной окружностиОкружность описанная около треугольника
Геометрия центр описанной окружностиСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Геометрия центр описанной окружностиДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Геометрия центр описанной окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Геометрия центр описанной окружности

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Геометрия центр описанной окружности

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Геометрия центр описанной окружности

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Геометрия центр описанной окружности

Геометрия центр описанной окружности

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Геометрия центр описанной окружности

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Геометрия центр описанной окружности

Геометрия центр описанной окружности

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Геометрия центр описанной окружности

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Геометрия центр описанной окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Геометрия центр описанной окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Геометрия центр описанной окружностиВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаГеометрия центр описанной окружностиОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиГеометрия центр описанной окружностиЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиГеометрия центр описанной окружностиЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовГеометрия центр описанной окружности
Площадь треугольникаГеометрия центр описанной окружности
Радиус описанной окружностиГеометрия центр описанной окружности
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Геометрия центр описанной окружности

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаГеометрия центр описанной окружности

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиГеометрия центр описанной окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиГеометрия центр описанной окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиГеометрия центр описанной окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовГеометрия центр описанной окружности

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Геометрия центр описанной окружности,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаГеометрия центр описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиГеометрия центр описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

Геометрия центр описанной окружности

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Геометрия центр описанной окружности

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Геометрия центр описанной окружности

Геометрия центр описанной окружности.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Геометрия центр описанной окружности

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

💥 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Центр описанной окружности.Скачать

Центр описанной окружности.

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Центр описанной окружностиСкачать

Центр описанной окружности

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружности

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне AB

8. Ортоцентр и центр описанной окружности. РасстоянияСкачать

8. Ортоцентр и центр описанной окружности. Расстояния

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математикаСкачать

Где искать центр описанной окружности #геометрия #огэ #егэ #математика

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность
Поделиться или сохранить к себе: