Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Серединная плоскость скрещивающихся прямых. Найдем геометрическое место середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум данным скрещивающимся прямым a и b

Решение 1. Пусть M — произвольная точка искомого множества, т.е. середина некоторого отрезка AB, A ?a, B ?b (рис. 5). Построим пару параллельных плоскостей a и b, содержащих соответственно прямые a и b. Проведем через точку M плоскость g, параллельную этим плоскостям. В плоскости г лежат середины всех отрезков с концами на a и b, в частности, и середины всех отрезков с концами на прямых a и b. Плоскость г называется серединной плоскостью скрещивающихся прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Обратно, пусть точка M — произвольная точка серединной плоскости г. Прямая l пересечения плоскостей (M, a) и (M, b) пересекает каждую из прямых a и b. Следовательно, точка M принадлежит искомому ГМТ.

Итак, геометрическим местом середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум скрещивающимся прямым, является серединная плоскость г этих прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Решение 2 (методом преобразований). Фиксируем точку A прямой a. Гомотетия с центром A и коэффициентом 1/2 отображает прямую b на прямую b0 b (рис. 6), на которой лежат середины отрезков AB для любой точки B прямой b. Аналогично фиксируем точку B. Гомотетия с центром B и коэффициентом 1/2 отображает прямую a на прямую а0.Если перемещать одновременно точку A по прямой a, а точку B по прямой b, то объединение всех прямых a0 и b0 — образов прямых a и b при указанных гомотетиях есть серединная плоскость г, содержащая середины всех отрезков AB.

Видео:ГМТ // ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕКСкачать

ГМТ // ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК

Метод геометрических мест точек

Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест. Понятие геометрического места является одним из важнейших в геометрии. Термин «геометрическое место точек» был введен еще древнегреческим ученым и философом Аристотелем (384-222 гг. до новой эры), который представлял себе линию, как некоторое «место», где могут быть размещены точки. Понятие линии как следа движущей точки или совокупность точек, возникли значительно позже.

Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ), обладающих определенным свойством, называется множество всех точек, которые обладают этим свойством.

Сущность метода состоит в следующем. Пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A, а ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B. Искомая точка X принадлежит A и B, т.е. является их точкой пересечения.

При решении задач этим методом надо знать основные геометрические места точек на плоскости:

1. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек.

2. ГМТ, находящихся на данном расстоянии oт данной точки.

3. ГМТ, удаленных на расстояние d oт данной прямой.

4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

5. ГМТ, равноудаленных от сторон угла.

6. ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Некоторые геометрические места точек, часто используемые

Рассмотрим построение основных ГМТ, перечисленных в предыдущем пункте.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

точек, является серединный перпендикуляр к отрезку с концами в этих

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

2. Геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии

oт данной точки, является окружность с центром в данной точке и радиусом, равном данному отрезку.

3. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние d oт

данной прямой в выбранной полуплоскости, является прямая

параллельная данной и находящаяся на расстоянии d от нее.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

А выбираем произвольно.

4. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных

параллельных прямых, является прямая, находящаяся на одинаковом

расстоянии от данных прямых (ось симметрии этих прямых).

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

5. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла,

является биссектриса этого угла. (См. построение 4).

6. Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под

данным углом, является дуга окружности, опирающейся на этот отрезок.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхI случай:

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых— данный угол,

АВ – данный отрезок.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Действительно, ∟АМВ, как угол, вписанный в окружность, измеряется

половиной малой дуги АВ, так как центральный угол ∟АОВ = 2α, то

При этом заметим, что центр окружности О и вершина М угла лежат по

одну сторону от данного отрезка

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхII случай: Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

1. О – середина АВ.

Полуокружность Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

(Любой угол, опирающийся на диаметр –

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпрямой).

III случай: Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Действительно, ∟АОВ = 2( 90 0 – (α — 90 0 )) = 2(180 0 — α). Тогда большая дуга

АВ равна 360 0 – 2(180 0 — α) = 2α и угол АМВ, опирающийся на большую дугу АВ, измеряется половиной этой дуги, т.е. равен α.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Глава 1. Основные сведения о конструктивной геометрии в пространстве

1.1. Аксиомы конструктивной геометрии в пространстве

1.2. Задачи на построение в пространстве, разрешимость которых следует из аксиом

Глава 2. Решение задач на построения в пространстве

2.1. Скрещивающиеся прямые

2. 3 . Построения на изображениях

Актуальность работы. Геометрия в школе традиционно считается одним из сложных школьных предметов. Иногда, количества часов, отведенных на геометрию бывает недостаточно школьникам для полного и качественного усвоения материала. В связи с этим возникает недопонимание, отставание от тем и зазубривание материала с целью получения хорошей оценки. Таким образом теряется интерес к предмету.

Для достижения высокого интеллектуального развития уровня в геометрии необходимо: выработать у обучающихся желание к изучению и интерес к предмету; развить логическое мышление и пространственное воображение; самостоятельность в решении задач и доказательствах. Решить эту проблему можно разнообразив учебный процесс, внедряя различные современные ТСО (технические средства обучения).

Объект: процесс обучения геометрии обучающихся общеобразовательной школы.

Предмет: использование программы GeoGebra в процессе решения задач на геометрическое построение в пространстве.

1) Показать возможности и ценность использования программы GeoGebra в преподавании математики.

Глава 1.Основные сведения о конструктивной геометрии в пространстве

1.1. Аксиомы конструктивной геометрии в пространстве

Построения на плоскости выполняются с помощью чертежных
инструментов: циркуля и линейки. В отличие от этого, построения в
пространстве выполняют лишь мысленно, в уме. Чтобы было легче следить за ходом построения в пространстве, его сопровождают иллюстративным
рисунком. Стереометрические построения используются для доказательства
существования фигур, обладающих заданными свойствами. Аксиомы, используемые для стереометрических построений, можно разделить на две группы: 1) общие аксиомы конструктивной геометрии; 2) инструментальные аксиомы.

Общие аксиомы конструктивной геометрии используются при решении любой задачи на построение в любом пространстве (необязательно евклидовом). Общие аксиомы будем обозначать АО. Перейдем к их формулировке.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Каждая из данных фигур Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпостроена.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Если построены фигуры Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, то построена и фигура Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, т.е. фигура, являющаяся их объединением.
Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Если фигуры Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпостроены и их пересечение Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхне пусто, то фигура Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпостроена. Вопрос о том, является ли пересечение фигур Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпустым множеством или нет, решается в каждом случае с помощью
соответствующих предложений математики.
Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Если фигуры Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпостроены и их разность Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхне является
пустым множеством, то фигура Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпостроена.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Если фигура F построена, то можно построить точку, принадлежащую этой фигуре.
Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Если фигура F построена, то можно построить точку, не принадлежащую этой фигуре F.

Из аксиом Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхследует существование произвольной прямой, произвольной плоскости.

Инструментальные аксиомы описывают возможности воображаемых
инструментов: сферографа и планиграфа. Будем обозначать инструментальные аксиомы АИ. Сформулируем эти аксиомы.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Можно построить плоскость, если заданы три ее точки, не лежащие на одной прямой (аксиома планиграфа).
Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхМожно построить сферу, если заданы центр и радиус (аксиома сферографа).
Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхВ любой построенной плоскости можно построить любую фигуру,
построение которой выполнимо циркулем и линейкой.

При решении задач на построение в пространстве кроме общих и
инструментальных аксиом используются аксиомы стереометрии, которые мы здесь не приводим, в тексте делаются ссылки на школьные учебники по геометрии под редакцией Л. С. Атанасяна [4,5].

Задача на построение в пространстве считается решенной, если она сводится к конечному числу построений, выполнимость которых гарантирована аксиомами.

Задача на построение в пространстве решается по обычной схеме: анализ, построение, доказательство, исследование.

1.2. Задачи на построение в пространстве, разрешимость которых следует из аксиом

Задача 1. Построить плоскость, проходящую через построенную прямую и построенную точку вне ее.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Обозначим построенную прямую а, построенную точку А .

1. Возьмем точки В и С, лежащие на прямой а.

2. Через точки А, В, С проведем плоскость (аксиома Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых). Построенная плоскость проходит через прямую а по следствию 2 из системы аксиом стереометрии.

Задача 2. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Обозначим данную точку А, данную прямую а. Проводим плоскость a через данные точку и прямую.

2. В этой плоскости a с помощью циркуля и линейки строим прямую Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых,
параллельную а ( Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых).

Задача 3. Через данную точку вне данной плоскости провести плоскость, параллельную данной плоскости.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Обозначим данную точку А, данную плоскость a .

1. В плоскости a проведем некоторую прямую а (сначала построим две
точки принадлежащие плоскости, а затем – прямую).

2. Проведем плоскость b через точку А и прямую а.

3. В плоскости b через точку А проведем прямую Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых , параллельную а ( Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых). 4. В плоскости a построим прямую b.

5. Через точку А и прямую b проведем плоскость g .

6. В плоскости g через точку А проведем прямую Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, параллельную b.

7. Через прямые Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпроведем плоскость s .

Из параллельности прямых a и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, b и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхследует параллельность плоскостей a и s . Построенная плоскость s единственная. Докажем это.

Предположим, что существует другая плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, которая проходит через точку А и параллельна плоскости a . Так как плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи b имеют общую точку А, то они пересекаются по прямой с, которая проходит через эту точку. Прямая с не имеет общих точек с прямой а, так как эти прямые лежат в плоскостях Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи a , не имеющих общих точек. Прямые а и с лежат в плоскости b , проходят через точку А и не имеют общих точек, следовательно, эти прямые параллельны, что противоречит аксиоме параллельных IX. Полученное противоречие доказывает единственность плоскости s .

Задача 4. Из данной точки, не принадлежащей данной прямой, опустить на эту прямую перпендикуляр.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

1. Проведем плоскость a через данные прямую а и точку А.

2.В плоскости a из точки А опустим перпендикуляр на прямую а ( Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых).

Задача 5. Даны две скрещивающиеся прямые. Построить две параллельные плоскости, содержащие эти прямые.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

1. Возьмем любую точку А на прямой а (аксиома Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых).

2. Через точку А проведем прямую Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых , параллельную прямой b.

3. Проведем плоскость a через прямые а и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Аналогично строим плоскость b , содержащую прямую b и параллельную прямой а. Плоскости a и b – искомые, так как они параллельны (а Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, b Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых) и каждая из них содержит одну из скрещивающихся прямых.

Докажем единственность этой пары параллельных плоскостей. Сначала докажем единственность плоскости a . Предположим, что существует другая плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, которая проходит через прямую а параллельна прямой b. Через прямые b и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпроведем плоскость g . Плоскости g и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхимеют общую точку А, поэтому они пересекаются по прямой с, которая проходит через эту точку.

В плоскости g имеем две разные прямые Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи с, которые проходят через одну точку А и параллельны прямой b. Это противоречие с аксиомой IX доказывает единственность плоскости a . Аналогично можно доказать единственность плоскости b .

Задача 6. Через данную вне прямой точку провести плоскость, перпендикулярную данной прямой.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Обозначим данную точку А, данную прямую l.

1. Через прямую l и точку А проведем плоскость b .

2. В плоскости b из точки А проведем перпендикуляр m к прямой l ( Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых).

3. Через произвольную точку В пространства (все пространство считается построенной фигурой, существование точки В гарантирует аксиома Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых) и прямую l проведем плоскость g .

4. В плоскости g из точки Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхвосстановим перпендикуляр n к прямой l.

5. Через прямые m и n проведем плоскость a . Плоскость a – искомая, так как m ^ l , n ^ l Þa ^ l. Докажем единственность плоскости a . Пусть существует плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых ¹a , проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой l. Так как плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи b имеют общую точку А, то по аксиоме Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхони пересекаются по прямой Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых , проходящей через точку А. Прямая l перпендикулярна к плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, поэтому прямая l перпендикулярна к прямой Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Таким образом, в плоскости b через точку А проходят два различных перпендикуляра m и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхк прямой l, что противоречит аксиоме о параллельных прямых IX. Следовательно, a Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых .

Задача 7. Через данную вне плоскости точку провести перпендикуляр к данной плоскости.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Обозначим данную точку М, данную плоскость a .

1. В плоскости a проведем произвольную прямую а.

2. Через точку М проведем плоскость b , перпендикулярную прямой а (основная задача 7).

3. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

4. В плоскости b из точки М опустим перпендикуляр с на прямую b. Прямая с перпендикулярна к плоскости a , так как прямая с перпендикулярна прямым а и b. Докажем единственность перпендикуляра с. Пусть через точку М проходит другой перпендикуляр Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхк плоскости a . Через пересекающиеся прямые с и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпроведем плоскость. Обозначим N и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхоснования перпендикуляров с и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Треугольник Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхимеет два прямых угла, что противоречит аксиоме IX.

Глава 2. Решение задач на построения в пространстве

2.1. Скрещивающиеся прямые

Задача 1. Найдите геометрическое место середин отрезков, которые параллельны данной плоскости и концы которых лежат на двух данных
скрещивающихся прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Пусть данные прямые Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпересекают данную плоскость Π в точках P и Q (если Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхΠ или Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхΠ, то искомых отрезков нет). Проведём через
середину M отрезка PQ прямые Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, параллельные прямым Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхсоответственно. Пусть некоторая плоскость, параллельная плоскости Π, пересекает
прямые Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхв точках Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, а прямые Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых— в точках Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Тогда
Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых— искомый отрезок, причём его середина совпадает с серединой отрезка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, так как Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых— параллелограмм. Середины отрезков Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхлежат на одной прямой, так как все эти отрезки параллельны друг другу.

Задача 2. Найдите геометрическое место середин отрезков данной длины, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся перпендикулярных прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Пусть k и m – данные прямые, расстояние между которыми равно h. Рассмотрим плоскость a , параллельную каждой из данных прямых и равноудаленную от них.

Середина любого отрезка KM с концами на данных прямых лежит в этой плоскости. Действительно, если K’ и M’ – ортогональные проекции точек K и M на плоскость a , а С – точка пересечения этой плоскости с прямой KM, то прямоугольные треугольники CKK’ и CMM’ равны по катету и острому углу, поэтому СK = СM, то есть С – середина отрезка KM. Заметим также, что утверждения “С – середина отрезка KM” и “С – середина отрезка K’M’ ” равносильны.

Пусть рассматриваемый отрезок KM имеет данную длину a. Рассмотрим прямые k’ и m’ – проекции прямых k и m на плоскость a и точку О их пересечения. Так как k || a и m || a , то k’ || k и m’ || m.

По условию Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых , поэтому Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых .

Кроме того, Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых . Это означает, что точка С является серединой гипотезы K’M’ прямоугольного треугольника K’ОM’ , когда Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых .

Таким образом, искомое ГМТ – множество точек плоскости a , находящихся от точки О на расстоянии Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых , а это есть окружность с центром О и радиусом R.

Задача 1 . Нейти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных точек.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Докажем, что искомое множество – плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярная к нему. Обозначим эту плоскость через Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Пусть точка М принадлежит плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Тогда Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых– общая сторона, Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Отсюда АМ = МВ и точка М принадлежит к г.м.т.

Если точка N не принадлежит плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, то в Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхотрезок С N медиана. Так как CN не может быть высотой, то AN Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых NB . Поэтому точка N не принадлежит г.м.т. Искомым г.м.т. будет плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Задача 2 . Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Докажем, что искомым множеством является перпендикуляр Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхк плоскости этих точек, проходящий через центр окружности, описанной около треугольнике ABC .

Действительно, через точки А, В, С можно провести единственную плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, а в ней единственную окружность, проходящую через точки А, В, С. Пусть центр этой окружности – точка О. Тогда через эту точку проходит только одна прямая l , перпендикулярная плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Проверим условия г.м.т. для этой прямой.

1)Пусть точка М принадлежит прямой l , тогда из равенства проекций АО = ОВ = ОС следует равенство наклонных АМ = BM = MC . Точка М удовлетворяет условиям г.м.т.

2)Если точка N не принадлежит прямой l , то ее ортогональная проекция точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхна плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхне совпадает с точкой О и поэтому проекции Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхне могут быть равными.

Следовательно, не могут быть равными и наклонные AN , BN , CN . Точка М не может принадлежать к г.м.т.

Задача 3 . Найти множество точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Анализ искомого множества приводит к гипотезе, что это множество – две плоскости ( Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых), перпендикулярные плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхданных прямых ( Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых) и проходящие через биссектрисы углов между этим прямыми. Проверим условия г.м.т. для этих плоскостей.

1) Пусть точка М принадлежит плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых(или плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых), тогда ортогональная проекция точки М на плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых(точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых) будет принадлежать прямой c , лежащей в плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Прямая c будет содержать биссектрису угла между прямыми a и b . По свойству биссектрисы точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхравноудалена от прямых a и b , то есть Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхТак как по теореме о трех перпендикулярах Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, то М A = М B .

2) Если взять точку N, не принадлежащую ни плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, ни плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, то ее проекция (точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых) не будет принадлежать ни прямой с, ни прямой d . Поэтому, точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхне будет равноудалена от прямых а и b . Нетрудно показать, что в этом случае и точка N не будет равноудаленной от прямых a и b .

Задача 4 . Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Проведем через данные параллельные прямые a и b и плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Построим в этой плоскости прямую c , равноудаленную от прямых a и b . Нетрудно доказать, что г.м.т. будет плоскость, проходящая через прямую c и перпендикулярная плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Задача 5 . Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух скрещивающихся прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Решим эту задачу методом координат. Рассмотрим две скрещивающиеся прямые a и b . Как известно, существует единственный общий перпендикуляр этих прямых АВ, длину которого обозначим через p . Выберем прямоугольную систему координат Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхтак, чтобы ее начало (точка О) совпало с серединой отрезка АВ, вектор Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхбыл сонаправлен с Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, вектор Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпараллелен прямой b и тройка векторов Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых– правая. Тогда уравнение прямой b будет иметь вид:

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Уравнение прямой a :

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Пусть точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпринадлежит искомому множеству, т.е. эта точка равноудалена от прямых a и b . Найдем расстояния Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхэтой точки до прямых a и b соответственно. Расстояние от точки M до прямой b находится легко: Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Для нахождения расстояния от точки M до a воспользуемся следующей, известной из курса геометрии формулой. Если прямая l имеет направляющий вектор Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи проходит через точку Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, то расстояние от точки M ( x , y , z ) до l равно

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Прямая a проходит через точку Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи имеет направляющий вектор с координатами Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, тогда

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Записав равенство Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, получим уравнение

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

которое после преобразований примет вид

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых(1)

Для определения вида поверхности второго порядка, заданной уравнением (1), приведем это уравнение к каноническому виду. Повернем выбранную систему координат вокруг оси Oz на угол Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхтак, чтобы Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, тогда относительно новой системы координат O Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхуравнение исследуемого множества точек примет вид

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхгде

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Уравнение (2) есть уравнение гиперболического параболоида. Можно показать и обратное, что всякая точка N , координаты которой относительно Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхудовлетворяют уравнению (1), Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхравноудалена от прямых а и b . Следовательно, множество точек, равноудаленных от двух скрещивающихся прямых – гиперболический параболоид Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Задача 6 . Найти геометрическое место точек пространства, равноудаленных от данной точки плоскости F и данной плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Обозначим через P расстояние от точки F до плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Воспользуемся методом координат для решения этой задачи. Пусть FK – перпендикуляр, проведенный из точки F на плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Выберем прямоугольную систему координат Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхтак, чтобы точка О совпала о серединой отрезка KF , а Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, тогда точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, а плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхзадается уравнением Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Пусть точка М ( x , у, z ) принадлежит искомому г.м.т. Тогда МF = М N , где N – основание перпендикуляра, проведенного ив точки М на плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Очевидно, что Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Записав равенство MF = N М в координатной форме, получим

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

это выражение после соответствующих преобразований примет вид

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Легко показать, что всякая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (З), принадлежит рассматриваемому множеству. Уравнение (З) будет уравнением этого множества. С другой стороны, уравнение (3) – уравнение параболоида вращения с осью вращения (осью О x ) и вершиной в точке О. Итак, исследуемое г.м.т. – параболоид вращения .

В пространстве кроме геометрических мест точек можно рассматривать геометрические места прямых. Для характеристики геометрических мест прямых напомним некоторые понятия.

Пучком прямых называется геометрическое место прямых плоскости, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром пучка.

Пучком параллельных прямых называется геометрическое место прямых плоскости, параллельных между собой. Рассмотрим примеры геометрических мест прямых в пространстве .

1.Геометрическое место прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через данную точку, есть пучок прямых с центром в данной точке. Плоскость пучка параллельна данной плоскости .

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

2. Геометрическим местом прямых, параллельных данной прямой l и пересекающих другую данную прямую m является: а) пучок прямых, параллельных прямой l и лежащих в плоскости, проходящей через m параллельно прямой l , если прямые l и m скрещиваются; б) пучок прямых, параллельных прямой l и лежащих в плоскости, образованной прямыми l и m , если прямые l и m пересекаются; в) пустое множество, если прямые m и l параллельны.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

3. Геометрическое место прямых, проходящих через данную точку и наклоненных под данным углом к данной плоскости, состоит из прямых, содержащих образующие поверхности прямого кругового конуса с вершиной в данной точке и основанием, лежащим на данной плоскости.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

4. Геометрическое место прямых, пересекающих данную окружность и параллельных данной прямой, не лежащей в плоскости окружности, состоит из прямых цилиндрической поверхности. Направляющей этой поверхности является данная окружность.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Задача 7. Найти геометрическое место прямых, проходящих через данную точку А и удаленных на данное расстояние Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхот данной прямой a .

Из всех плоскостей, проходящих через точку А выберем те, которые отстоят на расстоянии d от прямой a . Для этого через точку А проведем плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, перпендикулярную прямой a . Пусть О – точка пересечения этой плоскости с прямой а. В плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхпостроим окружность с центром в точке О и радиусом d . Проведем из точки А касательные к ней: b и c . Затем через точку А проведем прямую Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыха. Рассмотрим плоскости, образованные прямыми Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи b (плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых), Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи c (плоскость Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых). Очевидно, что искомое г.м.т. – 2 пучка с центром в точке А и плоскостями Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Заметим, что если расстояние от точки А до прямой a , равно d , то плоскости Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхсовпадают и искомое множество – пучок прямых с центром в А, лежащий в совпавших плоскостях. Если расстояние от точки А до прямой a меньше d , то искомое геометрическое множество прямых будет пустым множеством.

Задача 1. Дано изображение проекции на некоторую плоскость куба Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхс отмеченными точками P, Q, R на рёбрах Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, BC, Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Постройте на этом изображении сечение куба плоскостью PQR.

В процессе построения можно использовать то, что прямые, по которым некоторая плоскость пересекает пару параллельных плоскостей, параллельны.

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Сначала через точку P проводим прямую, параллельную прямой RQ, и находим её точки пересечения с прямыми AD и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Эти точки соединяем с точками Q и R и получаем сечения граней ABCD и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. На сечении одной из двух оставшихся граней уже построены две точки, и остаётся только соединить их.

Задача 2. Дано изображение проекции на некоторую плоскость куба Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхс отмеченными точками P, Q и R на рёбрах Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых, BC и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Постройте на этом изображении сечение куба плоскостью PQR.

Построим сначала точку M пересечения прямой PR и плоскости грани ABCD следующим образом. Проекцией точки P на плоскость грани ABCD является точка A, а проекцию R точки R на эту плоскость легко построить ( Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых– параллелограмм). Искомая точка M является точкой пересечения прямых PR и AR′. Соединив точки M и Q, получим сечение грани ABCD. Дальнейшее построение проводится таким же способом, как и в задаче 1 пункта 2.5

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

Задача 3. а) Дано изображение проекции на некоторую плоскость трёхгранного угла Oabc, на гранях Obc и Oac которого отмечены точки A и B. Постройте на этом изображении точку пересечения прямой AB с плоскостью Oab. б) Дано изображение проекции на некоторую плоскость трёхгранного угла с тремя отмеченными на его гранях точками. Постройте на этом изображении сечение трёхгранного угла плоскостью, проходящей через отмеченные точки.

а) Пусть P – произвольная точка ребра c. Плоскость PAB пересекает рёбра a и b в тех же точках, в каких их пересекают прямые PB и PA соответственно. Обозначим эти точки Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Тогда искомая точка является точкой пересечения прямых Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи AB

Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых

б) Пусть на гранях Obc, Oac и Oab отмечены точки A, B и C. Воспользовавшись задачей (а), можно построить точку пересечения прямой AB с плоскостью Oab. Теперь на плоскости Oab известны две точки плоскости ABC: только что построенная точка и точка C. Соединив их, получим искомое сечение плоскости Oab. Дальнейшее построение очевидно.

Задача 4. Пусть Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых– выпуклый шестигранник с четырёхугольными гранями. Дано изображение проекций на некоторую плоскость трёх его граней, сходящихся в вершине B (и тем самым – семи его вершин). Постройте изображение восьмой его вершины Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

Построим сначала прямую пересечения плоскостей граней ABCD и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Этой прямой принадлежат точка P пересечения прямых AB и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхи точка Q пересечения прямых BC и Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Пусть M – точка пересечения прямых DA и PQ. Тогда M – точка пересечения грани Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхс прямой PQ, т. е. точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхлежит на прямой Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых. Аналогично если N – точка пересечения прямых CD и PQ, то точка Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямыхлежит на прямой Геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

🌟 Видео

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ КОНЦОВ ОТРЕЗКА. Задачи на ГМТ | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ КОНЦОВ ОТРЕЗКА. Задачи на ГМТ | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

ГМТ РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ДВУХ ПАР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. Задачи. Метод ГМТ. ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ГМТ РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ДВУХ ПАР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. Задачи. Метод ГМТ. ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

Геометрия 7 класс Урок 12 Геометрическое место точекСкачать

Геометрия 7 класс Урок 12 Геометрическое место точек

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | Математика

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

Лекторий ЗФТШ. М-8. Геометрическое место точек на плоскости. Примеры задач на построениеСкачать

Лекторий ЗФТШ. М-8. Геометрическое место точек на плоскости. Примеры задач на построение

Геометрия. 7 класс. Урок 12 "Геометрическое место точек"Скачать

Геометрия. 7 класс. Урок 12 "Геометрическое место точек"

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ТРЕХ ДАННЫХ ТОЧЕК. Задачи. Метод ГМТ. ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК РАВНОУДАЛЕННЫХ ОТ ТРЕХ ДАННЫХ ТОЧЕК. Задачи. Метод ГМТ. ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

PRO геометрические места точекСкачать

PRO геометрические места точек

ФПУ-2022. Геометрия 7-9 классов. Геометрические места точекСкачать

ФПУ-2022. Геометрия 7-9 классов. Геометрические места точек

ГМТ с постоянным углом | Задачи 1-7 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классыСкачать

ГМТ с постоянным углом | Задачи 1-7 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии 7-8 классы

ГМТ Геометрическое место точек урок 1Скачать

ГМТ Геометрическое место точек  урок 1

Построение середины отрезкаСкачать

Построение середины отрезка
Поделиться или сохранить к себе: