Геометрическое тело из треугольников

Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.

Видео:Оригами октахедрон • Геометрическая фигура окраэдр из 1 листа бумаги без клея • Oridami OctahedronСкачать

Геометрические объемные тела

Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:

1. Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
2. Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
3. Любая из осей координат — это результат векторного произведения двух других.

Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:

1. Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань — это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней — это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
2. Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.

Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:

1. Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
2. Наличие у каждой объемной фигуры площади поверхности.

Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.

Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.

Видео:Икосаэдр из бумаги. Чертёж развертки икосаэдра.Скачать

Фигура куб: описание

Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и прямоугольной призмой, у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.

Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.

Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a 3 и S = 6*a 2 , соответственно.

Видео:Пирамида из бумаги/Paper pyramid/DIYСкачать

Фигура пирамида

Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.

Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.

Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h». Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a 2 *h/3 и S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 , соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.

Видео:Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?Скачать

Фигура тетраэдр: описание

Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.

Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a — длина стороны равностороннего треугольника.

Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH₄, в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.

Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.

Видео:ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ КУБА, ЦИЛИНДРА, ШАРАСкачать

Фигура призма

Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.

Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна теорема Эйлера. Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a 2 *h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Видео:🔥 ФОКУС с треугольником #shortsСкачать

Фигура шар

Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.

Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. Площадь поверхности сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r 2 , а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r 3 /3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).

Видео:оригами пирамида как сделать пирамиду из бумаги схема пирамида хеопса How to make Paper PyramidСкачать

Пирамида из бумаги своими руками. Схемы и способы изготовления

Видео:Натюрморт из геометрических предметовСкачать

Как сделать объемные геометрические фигуры

Дети познают мир в процессе игры и творчества. Трехмерные фигуры, выполненные своими руками, помогут познакомиться с удивительной наукой — геометрией.

Примеры трафаретов и шаблонов можно скачать из Интернета и распечатать. Затем все фигуры вырезают и склеивают. Дети старшего возраста могут самостоятельно нарисовать развертку нужной фигуры, малышам помогают родители,.

Геометрические объекты делают из бумаги (белой или цветной), картона. Из последнего материала они получаются плотными и прочными.

Из бумаги

к оглавлению ^

Из картона

к оглавлению ^

Развертки куба

Треугольника

Прямоугольника

Цилиндра

к оглавлению ^

Ромба

к оглавлению ^

Призмы

Видео:Объемные Геометрические ФИГУРЫ Загадки для ДЕТЕЙСкачать

Задание 2 (построение прямоугольного треугольника)

Постройте на нелинованной бумаге треугольник , чтобы угол был прямым, длина стороны равнялась 15 см, а длина сторогы – 20 см.

Построим точку (Рис. 18).

Проведем через точку прямую (Рис. 19).

Рис. 19. Прямая, проведенная через точку

Для построения прямого угла воспользуемся прямоугольным треугольником. Приложим треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой , а одна из сторон совпала с лучом, как показано на рис. 20.

Рис. 20. Построение прямого угла

Проведем по второй стороне прямого угла треугольника луч из точки и получим прямой угол (Рис. 21).

Рис. 21. Полученный прямой угол

Выполним построение сторон треугольника. Построим отрезок , который равен 15 см (Рис. 22).

Построим отрезок , который равен 20 см (Рис. 23).

Соединим полученные точки отрезком . Мы получили прямоугольный треугольник (Рис. 24) с прямым углом и сторонами см и см.

Рис. 24. Треугольник

Видео:Определение истинной величины треугольника АВС. Метод плоско-параллельного перемещенияСкачать

Схемы для вырезания

Ученикам 1–2 класса демонстрируют в школе простые геометрические фигуры и 3d: квадрат, кубик, прямоугольник. Их несложно вырезать и склеить. Шаблоны развивают мелкую моторику у детей и дают первые представления о геометрии.

Ученики средней школы, которые изучают черчение, делают сложные фигуры: бумажные шестигранники, фигуры из пятиугольников, цилиндры. Из бумаги для детей выполняют домики для кукол, мебель, оригами, замок для маленьких игрушек, маски на лицо (трехмерные называются полигональными).

Конуса

Пирамиды

Шестигранника

Макета с припусками

к оглавлению ^

Параллелепипеда

Трапеции

Овала

к оглавлению ^

Материал, из чего можно сделать плотный шар — картон или плотная бумага.

Многогранника

Параллелограмма

к оглавлению ^

Видео:10 класс, 28 урок, Геометрическое телоСкачать

Задание 1 (определение вида треугольников)

Назовите номера тупоугольных, остроугольных и прямоугольных треугольников на рисунке 16.

Рис. 16. Иллюстрация к заданию 1

Треугольник номер 1 – остроугольный, у него все углы острые. Треугольники номер 3 и 4 – тупоугольные, каждый из них имеет один тупой угол. Фигура номер 2 – прямоугольный треугольник. Проверим, действительно ли эта фигура имеет прямой угол, с помощью прямоугольного треугольника (Рис. 17).

Рис. 17. Проверка треугольника номер 2

Мы видим, что вершины и стороны прямого угла совпали, значит, угол прямой, а треугольник прямоугольный.

Видео:Как сделать объемную ТРЕУГОЛЬНУЮ ПРИЗМУ из бумаги А4? // Геометрические фигуры своими рукамиСкачать

Шаблоны для склеивания

Зачастую школьники задаются вопросом, что можно сделать из бумаги к урокам труда или на выставку. Работы ученика выделятся среди остальных, если это будут сложные трехмерные предметы, рельефные геометрические фигуры, платоновы тела, шаблоны кристаллов и минералов.

Если следовать инструкции, то ученик 5–6 класса сможет без помощи родителей сделать точный додекаэдр или тетраэдр.

Иногда в школе задают логические задания, как из квадрата сделать круг или шестиугольник. Для этого определить центр квадрата, согнув его по диагонали. Точка пересечения прямых — центр квадрата и будущего круга. Исходя из этого, можно начертить круг.

Сложных фигур

к оглавлению ^

к оглавлению ^

Октаэдра

Тетраэдра

Икосаэдра

Додекаэдра

Гексаэдра

к оглавлению ^

Фигурок из треугольников

к оглавлению ^

Видео:ОРИГАМИ ПИРАМИДА | Как сделать пирамиду из бумаги | Геометрические фигуры из бумагиСкачать

Виды углов

Развернутый угол. (Рис. 4)

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Рис. 4. Виды углов: развернутый

Прямой угол (Рис. 5)

Прямой угол составляет половину развернутого.

Рис. 5. Виды углов: прямой угол

Прямой угол можно получить путем складывания бумаги. Сложив лист дважды, мы получим модель прямого угла, его составляют линии сгиба.

Приложим модель угла к углу на чертеже (Рис. 5) таким образом, чтобы углы и стороны совпали (Рис. 6).

Мы убедились, что на чертеже действительно изображен прямой угол.

Для удобства определения, прямой угол или нет, используют особый инструмент – прямоугольный треугольник (Рис. 7).

Рис. 7. Прямоугольный треугольник

Непрямые углы делятся на острые (Рис. и тупые (Рис. 11).

Рис. 10. Сравнение острого и прямого угла

Рис. 11. Виды углов: тупой угол

Тупой угол больше прямого (Рис. 12).

Рис. 12. Сравнение тупого и прямого угла

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Макеты из бумаги

Макетирование — увлекательное занятие. Оно помогает развить воображение и логическое мышление. Из бумаги делают не только фигуры, но и необычные скульптуры, статуэтки, шестиугольные–двенадцатиугольные предметы, наклонные объекты (например, Пизанскую башню), карандаши, линейки. На фото и картинках можно посмотреть, как выглядят оригинальные поделки из бумаги.

Школьники младших классов или дошколята делают бумажные объемные поделки. Например, предметы из овала — веер, цветы, гусеницы. Для них потребуются овалы и круги разного диаметра. Раскладки склеиваются между собой, получаются трехмерные игрушки.

Оригами

к оглавлению ^

Животные

к оглавлению ^

Корабль

Применяется множество вариантов, как сделать кораблик из бумаги.

к оглавлению ^

Полигональные чертежи

к оглавлению ^

Игрушки из фигур

к оглавлению ^

Геометрические маски

Карандаш

к оглавлению ^

Видео:Обучение рисунку. Введение. 11 серия: натюрморт из геометрических телСкачать

Треугольники Кеплера, Фибоначчи и геометрия Платоновых тел

«…Из двух названных раньше треугольников равнобедренный получил в удел одну природу, тогда как неравнобедренный – бесчисленное их множество. Из этого множества нам должно избрать наилучшее… Что ж, если кто-нибудь выберет и назовет нечто еще более прекрасное … мы подчинимся ему не как неприятелю, но как другу».

«…Надо сомневаться и проверять».

В одном из своих самых знаменитых произведений «Тимей» [6] Платон развивает «атомистическое» учение. В качестве «первоатомов» Платон принимает треугольники двух видов – прямоугольный равнобедренный и прямоугольный с меньшим катетом, равным половине гипотенузы, квадрат которой в три раза больше квадрата этого катета. Согласно описанию Платона в «Тимей» [6] четыре равнобедренных треугольника, сложенные в квадрат образуют сложный «атом». Из подобных квадратов можно сложить куб. Шесть других фигур сложенных в равносторонний треугольник образуют грань, из которой, в свою очередь, можно построить три правильных многогранника: тетраэдр (4 грани), октаэдр (8 граней) и икосаэдр (20 граней). Интерпретировав слова Платона приведенные нами в эпиграфе нашей статьи как не случайную оговорку, а как представленную возможность альтернативного способа построения тетраэдра, октаэдра, куба и икосаэдра на основе иных треугольников (отличных от двух видов, описанных Платоном в «Тимей»), мы сделали попытку построения геометрии платоновых тел посредством двух треугольников – Кеплера и Фибоначчи [3, 4, 5]. Для достижения поставленной цели исследования мы использовали натурное трехмерное моделирование геометрических тел-моделей составленных из треугольников Кеплера и Фибоначчи, а так же – геометрическое построение плоских фигур.

Платон сообщает в «Тимей»: «…Огонь и земля, вода и воздух суть тела, а всякое тело имеет глубину. Между тем любая глубина по необходимости должна быть ограничена некоторыми поверхностями; притом всякая прямолинейная поверхность состоит из треугольников. Однако все вообще треугольники восходят к двум, из которых каждый имеет по одному прямому углу и по два острых, но при этом у одного по обе стороны от прямого угла лежат равные углы величиной в одну и ту же долю прямого угла, ограниченные равными сторонами, а у другого – неравные углы, ограниченные неравными сторонами. … между множеством треугольников есть один, прекраснейший, ради которого мы оставим все прочие, а именно тот, который в соединении с подобным ему образует третий треугольник – равносторонний. …нам приходится отдать предпочтение двум треугольникам как таким, из которых составлено тело огня и [трех]прочих тел: один из них равнобедренный, а другой таков, что в нем квадрат большой стороны в три раза больше квадрата меньшой. …четыре рода действительно рождаются из выбранных нами треугольников: три рода слагаются из одного и того же неравнобедренного треугольника [тетраэдр, октаэдр, икосаэдр] и только четвертый род [куб] – из равнобедренного. …В запасе оставалось еще пятое многогранное построение, его Бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»[6].

Согласно представленному Платоном описанию двух видов (условно так определим и будем в дальнейшем их так называть) треугольников мы их наглядно отобразили в рисунке 1. Отношение большего катета к меньшему катету первого вида треугольника равно 1,732050807568877.

Рисунок 1 – Треугольники, описанные Платоном в произведении «Тимей»: слева – первый вид,гипотенуза которого вдвое длиннее меньшего катета; справа – второй вид – равнобедренный

Описывая построение четырех тел, Платон сообщает о нахождении треугольников в первом из них: «…его первоначало – треугольник, у которого гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета. Если такие треугольники сложить, совмещая их гипотенузы, и повторить такое действие трижды, притом так, чтобы меньшие катеты и гипотенузы сошлись в одной точке как в своем центре, то из шестикратного числа треугольников будет рожден один, и он будет равносторонним. Когда же четыре равносторонних треугольника окажутся соединенными в три двугранных угла, они образуют один объемный угол, а именно такой, который занимает место вслед за самым тупым из плоских углов. Завершив построение четырех таких углов, мы получаем первый объемный вид, имеющий свойство делить всю описанную около него сферу на равные и подобные части» [6].

Исходя из описания Платона о составляющих граней тетраэдра, мы построили равносторонний треугольник из 6-ти треугольников первого вида (рисунок 2).

Рисунок 2 – Грань тетраэдра (равносторонний треугольник), построенная из 6-ти треугольников первого вида

Далее Платон сообщает об относительно легком для представления способе построения из первого вида треугольника второго и третьего тела: «…Второй вид [октаэдр]строится из таких же исходных треугольников, соединившихся в восемь равносторонних треугольников и образующих каждый раз из четырех плоских углов по одному объемному; когда таких объемных углов шесть, второе тело получает завершенность. Третий вид [икосаэдр]образуется из сложения ста двадцати исходных треугольников и двенадцати объемных углов, каждый из которых охвачен пятью равносторонними треугольными плоскостями, так что все тело имеет двадцать граней, являющих собой равносторонние треугольники» [6].

Для построения куба Платон избрал второй вид треугольников – равнобедренный. В «Тимей» о построении куба сказано: «…равнобедренный треугольник породил природу четвертого [вида], и притом так, что четыре треугольника, прямые углы которых встречались в одном центре, образовывали квадрат; а из сложения шести квадратов возникало восемь объемных углов, каждый из с которых гармонично охватывается тремя плоскими прямыми углами. Составившееся таким образом тело имело очертания куба, наделенного шестью квадратными плоскими гранями»[6]. Согласно описанию мы построили из треугольников второго вида одну из шести граней куба (рисунок 3).

Рисунок 2 – Грань тетраэдра (равносторонний треугольник), построенная из 6-ти треугольников первого вида

Приняв и интерпретировав слова Платона, приведенные нами в эпиграфе нашей публикации, как возможность альтернативного способа построения тетраэдра, октаэдра, куба и икосаэдра на основе иных треугольников, мы, в рамках и продолжая тему связи треугольников Кеплера и Фибоначчи [3, 4, 5], поставили две задачи нашего исследования:

– обосновать дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи;

– показать возможность построения геометрии платоновых тел посредством двух треугольников – Кеплера и Фибоначчи и возможность вписать эти тела в додекаэдр.

Для решения первой задачи мы использовали натурное трехмерное моделирование геометрических тел-моделей составленных из треугольников Кеплера и Фибоначчи, а для решения второй – геометрическое двухмерное плоскостное построение или, иначе говоря, геометрическое построение плоских фигур.

Разрешая первую задачу, мы выявили в двухмерном пространстве взаимосвязь геометрии 2-х треугольников – Кеплера и Фибоначчи (рисунок 1):

– при взаимном расположении треугольников Кеплера и Фибоначчи в положении, когда они соприкасаются зеркально равными гипотенузами – можно вписать третий треугольник – треугольник Кеплера (в образовавшийся неправильный четырехугольник), который соединяет гипотенузой прямые углы двух других треугольников (рисунок 3);

– отношение меньшего катета к гипотенузе треугольника Кеплера равно отношению большего катета к меньшему треугольника Фибоначчи (значение отношений названых сторон двух треугольников равно константе Ф) (рисунок 4);

– равенство меньших катетов треугольников Кеплера и Фибоначчи при равенстве большего катета треугольника Фибоначчи и гипотенузы треугольника Кеплера (рисунок 4).

Рисунок 3 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: взаимное расположение треугольников Кеплера и Фибоначчи (соприкасаясь зеркально равными гипотенузами) Рисунок 4 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: взаимные отношения длин сторон треугольников Кеплера и Фибоначчи

Для обоснования комплементарности двух рассматриваемых нами треугольников мы построили натурную геометрическую объемную модель, состоящую из 2-х пар треугольников (рисунок 5). Эта модель показывает способ построения геометрического тела, при котором являются общими для названных двух пар треугольников гипотенуза треугольника Кеплера и больший катет треугольника Фибоначчи. Пары объединены в единое целое – объемное геометрическое тело – посредством общих больших катетов треугольников Кеплера и гипотенуз треугольников Фибоначчи.

Рисунок 5 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: натурная геометрическая объемная модель из 2-х пар треугольников (фотографии); красными линиями стрелок на верхней фотографии обозначены поверхности переднего плана геометрического тела, а синими – поверхности заднего плана

Взаимодополняемость треугольников Кеплера и Фибоначчи прослеживается и при построении геометрической объемной модели, включающей три пары треугольников (рисунок 6). Пары треугольников (как и в предыдущей модели – у которых являются общими гипотенуза треугольника Кеплера и больший катет треугольника Фибоначчи) при этом способе расположены по отношению друг к другу под углом в виде равностороннего треугольника, ребра которого образованы гипотенузами треугольника Фибоначчи. Непосредственно с рассматриваемыми ребрами равностороннего треугольника соприкасаются меньшие катеты трех треугольников Кеплера. Следует отметить, что больший катет треугольника Кеплера не пересекается в средней его части с подобными катетами треугольников Кеплера других двух пар (на рисунке 6 – пересекается).

Рисунок 6 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: натурная геометрическая объемная модель из 3-х пар треугольников (фотографии)

Продолжая геометрическое двухмерное плоскостное построение (геометрическое построение плоских фигур) мы вписали в квадрат показанными в рисунке 7 способами по четыре треугольника Кеплера и Фибоначчи с равными диагоналями. При первом способе прямые углы треугольника Кеплера являются углами квадрата. Между собою четыре треугольника Фибоначчи так же вписанные в квадрат уже другим способом соприкасаются между собой меньшим и большим катетами, а их гипотенузы образуют периметр квадрата. Общая для двух треугольников точка пересечения находится в основании прямого угла треугольника Фибоначчи. По краям квадрата нами обозначены красным и синим цветом пропорциональные Золотому сечению отрезки.

Рисунок 7 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: треугольники, вписанные в квадрат. По краям квадрата обозначены красным и синим цветом пропорциональные Золотому сечению отрезки

Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи можно проследить и в модели неправильного тетраэдра, три ребра которого и вершины образованы тремя треугольниками Кеплера (рисунок 8). Три боковые поверхности этого треугольника можно без погрешностей составить из шести других треугольников – с линейными размерами треугольника Фибоначчи (по два на каждую сторону и в положении, при котором общим для двух треугольников является больший катет).

Рисунок 8 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: треугольники, вписанные в неправильный тетраэдр. Вид сверху-спереди

Основание рассматриваемого нами неправильного тетраэдра образовано меньшими катетами шести треугольников Фибоначчи и является равносторонним треугольником.

Приступая к решению второй задачи нашего исследования (показать возможность построения геометрии платоновых тел посредством двух треугольников – Кеплера и Фибоначчи) мы оговоримся о некоторых обозначенных нами ограничивающих условиях (о назначении которых станет понятно в завершающей части статьи):

– построение геометрических тел (платоновых тел) допускается треугольниками Кеплера и Фибоначчи различных размеров, но не более трех;

– количество треугольников разных видов должно быть одинаково (парно представлено в геометрии тел по количеству и их размерам);

– треугольники Кеплера и Фибоначчи должны образовывать центр симметрии построенного геометрического тела;

– треугольники Кеплера и Фибоначчи должны позволять формировать структурообразующие элементы тела: его вершины, грани и центр симметрии.

Перечисленные условия позволили нам построить четыре геометрических тела (неправильные тетраэдр и октаэдр, куб, икосаэдр) и вписать их додекаэдр.

Построение неправильного тетраэдра. Для построения неправильного тетраэдра нами использовано шесть пар треугольников Кеплера (на рисунке 9 обозначены красным цветом) и Фибоначчи (на рис. 9 обозначены синим цветом) разных размеров (по три больших и три малых треугольников Кеплера и столько же больших и малых треугольников Фибоначчи). Три малых треугольника Кеплера образуют меньшую часть трех ребер тетраэдра своими гипотенузами, и столько же больших треугольников Фибоначчи – большую часть этих ребер и основание геометрического тела. Три малых треугольника Фибоначчи образуют общие катеты: с одной стороны (малым катетом) – с малым катетом треугольника Кеплера, с другой стороны (большим катетом) – с меньшим катетом большего треугольника Фибоначчи. Три больших треугольника Кеплера (на рис. 9 обозначены красными пунктирными линиями) образуют пары с тремя большими треугольниками Фибоначчи как в моделях, у которых являются общими гипотенуза треугольника Кеплера и больший катет треугольника Фибоначчи (см. рисунки 5, 6)).

Рисунок 8 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: треугольники, вписанные в неправильный тетраэдр. Вид сверху-спереди

Для наглядного представления относительно сложного построения неправильного тетраэдра нами сделаны рисунки, наглядно представляющие геометрическое тело сверху и его сечение, проходящее через вершину и центр его основания – равносторонний треугольник (рисунок 10, 11).

Рисунок 8 – Дуальность и комплементарность треугольников Кеплера и Фибоначчи: треугольники, вписанные в неправильный тетраэдр. Вид сверху-спереди Рисунок 11 – Сечение неправильного тетраэдра, проходящее через вершину и центр его основания – равносторонний треугольник. Треугольник Кеплера обозначен красным цветом, треугольник Фибоначчи – синим

Построение неправильного октаэдра. Для построения неправильного октаэдра необходимо 12 пар треугольников Кеплера и Фибоначчи – равное количество больших и меньших треугольников (рисунок 12). Своеобразный «каркас» геометрического тела формируют восемь больших треугольников Кеплера соприкасающихся между собой большими катетами в вертикальной плоскости и меньшими – в сагиттальной и горизонтальной плоскостях (крест-накрест) (рисунок 13). Восемь треугольников Фибоначчи местами соединения гипотенуз и больших катетов образуют две противолежащих вершины тела, а меньшими своими катетами – периметр и четыре вершины тела. Больший катет больших треугольников Фибоначчи и гипотенузы больших треугольников Кеплера образуют апофемы двух пирамидальных конструкций геометрического тела. По отношению линейных размеров обе пирамидальные составляющие октаэдра подобны таковым пирамиды Хуфу [3, 4, 5].

Рисунок 12 – Неправильный октаэдр. Вид сбоку. Треугольники Кеплера обозначены красным цветом, треугольники Фибоначчи – синим Рисунок 13 – Неправильный октаэдр. Вид сверху

Основание обеих пирамидальных форм октаэдра содержит по четыре малых треугольника Кеплера и Фибоначчи, соприкасающихся в центре симметрии неправильного октаэдра одной из своих вершин (рисунок 14).

Рисунок 14 – Поперечное сечение неправильного октаэдра, проходящее через его центр симметрии и четыре вершины. Треугольники Кеплера обозначены красным цветом, треугольники Фибоначчи – синим

Построение куба. Построение геометрии куба посредством треугольников Кеплера и Фибоначчи требует 24 их пары. На рисунке 15 показано одно из шести подобных диагональных сечений куба, проходящее через его 4 вершины и центр симметрии. Вершины куба образованы соединением катетов треугольников Кеплера, гипотенузы которых являются общими с меньшими катетами треугольников Фибоначчи. Соединения катетов и гипотенуз треугольников Фибоначчи образуют центр симметрии куба.

Рисунок 15 – Диагональное сечение куба, проходящее через его 4 вершины и центр симметрии. Треугольники Кеплера обозначены красным цветом, треугольники Фибоначчи – синим

Для наглядного представления геометрии куба и сечений с треугольниками Кеплера и Фибоначчи мы сделали рисунок двух диагональных сечений куба в трехмерной плоскости (рисунок 16). Мы сочли ненужным представление всех шести сечений куба в одном рисунке, так как подобное изображение будет очень сложным для восприятия.

Рисунок 16 – Два диагональных сечения куба через его вершины в трехмерной плоскости. Вид сверху-спереди-сбоку

Построение икосаэдра. Существует возможность построения икосаэдра из шестидесяти пар треугольников Кеплера и Фибоначчи. Для наглядности при построении икосаэдра мы воспользовались его поперечным сечением, проходящим через его центр симметрии и четыре противоположных вершины (два ребра) [1] (рисунки 17, 18). Ребро икосаэдра образуют два малых катета треугольников Фибоначчи, а его вершины – соединения меньшего катета и гипотенузы треугольников Кеплера и Фибоначчи. Центр симметрии икосаэдра находится в месте соединения гипотенуз с катетами двух видов треугольников. Следует отметить в рассматриваемом сечении одно отношение: линейные размеры противолежащих ребер (вершин геометрического тела) и расстояние между ними равны константе Золотой пропорции. Икосаэдр содержит 30 ребер, следовательно, рассматриваемых нами сечений в нем – 15. Каждое подобное сечение содержит по 4 пары треугольников Кеплера и Фибоначчи. Общее количество треугольников икосаэдра, таким образом, равно 120.

Рисунок 17 – Поперечное сечение икосаэдра, проходящее через его центр симметрии и четыре противоположных вершины (два ребра) [1]. Треугольники Кеплера обозначены красным цветом, треугольники Фибоначчи – синим Рисунок 18 – Сечение икосаэдра в трехмерной плоскости. Вид сверху-спереди

Среди четырех платоновых тел – неправильные тетраэдр и октаэдр, куб, икосаэдр – имеется определенная числовая закономерность: отношение пар треугольников Кеплера и Фибоначчи в определенной нами геометрической структуре этих тел по порядку их усложнения (от тетраэдра, октаэдра и до куба) увеличивается ровно в два раза (6 пар – в тетраэдре, 12 пар – в октаэдре, 24 пары – в кубе), а увеличение количества пар элементов (треугольников Кеплера и Фибоначчи) между кубом и икосаэдром – ровно в 2,5 раза (24 пары и 60 пар).

Оси симметрии додекаэдра. Дуальный икосаэдру додекаэдр можно, так же как и икосаэдр, воспроизвести из 120 треугольников – 60-ти пар треугольников Кеплера и Фибоначчи. На рисунке 19 представлено сечение додекаэдра, проходящее через его центр симметрии и четыре противоположных вершины (два ребра) [1]. Рассматриваемое сечение позволяет разместить в нем четыре пары треугольников Кеплера и Фибоначчи с центром симметрии в середине геометрического тела. При этом общими для пар являются большие их катеты. Своими меньшими катетами они образуют непосредственно боковую линию сечения додекаэдра. Поперечное сечение додекаэдра, проходящее через его центр симметрии и четыре противоположных вершины (два ребра) позволяет выделить отношение Золотой пропорции между длиной ребра и расстоянием противолежащего ребра (рисунок 19, два прямоугольника выделенных красным и синим цветом). Рассматривая это сечение додекаэдра в трехмерной плоскости можно выделить так же отношение Золотого сечения между длиной ребра и расстоянием между двумя противолежащими вершинами одной поверхности додекаэдра (рисунок 20).

Рисунок 19 – Поперечное сечение додекаэдра, проходящее через его центр симметрии и четыре противоположных вершины (два ребра) [1]. Треугольники Кеплера обозначены красным цветом, треугольники Фибоначчи – синим Рисунок 20 – Сечение додекаэдра в трехмерной плоскости

Красной, желтой, синей линией обозначены расстояния между отдельными вершинами. Вид сверху-спереди

На рисунке 21 нами выделены оси симметрии вписанных в додекаэдр платоновых тел: красным и желтым цветом – оси симметрии всех вершин икосаэдра и четырех вершин куба; черным и зеленым – оси симметрии вершин тетраэдра и куба. Не выделены только в этом рисунке оси симметрии ребер для октаэдра (усложняет восприятие). Воспроизведенная нами геометрия четырех платоновых тел (тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра) посредством треугольников Кеплера и Фибоначчи может быть вписана в додекаэдр определенными нами способами (совмещая центры симметрии тел с таковым додекаэдра) по отношению к выделенным осям симметрии додекаэдра (рисунок 22).

Рисунок 21 – Оси симметрии вписанных в додекаэдр платоновых тел: красным и желтым цветом – оси симметрии всех вершин икосаэдра и четырех вершин куба; черным и зеленым – оси симметрии вершин тетраэдра и куба Рисунок 22 – Вписанные по отношению к осям симметрии в додекаэдр неправильный тетраэдр (слева) и куб (справа) Рисунок 23 – Вписанные по отношению к осям симметрии в додекаэдр неправильный октаэдр (слева) и икосаэдр (справа)

Вписывание неправильных геометрических тел в «правильную» геометрию додекаэдра может породить закономерный вопрос: если тела неправильны, то возможно ли их вписать в правильное геометрическое тело? Для прояснения вопроса вернемся к рисунку 20, где (в трехмерной плоскости) красной, желтой и синей линиями обозначены расстояния между отдельными вершинами. И эти расстояния соотнесены нами в пропорции Золотого сечения. А константа золотой пропорции – число иррациональное. На этом основании мы допускаем, что отношение линейных размеров додекаэдра не может быть точно определено. В этой связи мы признаем возможность вписывания в додекаэдр неправильных геометрических тел – построенных нами неправильного тетраэдра и неправильного октаэдра. Различия по высоте между правильным и неправильным тетраэдром составляют около 6 %, а различия по отношению к высоте соответствующего тетраэдру додекаэдра – и того меньше. Сопоставимые различия с различиями неправильного тетраэдра (по отношению к правильному тетраэдру) имеет и неправильный октаэдр. Оба рассматриваемых нами геометрических тела имеют поверхности (три у тетраэдра и восемь у октаэдра), образованные треугольниками и отличающиеся от таковых равностороннего треугольника на 1,7º – 58,3º.

В связи с проведенным исследованием, резюмируем: вписанные в геометрию платоновых тех дуальные треугольники Кеплера и Фибоначчи можно представить в виде математических отношений Золотой пропорции этих тел. Появляется возможность предположить, что наличие в структуре платоновых тел математических отношений Золотой пропорции в виде дуальных треугольников Кеплера и Фибоначчи может быть связано с его проявлением как структуро-, морфо- и функционально образующей материальной основы объектов неживой и живой природы. Подобная мысль, как представляется, перекликается с высказыванием С.Л. Василенко: «Если в глобальном проявлении окружающий мир упорядочен пропорциональными структурами, то велика вероятность, что в его основе лежит именно модель золотого сечения …золотая пропорция выступает в роли структурирующей подосновы»[2]

1. Алферов, С.А. О взаимосвязях додекаэдра и икосаэдра // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.14041, 29.11.2006
2. Василенко, С.Л.Дуализм модели золотой пропорции // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23987, 23.11.2017
3. Ворон, А.В. Геометрический треугольник Фибоначчи и пирамида Хеопса // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.23546, 13.07.2017
4. Ворон, А.В. Свойства треугольников Кеплера, Фибоначчи и их связь с геометрией пирамиды Хуфу // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.24320, 04.03.2018
5. Ворон, А.В. Способ воспроизведения геометрии пирамиды Хуфу на основе использования чисел Фибоначчи // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.24204, 20.01.2018
6. Платон. Тимей / Собр. соч. в 4-х т. – М.: Мысль, 1994.

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

💥 Видео

КАК СДЕЛАТЬ ЗВЁЗДЧАТЫЙ ОКТАЭДР? ЗВЁЗДЧАТЫЙ ОКТАЭДР. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ ИЗ БУМАГИ. | #RAIDOTVСкачать

КАК СДЕЛАТЬ ЦИЛИНДР ИЗ БУМАГИ? КАК СДЕЛАТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ? ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА. | #RAIDOTVСкачать

Учим плоские геометрические фигуры с паровозиком Чух-Чухом - часть первая (1). Геометрия для детейСкачать

КАК СДЕЛАТЬ КОНУС ИЗ БУМАГИ? КАК СДЕЛАТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ? ГЕОМЕТРИЯ. | #RAIDOTVСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать