Геометрическая сумма векторов фазных токов

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Исследование трехфазной цепи при соединении приемников звездой

Исследование трехфазной цепи при соединении приемников звездой

Цель работы: Экспериментальное исследование четырех- и трехпроводных трехфазных цепей при соединении приемников электрической энергии звездой.

Краткие теоретические сведения

Трехфазными цепями называется особая совокупность трех электрических цепей, в которой действуют три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты с одинаковыми амплитудами, попарно сдвинутые между собой по фазе на одинаковые углы 120°, и создаваемые одним источником — трехфазным генератором. Отдельные однофазные электрические цепи, входящие в состав трехфазной цепи, называют фазами: A, B, C.

При вращении ротора трехфазного генератора с угловой частотой в обмотках статора индуцируются три синусоидальные ЭДС . Если начальную фазу ЭДС принять равной нулю, то выражения для мгновенных значений ЭДС имеют следующий вид:

Чаще приемники получают питание от трех вторичных обмоток трансформаторов. Обмотки трехфазных источников и приемников электрической энергии соединяют либо звездой, либо треугольником.

При соединении звездой (рис. 3.1) концы фазных обмоток генератора или трансформатора соединяются в общую точку N (или 0), называемую нейтральной (или нулевой) точкой источника. Точка, в которой объединены три конца трехфазной нагрузки при соединении ее звездой, называют нейтральной (или нулевой) точкой нагрузки и обозначают n (или ). трехфазный цепь электрический напряжение

Рис.3.1. Схема соединения источника и нагрузки звездой с нейтральным проводом

Нейтральные точки источника и приемника энергии могут быть соединены нейтральным (или нулевым) проводом. Остальные провода, соединяющие обмотки генератора или трансформатора с приемником, называют линейными.

Напряжения , , между линейными проводами и нейтральным называются фазными напряжениями, они равны соответствующим фазным ЭДС, если можно пренебречь падением напряжения в обмотках генератора или трансформатора.

В симметричной системе фазные напряжения изображаются тремя равными по величине векторами, сдвинутыми по фазе на 120° (рис. 3.2):

Рис. 3.2. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений для четырехпроводной цепи при симметричной активной нагрузке фаз

При изображении векторных диаграмм вектор принято направлять вертикально вверх, что соответствует повороту комплексной плоскости на 90° против вращения часовой стрелки.

Геометрическая сумма векторов фазных напряжений симметричной трехфазной системы равна нулю:

Напряжения , , между линейными проводами, соединяющими источник и приемник, называют линейными напряжениями.

При соединении обмоток источника звездой линейное напряжение в раз больше фазного:

В четырехпроводной трехфазной цепи (см. рис. 3.1) фазные напряжения приемника , , меньше соответствующих фазных напряжений источника , , на величину падения напряжения в соединительных проводах. Если сопротивлением проводов можно пренебречь, то фазные напряжения приемника будут равны соответствующим фазным напряжениям источника:

Положительные направления фазных и линейных напряжений указаны на рис. 3.1. Токи в фазах источника и приемника называются фазными, а токи в линейных проводах — линейными. При соединении звездой линейные провода соединены последовательно с фазами источника и приемника, поэтому линейные токи равны соответствующим фазным токам:

Положительные направления линейных токов выбирают от источника к приемнику. Ток в нейтральном проводе направляют от точки n к точке , по первому закону Кирхгофа он равен геометрической сумме трех фазных токов:

Если сопротивления линейных проводов и нейтрального провода малы, режим каждой фазы системы не зависит от режима двух других фаз, ток определяется параметрами приемника этой фазы. Фазные токи рассчитываются по закону Ома:

где — полные комплексные сопротивления фаз приемника.

Активная мощность трехфазной цепи определяется суммой активных мощностей фаз:

Углы сдвига фаз , , между фазными напряжениями и токами зависят от характера нагрузки. При активном характере нагрузки .

На рис. 3.2 показана топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов для симметричной системы напряжений и симметричной активной нагрузки .

Векторы фазных напряжений , , источника и приемника образуют симметричную звезду, лучи которой выходят из одной точки, соответствующей нейтральной точке источника и приемника и имеющей потенциал, равный нулю. Векторы линейных напряжений , , образуют равносторонний треугольник.

Векторы токов , , из-за активного характера нагрузки совпадают с векторами фазных напряжений и, так как нагрузка симметрична, образуют симметричную звезду. Ток нейтрального провода , равный геометрической сумме фазных токов, будет равен нулю.

Топографическая диаграмма напряжений и векторная диаграмма токов для случая несимметричной активной нагрузки при наличии нейтрального провода, сопротивлением которого можно пренебречь, представлены на рис. 3.3. Векторы фазных токов сложены геометрически и получен вектор тока в нейтральном проводе .

Рис. 3.3. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений для четырехпроводной цепи при несимметричной активной нагрузке фаз

Трехфазные источник и приемник энергии можно соединить по схеме звезда без нейтрального провода. В этом случае трехфазная система становится трехпроводной (рис. 3.4).

Рис.3.4. Схема соединения источника и нагрузки звездой без нейтрального провода

Так как при симметричной нагрузке ток в нейтральном проводе равен нулю, то его отсутствие не нарушит распределения напряжений и токов в цепи.

При соединении приемника электрической энергии по схеме звезда без нейтрального провода и несимметричной нагрузке нарушается симметрия напряжений. Линейные напряжения в случае трехфазного источника большой мощности не изменяются при изменении режима приемников, но потенциал нейтральной точки приемника (точки ) уже не будет равен нулю.

Наиболее удобным методом расчета в этом случае является метод двух узлов. Сначала определяют напряжение смещения нейтрали (напряжение между узлами и ):

где, , — комплексные проводимости фаз приемника, если проводимостями соединительных проводов и обмоток источника энергии можно пренебречь из-за их малости, то:

Фазные напряжения приемника не равны фазным напряжениям источника из-за напряжения смещения нейтрали:

Токи в фазах приемника:

Проверкой служит уравнение по первому закону Кирхгофа:

Напряжение смещение нейтрали меняется при изменении нагрузки в любой фазе приемника. Вместе с изменением изменяются напряжения и токи в фазах приемника. Чем больше напряжение смещения нейтрали, тем дальше нейтральная точка нагрузки на топографической диаграмме смещается относительно нейтральной точки источника и тем более несимметричны фазные напряжения нагрузки. Поэтому трехпроводная система при несимметричной нагрузке, соединенной звездой, обычно не применяется. Векторы токов на векторной диаграмме строятся с учетом аргументов нагрузок фаз .

Векторная диаграмма трехфазной цепи без нейтрального провода для случая несимметричной однородной активной нагрузки показана на рис. 3.5. Геометрическая сумма векторов фазных токов на диаграммах равна нулю .

Рис. 3.5. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений для трехпроводной цепи при несимметричной активной нагрузке фаз

Рассмотрим отдельные характерные случаи несимметричной активной нагрузки фаз при симметричной системе фазных напряжений источника.

На рис. 3.6 показаны схема и векторная диаграмма для случая отключения линейного провода фазы А и одинаковой активной нагрузки фаз В и С . Отключение линейного провода в фазе А приводит к полному отсутствию напряжения и тока в этой фазе. При этом образуется цепь с последовательным соединением фаз В и С, к которой подводится линейное напряжение . Вследствие равенства сопротивлений фаз и линейное напряжение распределится между этими сопротивлениями пополам. Нейтральная точка приемника на векторной диаграмме (рис. 3.6) сместится на середину вектора , векторы фазных напряжений приемника , , изобразятся лучами, проведенным из точки к вершинам треугольника линейных напряжений.

Рис. 3.6. Электрическая схема и векторная диаграмма трехпроводной цепи при отключении фазы А

Вследствие активного характера нагрузки токи и совпадают по фазе с напряжениями и , а геометрическая сумма этих токов равна нулю.

На рис. 3.7 показаны схема и векторная диаграмма для случая короткого замыкания фазы С и одинаковой активной нагрузки в фазах А и В . Для этого режима цепи фазное напряжение приемника , поэтому нейтральная точка приемника сместится в вершину С треугольника линейных напряжений, а фазные напряжения приёмника

Рис. 3.7. Электрическая схема и векторная диаграмма трехпроводной цепи при коротком замыкании фазы С

Векторы токов и вследствие активной нагрузки совпадают по фазе с векторами напряжений и , вектор тока фазы С в соответствии с первым законом Кирхгофа будет равен

• 1. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов в 3-х тт. Т.1/ К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2004.
• 2. Коровкин Н.В., Селина Е.Е., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники: Сборник задач. — СПб.: Питер, 2004.
• 3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учеб. -11-е изд., перераб. и доп. — М.: Гардарики, 2007.
• 4. Серебряков А.С., Шумейко В.В. MATHCAD и решение задач электротехники: Учеб. пособие для вузов ж.-д. тр-та. — М.: Маршрут, 2005.
• 5. Серебряков А.С. Линейные электрические цепи. Лабораторный практикум на IBM PC: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк., 2009.
• 6. Частоедов Л.А., Гирина Е.С. Теоретические основы электротехники. Часть I. Линейные электрические цепи постоянного и однофазного синусоидального тока. 2-е изд., перераб. и доп.: Учеб. пособие. — М.: РГОТУПС, 2006.
• 7. Гирина Е.С., Горевой И.М., Астахов А.А. Теоретические основы электротехники. Часть II. Трехфазные цепи. Пассивные четырехполюсники: Учеб. пособие. — М.: РГОТУПС, 2010.

Видео:Векторная диаграммаСкачать

Трехфазные цепи

Содержание:

Трехфазные цепи:

Многофазной системой называется совокупность электрических цепей, называемых фазами, в которой действуют синусоидальные напряжения одной частоты, отличающиеся друг от друга по фазе. Чаще всего применяются симметричные многофазные системы, напряжения которых равны по величине и сдвинуты по фазе на угол

Видео:Построение векторных диаграмм/Треугольник токов, напряжений и мощностей/Коэффициент мощностиСкачать

Трехфазная система

Наибольшее распространение имеет трехфазная система, созданная русским ученым М. О. Доливо-Добровольским (1891 г.); он изобрел и разработал все звенья этой системы — генераторы, трансформаторы, линии передачи и двигатели трехфазного тока.

Простейший трехфазный генератор (рис. 12.1) подобен рассмотренному в источнику однофазного напряжения; он состоит из трех одинаковых плоских витков или катушек, называемых фазами генератора, вращающихся в однородном магнитном поле с равномерной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к направлению магнитных линий. В каждой фазе следует различать начало и конец. Считая, что все катушки намотаны в одном направлении, например по часовой стрелке, можно принять за начало начальный зажим катушки или, наоборот, конечный, но принятое условие должно быть одинаковым для всех фаз. Цепи нагрузки подключаются к генератору с помощью щеток, наложенных на кольца, соединенные с катушками аналогично рис. 6.1 (на рис. 12.1 они не показаны).

Три фазы трехфазного генератора расположены под углом друг к другу; первой, или фазой А, можно назвать любую из трех фаз, второй — фазу В, начало которой H_B сдвинуто в пространстве относительно начала первой Н_А на угол против направления вращения, третьей — фазу С, начало которой Н_c сдвинуто относительно начала второй H_B также на в том же направлении.

При вращении в фазах будут индуктироваться э. д. с.; период Т этих э. д. с. обороту. Катушки одинаковы, поэтому (амплитуды) э. д. с. фаз будут также одинаковы. Так как фазы сдвинуты друг относительно друга в пространстве на угол , т. е. на 1/3 полного оборота, их э. д. с. будут сдвинуты во времени на Т/3 — треть периода, что соответствует фазному сдвигу, равному:

Если за начальный взять момент времени, когда плоскость первой катушки перпендикулярна линиям магнитной индукции (см. рис. 12.1), э. д. с. (отсчитываемая, например, от конца к началу)

и э. д. с. двух других катушек (отсчитываемые в том же направлении), отставая по фазе на углы и 2•, будут равны:

Временная диаграмма э. д. с. изображена на рис. 12.2. Если вектор э. д. с. первой фазы направить по оси вещественных комплексной плоскости (рис. 12.3), комплексы э. д. с. симметричной системы будут иметь вид:

является оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении. Тогда

т. е. сумма векторов симметричной системы равна нулю. Это значит, что равна нулю в любой момент времени и алгебраическая сумма мгновенных значений, что можно видеть и из рис. 12.2, если взять сумму ординат трех синусоид для любой абсциссы.

Если в цепь каждой фазы генератора включить одинаковые по величине и характеру сопротивления (рис. 12.4), то токи фаз будут равны по величине и сдвинуты по фазе относительно своих напряжений на один и тот же угол ϕ:

Они также образуют трехфазную симметричную систему векторов.

При неодинаковой нагрузке фаз максимальные значения токов и фазные сдвиги будут различны, и система токов будет несимметричной.

В электроизмерительной технике и автоматике применяется также двухфазная система, векторная диаграмма э д. с. которой показана на рис. 12.5. Хотя э. д. с. по величине равны, двухфазная система несимметрична, так как сумма

Показанная на рис. 12.4 несвязанная трехфазная система, при которой отдельные фазы не соединены между собой, на практике не применяется — генераторы и приемники связывают или в звезду, или в треугольник.

Соединение звездой

При соединении генератора звездой вместе соединяются концы фаз, образуя нулевую (нейтральную) точку 0. К началам фаз генератора с помощью трехпроводной линии передачи присоединяется приемник. Если последний также соединен звездой, нулевые точки генератора и приемника могут быть соединены нулевым (нейтральным) проводом (рис. 12.6).

Различают величины, относящиеся к фазам генератора и приемника — фазные напряжения и токи, и к линейным проводам — линейные напряжения и токи. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами генератора и приемника, линейные токи в звезде равны соответствующим фазным токам.

Для получения симметричных соотношений между величинами следует выбирать положительные направления токов во всех фазах единообразно; обычно направляют токи от генератора к приемнику (см. рис. 12.6), т. е. в сторону движения энергии. В соответствии с аналогом закона Ома положительные направления фазных напряжений совпадают с направлением токов. Положительные направления линейных напряжений могут быть выбраны произвольно, а также единообразно. Произволен также выбор направления тока на нулевом проводе.

Если выбрать направление тока в нулевом проводе от нулевой очки приемника к нулевой точке генератора (см. рис. 12.6), мгновенное значение i_N и комплекс I_N этого тока в общем случае будут:

На рис. 12.7, а изображена диаграмма фазных напряжений на фиемнике в соответствии с принятым на рис. 12.6 направлением гоков, сходящихся в нулевой точке О’ приемника.

Эта диаграмма называется топографической, так как ее точкам А, В, С, О’ соответствуют одноименные точки цепи. Векторы и комплексные линейные напряжения направлены, как это обычно принято, от точки, соответствующей первому индексу, к точке, соответствующей второму индексу; линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений:

а их мгновенные значения

Из этих соотношений вытекает, что сумма линейных напряжений равна нулю.

Топографическая векторная диаграмма рис. 12.7, а, в которой векторы фазных напряжений сходятся в одной точке, соответствующей нулевой точке приемника, обычно заменяется диаграммой рис. 12.7, б, где эти векторы выходят из этой же точки; так как при этом все векторы фазных и линейных напряжений изменяют свои направления на обратные, приведенные выше соотношения между напряжениями сохраняются.

При симметричной системе фазных напряжений векторы линейных напряжений образуют равносторонний треугольник; нулевая точка совпадает с его центром тяжести (рис. 12.8) и линейное напряжение

г. е. по абсолютной величине линейные напряжения в раз больше разных.

Далее сначала рассматриваются цепи без взаимной индукции между фазами и между фазами и нулевым проводом.

В звезде с нулевым проводом (см. рис. 12.6), если пренебречь его сопротивлением (Z_N = 0), а также сопротивлением, линейных проводов, фазные напряжения приемника будут, очевидно равны фазным напряжениям генератора; их векторные диаграммы совпадут (см. рис. 12.7, б). Следовательно, фазные комплексные токи будут определяться фазными комплексными напряжениями генератора и комплексными сопротивлениями или проводимостями тех же фаз приемника:

т. е. соединение звездой с нулевым проводом без сопротивления обеспечивает независимую работу фаз.

При симметричной системе фазных напряжений и одинаковой нагрузке фаз система фазных токов будет симметричной и ток I_N нулевого провода, равный сумме токов, будет также равен нулю независимо от величины сопротивления этого провода.

В звезде с нулевым проводом, имеющим сопротивление Z_N в общем случае, когда между нулевыми точками генератора и приемника возникает узловое напряжение что вызывает на векторной диаграмме (рис. 12.9) смещение точки О’, соответствующей нулевой точке приемника, относительно точки 0, соответствующей нулевой точке генератора. То, что вектор на рис. 12.9 направлен от 0 к О’, т. е. против направления I_N, объясняется указанным выше изменением направления векторов всех напряжений (см. рис. 12.7, а и б). В соответствии с методом узловых напряжений

где —фазные напряжения генератора; — проводимости фаз, Y_N — проводимость нулевого провода.

В звезде без нулевого провода Y_N =0 и

Фазные напряжения на приемнике и токи (см. рис. 12.9):

Выражения для узлового напряжения показывают, что будет изменяться при изменении нагрузки в любой фазе; вместе с будут изменяться напряжения всех фаз приемника, а следовательно, и все токи. Таким образом, звезда без нулевого провода, а также звезда с нулевым проводом, имеющим сопротивление, не обеспечивает независимой работы фаз.

В случае звезды без нулевого провода фазные напряжения на приемнике могут быть выражены через линейные напряжения:

Выражения для можно получить, пользуясь круговой перестановкой индексов:

Приведенный вывод выражений для фазных напряжений на приемнике через фазные или линейные напряжения генератора справедлив для общего случая несимметричных систем фазных и линейных напряжений.

Примером неодинаковой нагрузки фаз может служить прибор для определения порядка следования фаз (рис. 12.10). Он представляет собой три одинаковые по величине проводимости, соединенные в звезду, — две лампы накаливания и конденсатор; тогда, считая, что проводимости ламп линейны,

где а — абсолютное значение проводимостей. При симметричной системе фазных напряжений генератора, если вектор U_А направлен по оси вещественных величин (U_A = U), узловое напряжение

Тогда комплексные напряжения на лампах будут:

На рис. 12.9 показана векторная диаграмма для рассматриваемой цепи. Векторы токов совпадают по фазе с напряжениями ток I_B опережает напряжение U_в по фазе на π/2.

Действующие значения напряжений на лампах и их отношение будут:

Поэтому лампа, включенная в фазу С, будет светиться ярче лампы, включенной в фазу А, т. е. фазы следуют друг за другом в следующем порядке: яркая лампа, тусклая лампа, конденсатор.

При индуктивных связях между фазами приемника и между его фазами и нулевым проводом должны быть учтены э. д. с. взаимной индукции. Так, например, для соединения звездой с нулевым проводом или без него по схеме рис. 12.11, а при взаимной индукции только между фазами уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы А приемника будет иметь вид:

уравнения для второй и третьей фаз можно получить путем круговой перестановки индексов А, В, С.

Если нагрузка фаз одинакова, т. е.

(12.1)

Если, кроме того, нулевой провод отсутствует или при его наличии система фазных напряжений симметрична, то сумма токов 1_А + 1_в + 1_С=0, и уравнение (12.1) получит вид:

г. е. в этом случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, б без индуктивных связей, но с индуктивностью фаз приемника, равной L — М.

Для дальнейшего представляет интерес случай, когда есть нулевой провод, а все фазные напряжения генератора равны между собой и совпадают по фазе: (так называемая нулевая система); тогда, очевидно, все токи также будут равны между собой:

и уравнение (12.1) получит вид:

Это значит, что в данном случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, в без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L + 2М. Ток нулевого провода будет, очевидно, равен 3I.

Соединение треугольником

Чтобы соединить генератор в треугольник, нужно связать конец каждой фазы с началом следующей; в результате фазы генератора образуют замкнутый контур. При таком соединении симметричного генератора с отключенной нагрузкой (рис. 12.12) ток внутри него не возникает, так как сумма его э. д. c., образующих симметричную систему, равна нулю.

Соединив приемник также в треугольник (рис. 12.13), можно видеть, что фазные напряжения генератора и приемника одновременно являются и линейными, линейные же токи — отличны от фазных токов Для получения симметричных соотношений между линейными и фазными токами следует выбирать их положительные направления единообразно. Для всех линейных токов обычно выбирается направление от генератора к приемнику, для фазных — по направлению обхода контура, например, против часовой стрелки для приемника (рис. 12.13). Тогда по первому закону Кирхгофа для приемника получаются следующие соотношения для мгно венных значений и комплексных токов:

Для генератора соотношения между линейными и фазными токами аналогичны. Таким образом, линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов.

Из полученных соотношений видно, что сумма линейных токов равна нулю:

Для симметричной системы фазных токов (рис. 12.14)

т. е. по абсолютной величине линейные токи в раз больше фазных.

Токи в фазах приемника будут определяться линейными напряжениями и сопротивлениями или прово-димостями фаз приемника:

По приведенным соотношениям фазных токов могут быть определены линейные токи.

Если пренебречь сопротивлением проводов, напряжения генератора будут равны напряжениям приемника и фазы будут работать независимо друг от друга: всякое изменение сопротивления какой-либо фазы приемника вызовет изменение тока этой фазы и токов двух примыкающих к этой фазе линейных проводов, но никак не отразится на токах других фаз.

Если сопротивление линейных проводов не равно нулю (рис. 12.15, а), то из-за падения напряжения в них треугольник не обеспечивает независимой работы фаз. Изменение, например, сопротивления фазы АВ вызовет изменение фазного тока I_AB, а следовательно, и линейных токов I_А и I_B. При этом изменятся падения напряжения в линейных проводах А и В, что при неизменных линейных напряжениях на зажимах генератора вызовет изменение напряжений на всех трех фазах приемника; следовательно, должны измениться также токи тех фаз, сопротивление которых оставалось неизменным.

Для расчета цепи рис. 12.15, а при заданных линейных напряжениях, помимо методов уравнений Кирхгофа, наложения, контурных токов и узловых напряжений, при отсутствии взаимной индукции можно применить метод преобразования. Треугольник Z_AB, Z_BC. Z_CA преобразуют в эквивалентную звезду Z_A, Z_B, Z_c по формулам, соответствующим (рис. 12.15, б):

Объединяя в каждой фазе сопротивление линии и приемника, приводят схему к звезде (рис. 12.15, в), после определения токов которой возвращаются к цепи рис. 12.15, б, находя фазные и линейные напряжения на звезде Z_A, Z_B, Z_c, а затем — к исходному треугольнику (см. рис. 12.15, а), чтобы найти его фазные токи.

Приведенные выше выражения для расчета соединения треугольником справедливы для общего случая несимметричной системы напряжений генератора.

При наличии взаимной индукции, одинаковой нагрузке фаз и симметричной системе напряжений (рис. 12.16, а) система фазных токов будет также симметричной, тогда

и уравнение по второму закону Кирхгофа примет вид:

т. е. в этом случае цепь рис. 12.16, а эквивалентна схеме рис. 12.16, б без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L — М.

Мощность трехфазных систем и ее измерение

Мгновенная мощность трехфазной системы, как и всякой сложной цепи, равна сумме мощностей отдельных приемников, т. е. сумме мощностей фаз. Мгновенная мощность симметричной и одинакова нагруженной трехфазной системы

Сумма трех косинусоид, сдвинутых по фазе на угол равна нулю, в чем можно убедиться, построив и сложив векторы, изображающие эти функции. Следовательно,

т. е. мгновенная мощность симметричной одинаково нагруженной трехфазной системы постоянна, тогда как мощность однофазной системы изменяется во времени с двойной частотой по сравнению с частотой напряжения и тока.

Многофазная система, мгновенная мощность которой постоянна, называется уравновешенной. Интересно отметить, что несимметричная двухфазная система с равными напряжениями (см. рис. 12.5) в случае одинаковой нагрузки фаз также является уравновешенной:

Из-за уравновешенности трехфазные и двухфазные двигатели имеют постоянный вращающий момент, тогда как момент однофазных двигателей пульсирует с двойной частотой.

Выражение для мощности уравновешенной трехфазной системы может быть преобразовано. В симметричной звезде

В симметричном треугольнике

В обоих случаях выражения для мощности получились одинаковыми.

Для измерения мощности трехфазной симметричной и одинаково нагруженной системы достаточен один ваттметр, включенный в одну из фаз и измеряющий ее мощность. Аналогично включается однофазный счетчик электрической энергии, Для получения мощности и, соответственно, энергии трехфазной системы показания этих приборов следует утроить.

В общем случае несимметричной системы и неодинаковой нагрузки мгновенная мощность р есть величина переменная, т. е. такая система является неуравновешенной. Средняя мощность этой системы равна сумме средних мощностей отдельных фаз:

Следовательно, средняя мощность в данном случае может быть измерена тремя ваттметрами, включенными в каждую фазу, как это показано на рис. 12.17, а, для звезды с нулевым проводом (точками обозначены условные «начала» параллельных и последовательных цепей ваттметров).

В случае трех проводной системы можно ограничиться двумя ваттметрами, включенными так, как показано на рис. 12.17, б для измерения средней мощности трехфазной системы, соединенной треугольником. Мгновенные мощности, усредняемые первым и вторым ваттметрами, соответственно равны:

Так как сумма этих мощностей

При переходе к средним мощностям получается, что сумма показаний ваттметров

т. е. равна мощности системы. Вывод справедлив и для звезды без нулевого провода, так как она может быть заменена эквивалентным треугольником.

Реактивная и полная мощности симметричной и одинаково нагруженной трехфазной системы равны суммам соответствующих мощностей всех фаз:

В общем случае несимметричной и неодинаково нагруженной трехфазной системы суммирование реактивных и полных мощностей фаз не дает величин, характерных для нагрузки генератора в целом, как это было в однофазной цепи с одним источником энергии. Предлагаемые в литературе определения реактивной и полной мощностей трехфазной несимметричной и неодинаково нагруженной системы чисто условны и потому здесь не рассматриваются.

Сравнение трехфазных и однофазной cиcтем

Сопротивление линейных и нулевого проводов, соединяющих генератор и приемник, обычно мало по сравнению с сопротивлением фаз приемника, и выводы, сделанные по поводу независимости работы фаз при соединении звездой и треугольником, можно обобщить следующим образом:

1. в звезде с нулевым проводом и в треугольнике токи фаз практически мало зависят друг от друга и поэтому эти схемы следует применять при неодинаковой нагрузке фаз;
2. звезда без нулевого провода может применяться только при одинаковой нагрузке фаз.

Необходимо отметить, что схема соединений генератора и приемника может быть различной, и один из них может быть соединен треугольником, другой — звездой без нулевого провода.

Представляет интерес сравнение расхода металла с удельным сопротивлением р на провода однофазной и трехфазной линий передачи (рис. 12.18) той же мощности Р на то же расстояние l при одинаковом cosϕ и том же к. п. д., т. е. тех же потерях в линии Р_л = kP, где k — относительная потеря мощности, и одинаковом линейном напряжении U.

Для однофазной двухпроводной линии (рис. 12.18, а) Р = UI₀ cosϕ; отсюда ток I₀, потери Р_л и сопротивление r₀ одного провода:

Следовательно, сечение s₀ и объем V₀ проводов соответственно равны:

Отсюда видно, что формула для сечения двухпроводной линии переменного тока отличается от аналогичной формулы для линии постоянного тока наличием множителя в знаменателе, приводящему к тем большему увеличению расхода металла, чем ниже коэффициент мощности .

Для трехфазной трехпроводной линии (рис. 12.18, б и в) и аналогично

а сечение s_T и объем V_T проводов:

В знаменателе этих выражений также присутствует множитель .

Из формул для s₀ и s_T видна эффективность высокого напряжения и большого коэффициента мощности — сечения обратно пропорциональны квадратам этих величин. Вместе с тем очевидно, что стоимость изоляции проводов растет с ростом напряжения. В результате экономически оптимальное напряжение U оказывается тем выше, чем больше передаваемая мощность Р и длина l линии.

Соотношение объемов металла линий: однофазной двухпроводной V₀ и трехфазных —- трехпроводной V_r и четырехпроводной с нулевым проводом половинного сечения (рис. 12.18, г) будет

Таким образом, при одинаковом линейном напряжении звезда без нулевого провода и треугольник, очевидно, дают одинаковый расход металла на линию передачи и экономию в 25% по сравнению с однофазной линией, а нулевой провод половинного сечения вызывает перерасход металла, но все же система остается легче однофазной на 12,5%.

Соединение звездой с нулевым проводом имеет важное преимущество: помимо трехфазных приемников, рассчитанных на линейное напряжение, оно позволяет включать однофазные приемники и на линейное, и на фазное напряжение.

Если приемники работают при одинаковом фазном напряжении, линейное напряжение звезды будет в раз больше, чем треугольника, что уменьшит расход металла в 3 раза.

Основным преимуществом трехфазной системы по сравнению с однофазной является возможность легко создавать вращающееся магнитное поле, используемое, в частности, в трехфазных асинхронных двигателях, наиболее простых по конструкции и в эксплуатации.

Пульсирующее и вращающееся магнитные поля

Электрические индуктивные машины переменного тока в большинстве случаев имеют магнитопровод в виде двух коаксиальных цилиндров, набранных из стальных листов и разделенных воздушным зазором (рис. 12 19). Внешний цилиндр S является статором, внутренний R — ротором.

Если по обмотке статора, уложенной в его пазы н распределенной на части, например одной трети его окружности (рис. 12.19), будет проходить постоянный ток, магнитный поток, замыкающийся через статор, воздушный зазор и ротор будет постоянным. Приближенно магнитную индукцию можно считать распределенной по окружности статора по синусоидальному закону (сплошная линия на рис. 12.20); она имеет максимальные значения В_m по оси обмотки и равна нулю на нейтральной линии, перпендикулярной к оси обмотки. Такое синусоидально распределенное в зазоре машины поле можно условно изобразить постоянным вектором В_m (рис. 12.21), аналогично тому, как ранее это было сделано для величин, изменяющихся по синусоиде во времени.

Если по обмотке статора пропускать переменный ток, синусоидальное распределение магнитного поля сохранится, но поле будет пульсирующим, т. е. изменяющимся во времени по синусоидальному закону (см. рис. 12.20). Принимая за начало счета времени момент, когда индукция по оси обмотки максимальна, пульсирующее поле можно условно изобразить вектором Согласно формуле Эйлера,

(12.2)

Это значит, что пульсирующее синусоидально распределенное поле может быть представлено в виде суммы двух также синусоидально распределенных полей , постоянных во времени, но вращающихся с угловой скоростью ω в разные стороны; последнее видно из противоположных знаков показателей степени множителей вращения. Поле , вращающееся в положительном направлении вращения векторов, называется прямым, поле — обратным. Вращающиеся векторы, условно изображающие эти поля, на рис. 12.21 показаны для момента начала счета времени.

Разложение пульсирующего поля на два вращающихся используется, например, в однофазных двигателях, где прямое поле, воздействуя на ротор, приводит его во вращение, а обратное поле экранируется.

В трехфазных машинах на статор наложены три обмотки, показанные в разрезе на рис. 12.22, занимающие каждая треть его окружности; следовательно, эти обмотки и их оси сдвинуты в пространстве на угол 2π/3. Обмотки обтекаются токами, векторы которых образуют симметричную трехфазную систему. Тогда выражение для поля первой фазы А совпадает с выражением (12.2) при том же начале счета времени

Пусть обмотка, обтекаемая током второй фазы В, т. е. током, отстающим от тока первой фазы на угол 2π/3, сдвинута в пространстве вперед по направлению вращения прямого поля на тот же угол, что учитывается множителем . Тогда выражение для поля фазы В получает вид:

Аналогично записывается поле третьей фазы С, но так как она обтекается током, опережающим по фазе ток фазы А на угол 2π/3, и сдвинута в пространстве на тот же угол назад, знаки всех углов 2π/3 изменяются на обратные.

Результирующее поле определяется наложением полей всех трех фаз:

Отсюда видно, что все прямые поля трех обмоток арифметически складываются, тогда как обратные поля в сумме дают нуль и в машине возникает вращающееся поле, постоянное во времени. Амплитуда вращающегося поля в полтора раза превышает амплитуду пульсирующего поля отдельных обмоток, а фаза совпадает с фазой прямого поля обмотки первой фазы А.

В трехфазных двигателях вращающееся поле также используется для приведения во вращение ротора; из-за постоянства мощности в трехфазных системах и, следовательно, вращающего момента, а также отсутствия обратного поля эти двигатели имеют значительное преимущество перед однофазными.

Основы метода симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитывать несимметричные, в частности, аварийные режимы в трехфазных системах и машинах. До предложения этого метода для таких расчетов надо было решать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами или оперировать с сопротивлениями, зависящими от токов.

В общем случае симметричной трехфазной системой векторов называется система, состоящая из трех равных по величине векторов, причем каждый вслед идущий вектор сдвинут относительно предыдущего на угол где k — любое целое число. Система (рис. 12.23, a), у которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов и называется прямой системой.

Симметричные системы линейных и фазных напряжений и токов, рассмотренные выше, были именно прямыми системами. Система (рис. 12.13, в), в которой угол сдвига между вслед идущими векторами имеет обратный порядок следования фаз и называется обратной системой. Система векторов совпадающих по фазе (т. е. β = 0) называется нулевой системой (рис. 12.23, б).

Система векторов, сдвинутых по фазе на угол является также прямой системой и т. д. Таким образом, все многообразие симметричных трехфазных систем сводится к трем системам, изображенным на рис. 12.23.

Пользуясь оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении и приняв за основные вектор A₁ прямой системы, вектор A₂ обратной системы и вектор A₀ нулевой системы, через них можно выразить остальные векторы:

(12.3)

Пусть задана несимметричная система трех векторов А, В, С. Далее доказывается, что каждый вектор этой системы может быть представлен в виде суммы трех векторов, являющихся составляющими прямой, обратной и нулевой систем:

(12.4)

Подстановка уравнений (12.3) в уравнения (12.4) дает:

(12.5)

Система уравнений (12.5) решается относительно А₀, А₁, A₂ однозначно:

(12.6)

Отсюда и следует, что несимметричную систему векторов можно разложить на три симметричные системы.

Из первого уравнения системы (12.6) видно, что если сумма векторов несимметричной системы равна нулю, будут равны нулю и векторы нулевой системы. Следовательно, несимметричные системы линейных напряжений и линейных токов при отсутствии нулевого провода содержат только прямую и обратную составляющие.

Определение симметричных составляющих несимметричной системы векторов по выражениям (12.6) может быть выполнено также графически. Пусть задана несимметричная система векторов фазных напряжений (рис. 12.24, а). Во все три суммы напряжений (см. систему 12.6) вектор U_А входит без изменений, а векторы U_в и U_с во второй и третьей суммах повернуты на угол 2π/3 или 4π/3. Следует начертить вектор U_B, из его конца (т. е. стрелки) — вектор U_A, а из конца U_А — вектор U_с (рис. 12.24, б). Если вектор U в повернуть на угол 2π/3 и 4π/3 вокруг его конца, примыкающего к началу вектора U_А, а вектор U_с — вокруг начала, совпадающего с концом вектора U_А, суммы векторов по выражениям (12.6) будут равны утроенным искомым векторам:

Далее очевидным построением определяются все векторы трех симметричных систем.

Аналогично производится разложение несимметричной системы токов.

Симметричные составляющие несимметричной трехфазной системы напряжений и токов могут быть определены экспериментально. Например, для измерения нулевой составляющей системы фазных напряжений надо однообразно включить на фазные напряжения трансформаторы малой мощности, вторичные обмотки которых и вольтметр соединяются последовательно (рис. 12.25). Тогда, считая для простоты, что у трансформаторов коэффициент трансформации напряжения равен единице, суммарное напряжение, измеряемое вольтметром,

т. е. пропорционально напряжению нулевой системы.

Для измерения напряжения прямой последовательности (рис. 12.26) трансформаторы включаются на одинаковые по величине полные сопротивления z — трансформатор фазы А на активное сопротивление Z_A=r, фазы В на активно-индуктивное сопротивление , фазы С — на активно-емкостное сопротивление . Чтобы вторичные токи трансформаторов В и С были сдвинуты по фазе относительно напряжений на дополнительные до π углы — соответственно , что соответствует умножению на операторы вторичные обмотки этих трансформаторов включаются так, как показано на рис. 12.26.

Цепи нагрузок всех трех трансформаторов соединяются параллельно и замыкаются на амперметр. Последний измеряет суммарный ток

пропорциональный напряжению U₁ системы прямой последовательности.

Если поменять местами нагрузки фаз В и С, суммарный ток

будет пропорционален напряжению U₂ системы обратной последовательности.

Рассмотренные схемы называются фильтрами симметричных составляющих. Они применяются в схемах защиты трехфазных энергетических систем от аварийных режимов, вызывающих несимметрию токов и напряжений отдельных фаз.

Разложение на симметричные составляющие позволяет весьма просто решать задачи на расчет трехфазных цепей при одинаковой нагрузке фаз с взаимной индукцией между ними при несимметричной системе напряжений, что широко используется в теории электрических машин. Система напряжений разлагается на симметричные составляющие, для каждой из них находят токи фаз и применяют метод наложения. При этом сопротивление фаз приемника для каждой составляющей может быть различным. Например, для цепи рис. 12.11, соединенной в звезду с нулевым проводом, сопротивление фаз для нулевой системы напряжений:

а для прямой и обратной составляющих, являющихся симметричными трехфазными системами, сопротивления

только для статических устройств, например для трансформаторов. Во вращающихся машинах прямая система токов создает магнитное поле, вращающееся в одном направлении с ротором, а обратная система токов — в противоположном; это приведет к неравенству . Таким образом, в общем случае

После определения комплексных токов каждой составляющей они пофазно суммируются и дают систему действительных токов фаз.

При неодинаковой нагрузке фаз приемника расчет усложняется, так как тогда каждая из симметричных составляющих системы такое зависит от всех составляющих систем напряжений. Эти задачи рассматриваются в литературе, посвященной расчету аварийных режимов в трехфазных электрических сетях и системах.

Можно показать, что в самом общем случае несимметрии средняя мощность всей цепи равна сумме средних мощностей нулевой, прямой и обратной составляющих:

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

Трехфазные цепи

Трехфазная система ЭДС:

Производство, передача и распределение электрической энергии осуществляется в основном трехфазным током в трехфазных цепях. Широкое распространение в качестве нагрузки в трехфазных цепях получили трехфазные потребители. В трехфазных цепях используются трехфазные трансформаторы. Электрическую энергию в трехфазных цепях производят трехфазные генераторы, создающие синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, в трехфазных системах.

Трехфазной называется система трех ЭДС одинаковой частоты, Вдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма углов сдвига равна или 360°.

Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если ЭДС трех фаз сдвинуты друг относительно друга на угол и амплитуды этих трех ЭДС одинаковы по величине:

Комплексы этих ЭДС

Получение симметричной трехфазной системы ЭДС осуществляется в трехфазном электромашинном генераторе (рис. 16.1а), в Котором три жестко скрепленные под углом 120° обмотки пересекают магнитное поле с частотой вращаясь (в данном случае) против часовой стрелки.

Начала обмоток трехфазного генератора обозначаются прописными буквами а концы их соответственно (т.е. в трехфазном генераторе имеется три обмотки: и рис. 16.1а).

Таким образом, при вращении в магнитном поле жестко скрепленных обмоток в них индуктируются одинаковые ЭДС одинаковой частоты и сдвинутые на 120°.

Векторная диаграмма такой симметричной системы ЭДС изображена на рис. 16.1б. Как видно из векторной диаграммы, мгновенное значение ЭДС в обмотке CZ можно записать в виде

а комплекс этой ЭДС

т. е. логично, чтобы начальная фаза превышала

К каждой обмотке трехфазного генератора может быть подключена нагрузка с сопротивлениями

Если при этом три обмотки генератора электрически не соединены (рис. 16.2а), то такая трехфазная система называется несвязанной. Несвязанная трехфазная система практического применения не нашла.

Практическое применение нашла связанная трехфазная система (рис. 16.2б). Эта система экономически и энергетически более рациональна, так как используется три или четыре соединительных провода вместо шести и получить можно два различных напряжения, фазное и линейное, вместо одного.

Каждая обмотка трехфазного генератора со своей нагрузкой и соединительными проводами называется фазой (рис. 16.2). В трехфазной системе различают три фазы А, В и С (международные обозначения — прописные буквы).

Положительное направление ЭДС и токов в каждой фазе на рис. 16.26 указаны стрелками.

В связанных трехфазных системах применяется соединение обмоток генератора и потребителя звездой F или треугольником Е.

Соединение обмоток генератора звездой

При соединении обмоток генератора звездой концы обмоток X, Yи Z элeктpичecки соединяются в одну точку 0 (рис. 16.3а), которая называется нулевой, или нейтральной. При этом генератор с потребителем соединяется тремя или четырьмя проводами.

Провода, подключенные к началам обмоток генератора (А, В и С, называют линейными проводами, а провод, подключенный к нулевой точке 0, называется нулевым, или нейтральным.

В связанных трехфазных системах различают фазные и линейные напряжения и токи.

Фазным называется напряжение между началом и концом обмотки генератора или между нулевым и линейным проводом. Обозначаются фазные напряжения прописными буквами с индексами фаз (рис. 16.3а). Так как сопротивление обмоток генератора мало, то фазные напряжения практически не отличаются от ЭДС в обмотках генератора.

Линейным называется напряжение между началами обмоток генератора или между линейными проводами. Обозначаются линейные напряжения (рис. 16.3а).

Можно определить зависимость между линейными и фазными напряжениями при соединении обмоток генератора звездой.

Мгновенные значения фазных напряжений равны разностям потенциалов между началами и концами соответствующих обмоток, т.е:

Мгновенные значения, линейных напряжений равны разностям потенциалов между началами соответствуют:

Потенциалы концов обмоток одинаковы так как все они соединены электрически в одну точку.

То есть мгновенное значение линейных напряжений определяется разностью мгновенных значений двух соответствующих фазных напряжений.

При соединении обмоток генератора звездой действующее значение линейного напряжения определяется геометрической разностью двух соответствующих фазных напряжений. На этом основании построена векторная диаграмма напряжений (рис. 16.3б) для соединения обмоток генератора звездой. К такому же результат) приводит определение комплексов линейных напряжений символическим методом:

При симметричной системе ЭДС фазные напряжения равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°. По векторной диаграмме (рис. 16.3б) определяется линейное напряжение (рис. 16.4).

Линейное напряжение при симметричной системе ЭДС трехфазного генератора определяется равенством

Из диаграммы (рис. 16.4) определяется вектор (комплекс)

При симметричной системе ЭДС линейное напряжение трехфазного генератора, обмотки которого соединены звездой, в раза больше фазного напряжения:

Если говорят о напряжении генератора 127/220 В, то имеется в виду, что фазное напряжение в трехфазной цепи 127 В, а линейное — 220 В. В сети с напряжением 220/380 В фазное напряжение 220 В, а линейное — 380 В. Очевидно, что обмотки генератора такой симметричной цепи соединены звездой и отношение напряжений получится равным

В связанных трехфазных системах фазным называется ток, провидящий по обмотке (фазе) генератора а линейным считается ток, проходящий по линейному проводу

Как видно на рис. 16.3а, при соединении обмоток генератора звездой линейный ток равен фазному току

Соединение обмоток генератора треугольником

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) конец обмотки фазы А соединяется с началом обмотки фазы В, конец обмотки фазы В соединяется к началом обмотки фазы С, конец обмотки фазы С соединяется с началом обмотки фазы А и к точкам соединения подключаются линейные провода.

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) трехфазная цепь трехпроводная.

Как следует из схемы соединения обмоток треугольником (рис. 16.5а), линейное напряжение равно фазному напряжению

То есть

Из схемы (рис. 16.5а) следует, что три обмотки генератора, соединенные треугольником, образуют замкнутый контур, ток в котором при отсутствии нагрузки (холостой ход) определяется выражением

где — комплексы (векторы) ЭДС фаз генератора; — комплексы сопротивлений обмоток генератора т.е. каждая обмотка обладает активным R и индуктивным X сопротивлениями.

Так как сопротивления обмоток малы, падением напряжения на них можно пренебречь и считать, что напряжение на каждой обмотке генератора равно ее ЭДС.

При симметричной системе ЭДС и правильном соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) геометрическая сумма ЭДС (комплексов) обмоток генератора, образующих замкнутый контур, равна нулю (рис. 16.5б). Следовательно, и ток в замкнутом контуре обмоток, соединенных треугольником, также равен нулю при холостом ходе независимо от величины внутреннего сопротивления обмоток

Если обмотки симметричного генератора соединены «неправильным» треугольником, т. е. неправильно подключить начало и конец хотя бы одной из обмоток, например (рис. 16.5’а), то геометрическая сумма ЭДС в замкнутом контуре обмоток будет равна удвоенному значению ЭДС одной фазы (рис. 1б.5’б). С учетом малого внутреннего сопротивления обмоток генератора ток в замкнутом контуре достигает катастрофической величины даже при отсутствии нагрузки (холостой ход). Таким образом, соединена, обмоток трехфазного генератора «неправильным» треугольником равносильно короткому замыканию в замкнутом контуре обмоток.

Соединение потребителей звездой

При соединении звездой потребителя и генератора (рис. 16.6) трехфазная система представляет собой сложную цепь с двумя узловыми точками Точка 0 — нейтральная точка генератора, а 0′ — нейтральная точка потребителя. Напряжение между этими узловыми точками называется напряжением смещения нейтрали.

Соединение генератора и потребителя звездой может быть с нулевым проводом (рис. 16.6б), т.е. четырехпроводная цепь, и без нулевого провода (рис. 16.6а), т.е. трехпроводная цепь.

Величину напряжения смещения нейтрали определяют методом узлового напряжения (см. (4.9)) в символической (геометрической) форме:

где — комплекс (вектор) напряжения смещения нейтрали; комплексы (векторы) ЭДС в обмотках соответствующих фаз генератора; — комплексы проводимостей соответствующих фаз:

где — комплексы сопротивлений фаз потребителя, включая внутреннее сопротивление обмоток генератора и сопротивление соединительных проводов; — комплекс проводимости нулевого провода, a — комплекс его сопротивления.

Напряжение U’ на каждой фазе потребителя, соединенного звездой (рис. 16.6а), с учетом напряжения смещения нейтрали, определяют следующим образом:

где — комплексы (векторы) напряжений на фазах потребителей.

На основании (16.15) строится векторная диаграмма напряжений (рис. 16.7), на которой вектор напряжения смещения нейтрали взят произвольно. Из векторной диаграммы (рис. 16.7) следует, что при наличии напряжения смещения нейтрали напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, различны по величине и по начальной фазе даже при симметричной системе ЭДС в обмотках генератора.

Очевидно (рис. 16.7), что напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, будут одинаковыми по величине если напряжение смещения нейтрали отсутствует, т.е. при симметричной системе ЭДС генератора.

Напряжение смещения нейтрали отсутствует, т. е. при равномерной (симметричной) нагрузке фаз или при наличии нулевого провода.

Рассмотрим эти условия:

1. Равномерная нагрузка фаз.

Равномерной называют нагрузку, при которой комплексы сопротивлений фаз равны между собой.

То есть

или

Тогда так как при симметричной системе ЭДС сумма (см. рис. 16.5б).

Так как комплекс сопротивления фазы то равномерной считается нагрузка, при которой сопротивления фаз одинаковы по величине по характеру (активный, индуктивный или емкостной) и имеют одинаковый угол сдвига фаз

2. Наличие нулевого провода.

При наличии нулевого провода, соединяющего нейтральные точки 0 и 0′ (рис. 16.6б),

Тогда

В обоих случаях (1 и 2) напряжения на фазах потребителя, подключенного к трехфазному генератору с симметричной системой ЭДС, одинаковы по величине. При этом величина напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного звездой, в раза меньше линейного напряжения, т. е.

Ток в нулевом проводе (рис. 16.66) при соединении потребителей звездой определяется геометрической суммой токов в фазах потребителя:

Токи в фазах потребителя определяются по формулам

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз токи в фазах равны по величине «сдвинуты, как и напряжения, по фазе на 120°. Следовательно, их геометрическая сумма равна нулю, т.е. (см. рис. 16.5б, где вместо подставить ).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз нулевой провод не нужен.

При неравномерной нагрузке фаз отсутствие нулевого провода приводит к неодинаковым по величине напряжениям на каждой фазе потребителя (рис. 16.7). При этом на фазе с большим сопротивлением Z будет большее напряжение U’.

Так как отсутствие нулевого провода при неравномерной нагрузке фаз потребителя, соединенного звездой, нарушает режим работы потребителей U’, то предохранитель в нулевой провод не ставят.

Следовательно, нулевой провод служит для выравнивания напряжений на фазах потребителя при неравномерной нагрузке фаз.

При соединении потребителей звездой ток каждой фазы потребителя (рис. 16.16) равен линейному току трехфазной цепи

Соединение потребителей треугольником

При соединении потребителя треугольником (рис. 16.8) к каждой фазе потребителя приложено линейное напряжение трехфазной цепи

Так как при симметричной системе ЭДС все линейные напряжения равны по величине и сдвинуты на угол 120° по фазе, то и напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного треугольником, равны по величине и сдвинуты по фазе на угол 120°, независимо от характера нагрузки.

При соединении потребителей треугольником линейные токи обозначаются прописными буквами с индексами фаз, т. е. а токи в фазах потребителя

Воспользовавшись первым законом Кирхгофа, линейные токи можно определить выражениями (рис. 16.8)

Линейный ток при соединении потребителей треугольником определяется геометрической разностью двух фазных токов, сходящихся с линейным в одной узловой точке (рис. 16.8).

Фазные токи потребителя, соединенного треугольником, определяются:

При симметричной системе ЭДС генератора и равномерной нагрузке фаз потребителя токи в фазах потребителя равны между собой по величине и, так лее как напряжения на фазах потребителя, сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол 120° (рис. 16.9).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз и симметричной системе ЭДС при соединении потребителей треугольником линейный ток в трехфазной цепи в раза больше фазного тока:

Мощность трехфазного тока

Активная мощность, отдаваемая трехфазным генератором и потребляемая трехфазным потребителем, определяется суммой активных мощностей каждой фазы потребителя:

Аналогичное определение можно отнести и к реактивной мощности трехфазного тока, т. е.

Полная, или кажущаяся, мощность трехфазного потребителя равна

=

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз активная мощность трехфазного тока равна утроенному значению активной мощности каждой фазы

Однако на практике удобней оперировать линейными величинами, так как доступными являются линейные провода, а не обмотки генератора или двигателя.

При соединении потребителя звездой при равномерной нагрузке фаз

Тогда

При соединении потребителей треугольником при равномерной нагрузке фаз

Тогда

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз при соединении потребителей звездой и треугольником мощности трехфазного тока определяются выражениями:

При неравномерной нагрузке фаз полная, или кажущаяся, мощность трехфазного тока может быть определена суммой полных мощностей каждой фазы, выраженной в комплексной форме, а именно

Равномерную нагрузку в трехфазных цепях обеспечивают электрические двигатели трехфазного тока, обмотки которых могут гь соединены или звездой, или треугольником.

Топографическая диаграмма

Напряжение между отдельными точками трехфазной цепи можно найти графически путем построения так называемой топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма, поенная так, чтобы каждой точке цепи соответствовала определенная точка на диаграмме и чтобы вектор, проведенный в эту точку из начала координат, выражал по величине и фазе потенциал соответствующей точки цепи. Отрезок, соединяющий любые две точки на этой диаграмме, определяет напряжение между соответствующими точками цепи. Если топографическая диаграмма встроена в определенном масштабе, то по ней можно определить искомое напряжение и ток по величине и по фазе.

При построении топографической диаграммы для трехфазной цепи удобно принять за точку с нулевым потенциалом нулевую, или нейтральную, точку генератора. Этой точке генератора соответствует начало координат топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма для трехфазной цепи, изображенной на рис. 16.6, построена при условии, что точка 0 на диаграмме (рис. 16.10) соответствует нулевой точке генератора, потенциал которой равен нулю, т. е.

Из точки 0 откладываются в определенном масштабе напряжений векторы фазных ЭДС в результате чего получаются точки А, В и С на топографической диаграмме. Эти точки на диаграмме соответствуют началам обмоток генератора, Соединенного звездой точками А, В и С цепи.

Отрезок равный разности векторов представляет собой линейное напряжение (падением напряжения на внутреннем сопротивлении обмотки генератора пренебрегаем, т.е. ). Аналогично отрезки на топографической диаграмме изображают линейные напряжения соответственно.

Отложив из точки 0 (начало координат) вектор напряжения смещения нейтрали (отрезок ), определяют потенциал нулевой точки потребителя 0′ на диаграмме. Тогда отрезки выражают напряжение на фазах потребителя

Если напряжение смешения нейтрали отсутствует то точка 0′ (нулевая точка потребителя) на топографической диаграмме совпадет с точкой 0 (нулевой точкой генератора). Тогда векторы напряжений на фазах потребителя равны по величине и по фазе векторам ЭДС генератора

Применение топографической диаграммы для расчета трехфазной цепи рассмотрено в примере 16.1 настоящей главы.

Пример 16.1

К трехфазной трехпроводной сети с линейным напряжением 220 В подключен потребитель, соединенный звездой, с сопротивлениями 10 Ом (рис. 16.11).

Определить напряжение и ток каждой фазы потребителя в каждом из трех режимов:

1. Потребители соединены звездой, как показано на рис. 16.11.

2. Обрыв в фазе А, т. е.

3. Короткое замыкание в фазе А, т. е.

Решение

Решение этой задачи производится с помощью построения топографической диаграммы для каждого режима.

1. Так как в данном режиме имеет место равномерная нагрузка фаз следовательно, напряжение смещения нейтрали равно нулю и точка 0′ на топографической диаграмме совпадает с точкой 0 (рис. 16.12).

Пренебрегая внутренним сопротивлением обмоток генератора определяют напряжение на каждой фазе потребителя при симметричной системе ЭДС:

так как

Toк каждой фазы потребителя будет равен

Линейные токи в каждом линейном проводе также равны между собой и равны фазным токам каждой фазы, т.е.

2. При обрыве в фазе А схема трехфазной цепи обретает следующий вид (рис. 16.13а), а топографическая диаграмма показана на рис. 16.13б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при обрыве в фазе А как бы опустилась на вектор линейного напряжения разделив его величину поровну между т. е.

Напряжение на оборванной фазе А, т. е. напряжение между точками 0′ и А в схеме, как следует из топографической диаграммы рис. 16.13б), будет равно

Токи в фазах:

Токи в линейных проводах:

3. При коротком замыкании фазы А схема трехфазной цепи показана на рис. 16.14а, топографическая диаграмма на рис. 16.14б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при коротком замыкании фазы как бы поднялась в точку А и фазные напряжения совпали с векторами линейных напряжений соответственно и стали равными им по величине, т.е.

Токи в фазах будут равны
Ток в коротко замкнутой фазе т. е. ток в проводе, соединяющем точку 0′ и А, определяется геометрической суммой токов (рис. 16.14б), т.е.

Напряжение и токи в режимах 2 и 3 легко определить из схем рис. 16.13а и 16.14а, не прибегая к топографическим диаграммам.

Пример 16.2

К соединенному звездой генератору с фазным напряжением 127 В подключен потребитель, соединенный треугольником. Активное сопротивление каждой фазы потребителя R = 8 Ом, индуктивное = 6 Ом (рис. 16.15а).

Определить ток в каждой фазе генератора, отдаваемую им мощность и построить векторную диаграмму.

Решение

Эту задачу можно решить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Напряжение на каждой фазе потребителя равно линейному напряжению генератора

Сопротивление каждой фазы потребителя равно

Ток каждой фазы потребителя (нагрузка равномерная):

В каждой фазе генератора проходит линейный ток потребителя, единенного треугольником, т.е. (см. рис. 16.15а)

Отдаваемая генератором мощность (активная мощность) равна

Так как

Угол (Приложение 10).

Таким образом, ток фазы потребителя отстает от напряжения на угол 37°, так как нагрузка индуктивного характера.

Вычисленные величины легли в основу построения векторной диаграммы (рис. 16.15б).

Пример 16.3

Параметры трехфазного потребителя, соединенного звездой, имеют следующие значения: Линейное напряжение сети симметричной системы ЭДС

1) напряжение на каждой фазе потребителя;

2) токи каждой фазы потребителя;

3) мощности цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение

Допустим, что обмотки генератора соединены звездой, тогда напряжение каждой фазы генератора (при симметричной системе ЭДС)

Напряжение на каждой обмотке генератора в комплексной форме:

Сопротивление каждой фазы потребителя:

Проводимости каждой фазы потребителя:

Напряжение смещения нейтрали при отсутствии нулевого провода, т. е. при будет равно

При вычислении принято: и Напряжение на каждой фазе потребителя (16.15):

Токи в каждой фазе потребителя:

Мощности каждой фазы потребителя:

Мощность всей трехфазной нагрузки:

Векторная диаграмма рассматриваемой цепи изображена на рис. 16.17.

Пример 16.4

К трехфазной сети с линейным напряжением подключены двигатель Д и однофазные силовые потребители (рис. 16.18).

Обмотки трехфазного двигателя мощностью кВт и = 0,76 соединены треугольником. Однофазные силовые потребители с параметрами: — соединены звездой.

Определить: показания амперметров мощность Р, потребляемую всей нагрузкой; показания вольтметров.

В линейном проводе С сгорел предохранитель (обрыв линейного провода С). Как при этом изменится показание вольтметpa , если оборвется и нулевой провод? Как изменится показание вольтметра

Решение

Расчет трехфазной цепи (рис. 16.18) можно осуществить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Амперметр включен в линейный провод С, подводящий 1ние к двигателю, обмотки которого соединены треугольником и представляют равномерную нагрузку фаз; следовательно (см. (16.29))

Амперметр измеряет ток в фазе В силового потребителя, соединенного звездой. При наличии нулевого провода напряжение на каждой фазе потребителя тогда ток в фазе В будет равен

так как

Показания амперметра включенного в фазу С силового потребителя:

так как

Амперметр включен в нулевой провод, ток в котором определяется геометрической суммой токов в фазах силового потребителя, соединенного звездой (см. (16.19) и рис. 16.19).

Для вычисления геометрической суммы токов фаз необходимо построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

При наличии нулевого провода напряжения на фазах сдвинуты на угол 120°. Угол сдвига фаз между током и напряжением, исходя из условий, для всех трех фаз одинаков (это видно из заданных параметров силового потребителя):

Следовательно, фазные токи сдвинуты так же, как и напряжения, на угол 120°. Величины токов определены: На основании этих данных можно построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

На векторной диаграмме складываются геометрически и получается суммарный ток, равный 14,7 А.

Поскольку этот суммарный ток находится в противофазе с током то ток в нулевом проводе равен 7,3 А:

Следовательно, амперметр покажет ток 7,3 А.

Для расчета мощности Р, потребляемой всей нагрузкой, вычисляется активная мощность каждого силового потребителя:

Тогда активная мощность, потребляемая всей нагрузкой, будет равна

При обрыве линейного провода С и нулевого провода две фазы силового потребителя А и В кажутся соединенными последовательно и подключенными к личному напряжению =380 В. Так как сопротивления этих фаз равны по величине, то это линейное напряжение распределится между ними поровну, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 220 В, которое он показывал до обрыва.

При обрыве линейного провода С фазы В и С двигателя окажутся соединенными последовательно и подключенными к линейному напряжению Так как сопротивления обмоток двигателя равны между собой, то линейное напряжение распределится поровну между обмотками В и С двигателя, т.е.

Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо 380 В, которое он показывал до обрыва.

Вращающееся магнитное поле двухфазного тока

Двухфазным током называется совокупность двух однофазных токов, сдвинутых по фазе на угол друг относительно друга (рис. 17.3б):

Эти токи создают в обмотках переменные магнитные потоки, сдвинутые по фазе также на угол 90°:

Таким образом, если по двум неподвижно скрепленным под углом 90° обмоткам пропустить двухфазный ток, то внутри этих обмоток (рис. 17.3а) создается вращающееся магнитное поле двухфазного тока.

Как видно (рис. 17.3б), постоянный магнитный поток одной фазы) вращается против часовой стрелки, если при указанном расположении обмоток первый ток опережает второй ток по фазе.

Нетрудно убедиться в том, что если бы второй ток опережал первый то магнитное поле вращалось бы в обратную сторону. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока широко применяется для пуска и работы однофазных машин переменного тока.

Пульсирующее магнитное поле

Если по неподвижной катушке (обмотке) машины пропустить синусоидальный ток то внутри этой катушки создается пульсирующее магнитное поле, т. е. поле, изменяющееся по величине и направлению, но расположенное в одной плоскости (рис. 17.4).

Пульсирующее магнитное поле, к видно из рис. 17.4, можно рассматривать как два магнитных поля, вращающихся в разные стогны. Поэтому в машинах, в которых используется пульсирующее магнитное поле, отсутствует пусковой момент. Для работы таких машин его необходимо создать. Пусковой момент в таких машинах создают или механически, или за счет пусковой обмотки, по которой в момент пуска пропускают импульс тока, сдвинутого по фазе относительно основного синусоидального тока, проходящего по катушке (обмотке) машины (аналогично двухфазному току).

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Определение трёхфазных цепей

Наряду с однофазными источниками существуют источники энергии, содержащие две, три, четыре и т.д., характеризуемые тем, что их ЭДС, имея одинаковую частоту, сдвинуты друг относительно друга на некоторый угол. Такие генераторы называются многофазными, а электрические цепи с такими источниками — многофазными.

Трёхфазный генератор

Трёхфазные цепи получили наибольшее практическое применение. В связи с этим основные исследования многофазных цепей будем проводить на примере трёхфазных. Рассмотрим вопрос реализации трёхфазного источника, которым является трёхфазный генератор (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Трёхфазный генератор

Для упрощения понимания принципа работы генератора обмотки (фазы) представлены одним витком. В качестве ротора генератора выбран постоянный магнит. Каждая из обмоток имеет начало — клеммы и конец — Обмотки в пространстве сдвинуты друг относительно друга на 120°, из чего следует, что максимумы ЭДС в них достигаются в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на одну треть периода где — угловая частота вращения ротора.

Последовательность, в которой ЭДС достигают максимума в соответствующих фазах, носит название порядка чередования фаз. Прямым порядком чередования фаз называют последовательность при которой фаза отстает от фазы на и фаза отстает от фазы на На рис. 4.2 изображен график мгновенных значений ЭДС для прямого порядка чередования фаз. Изменение направления вращения ротора трёхфазного генератора на противоположное меняет эту последовательность чередования фаз, и она станет уже

Рис. 4.2. Графики мгновенных значений ЭДС фаз

Запишем мгновенные значения ЭДС, индуктируемые в фазах при вращении ротора генератора:

Поскольку ЭДС каждой фазы генератора синусоидальна, то их можно изобразить на комплексной плоскости в виде векторов соответствующих фазных ЭДС: (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Векторная диаграмма фазных ЭДС

Важным обстоятельством является то, что система векторов фазных ЭДС генератора на комплексной плоскости образует симметричную трехлучевую звезду и сумма этих векторов в любой момент времени равна нулю.

При подключении к каждой из фаз генератора нагрузки по ней будет протекать ток. Таким образом, реализуется трёхфазная система.

Способы соединения фаз генератора и нагрузки

Соединение фаз генератора и нагрузки четырехпроводной звездой:

При соединении фаз генератора звездой все концы или начала соединяют в одну общую точку. На рис. 4.4.а показана несвязанная трёхфазная система, в которой каждая фаза генератора и приемника образует отдельную электрическую цепь и поэтому для связи генератора и приемника требуется 6 проводов.

Рис. 4.4. Соединение звездой а) несвязанная трёхфазная система, b) четырехпроводная звезда

При соединении звездой количество проводов уменьшится до 4-х. Причем провод, соединяющий общие (нейтральные или нулевые) точки фаз генератора и приемника называется нейтральным или нулевым. Остальные провода, соединяющие фазы генератора и приемника — линейные.

Токи, протекающие по фазам генератора или приемника, называются фазными токами, токи, протекающие по проводам, соединяющим фазы генератора и приемника, — линейными токам, ток, протекающий по нейтральному проводу — нейтральным.

Напряжение между началом и концом фазы генератора или приемника называется фазным, напряжение между двумя фазами или линиями — линейным.

Для этого способа соединения между линейными и фазными параметрами цепи существуют следующие соотношения:

Установим взаимосвязь между комплексами линейных и фазных напряжений источника (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении приёмников звездой при симметричной активной нагрузке

В дальнейших рассуждениях фазные ЭДС заменим напряжениями на фазах источника:

Выберем любой равнобедренный треугольник, образованный двумя фазными и линейным напряжениями и опустим перпендикуляр из вершины на основание. Перпендикуляр является медианой и биссектрисой.

Из любого прямоугольного треугольника получим:

Это второе важное соотношение для соединения звездой.

Частным случаем такого соединения является соединение «звезда-звезда» без нулевого провода.

Соединение фаз генератора и нагрузки треугольником

Вторым базовым способом соединения фаз генератора и нагрузки является соединение типа «треугольник-треугольник» (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Соединение «треугольник-треугольник»

При соединении треугольником существует следующее соотношение:

Установим взаимосвязь между фазными и линейными токами:

Построим векторную диаграмму токов и напряжений приемника (рис. 4.7) для данного способа соединения.

Рис. 4.7. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении

Рассмотрев любой треугольник токов, можно, аналогично напряжениям при соединении звездой, сделать вывод (только для симметричной нагрузки):

Помимо вышеназванных существуют и комбинированные способы соединения: «звезда-треугольник», «треугольник-звезда».

Режимы работы трёхфазных цепей

Различают симметричный и несимметричный режимы работы трехфазной цепи. При. симметричном режиме сопротивления трех фаз одинаковы и ЭДС образуют трехфазную. симметричную систему. В этом случае токи фаз а, в, с будут равны по величине и сдвинуты по угол 120 градусов.

Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода

Поскольку трёхфазные цепи являются совокупностью однофазных цепей, то для их расчета используются все ранее рассмотренные специальные методы, в том числе и комплексный метод расчета. Следовательно, расчет трёхфазных цепей можно иллюстрировать построением векторных диаграмм токов нагрузки и топографических диаграмм напряжений.

Наиболее рациональным методом расчета такой цепи может считаться метод двух узлов. Для выбранных положительных направлений напряжений и токов на схеме (рис. 4.8) составим соответствующую систему уравнений для расчета токов. приемников треугольником и симметричной активной нагрузке

Рис. 4.8. Соединение фаз генератора и приемника по схеме «четырехпроводная звезда»

1. Симметричная нагрузка.

Нагрузка считается симметричной, если комплексные сопротивления ее фаз равны:

Для простоты в качестве потребителей фаз нагрузки будем рассматривать активные сопротивления Наличие нулевого провода делает одинаковыми потенциалы узлов и если сопротивлением нулевого провода можно пренебречь значит При этом фазные токи равны, а фазные напряжения на нагрузке будут полностью повторять фазные напряжения генератора. Для фазы

Аналогично для фаз и

Исходя из сказанного, построим топографическую диаграмму фазных напряжений и векторную диаграмму токов (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Векторно-топографическая диаграмма для симметричной нагрузки в трех- и четырехпроводной системах

При симметричной нагрузке, как и в четырехпроводной схеме, фазы приемника работают независимо друг от друга и нулевой провод не нужен. Диаграмма в данном случае будет абсолютно той же, что и для четырехпроводной звезды.

2. Несимметричная нагрузка.

Пусть

На векторно-топографической диаграмме токов и напряжений (рис. 4.10) показано суммирование фазных токов.

Рис. 4.10. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки

Пусть Из-за неравенства проводимостей ветвей не равно нулю, то есть между точками и появляется разность потенциалов — смещение нейтрали. При этом фазные напряжения на нагрузках уже не будут повторять систему фазных напряжений генератора. Поэтому задача сводится к расчету положения точки на комплексной плоскости относительно Для его определения можно воспользоваться формулой узлового напряжения и теоретически ее рассчитать. Однако это можно сделать, основываясь на экспериментальных данных, суть которых состоит в следующем: производят измерения напряжений на фазах нагрузки; в выбранном масштабе для напряжений проводят дуги окружностей радиусами, равными измеренным фазным напряжениям из точек Точка пересечения этих трех дуг и даст искомое местоположение точки внутри треугольника, ограниченного линейными напряжениями (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Определение смещения нулевой точки

Соединив точки и отрезком, получим смещение нейтрали. По найденным фазным напряжениям приемника направляем векторы токов. Должно выполняться равенство:

По результатам выполненных построений можно сделать главный вывод: если заведомо известно, что нагрузка несимметрична или может таковою стать, необходимо использовать четырехпроводную схему.

Векторная диаграмма (рис. 4.12) иллюстрирует работу четырехпроводной системы.

Рис. 4.12. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в четырехпроводной системе

Напряжение смещения можно также определить методом засечек, как это показано на рис. 4.13.

Рис. 4.13. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в трехпроводной системе

По первому закону Кирхгофа:

Поскольку то

Токи в фазах и должны находиться в противофазе.

4. Короткое замыкание фазы.

В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника.

Фазные напряжения приемника:

т.е. фазные напряжения увеличились до линейных напряжений, соответственно, токи в фазах:

возросли в раз. Ток в закороченной фазе определится по первому закону Кирхгофа:

Построение векторно-топографической диаграммы для короткого замыкания показано на рис. 4.14.

5. Разнородная нагрузка.

Общий принцип построения векторных диаграмм токов и топографических диаграмм напряжений остается тем же. Единственное отличие будет состоять в появлении фазовых сдвигов между токами и напряжениями на фазах нагрузки в зависимости от ее характера.

Рис. 4.14. Векторно-топографическая диаграмма для короткого замыкания фазы в трехпроводной системе

По схеме трехпроводной звезды включают трёхфазные симметричные приемники, например, трёхфазные асинхронные и синхронные двигатели.

Соединение потребителей треугольником

Рассмотрим различные режимы работы приемника при соединении его фаз треугольником (рис. 4.15).

Рис. 4.15. Соединение фаз приемника треугольником

Вновь будем считать, что в качестве потребителей в фазах включены активные сопротивления (для простоты построений).

На рис. 4.7 построена векторная диаграмма для симметричной нагрузки при соединении фаз приемника треугольником.

Токи равны по модулю и отличаются только по фазе:

Фазы по-прежнему работают независимо друг от друга и поэтому токи будут:

Линейные токи определяются соответственно по формулам (4.9). Векторная диаграмма представлена на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки приемников, соединенных треугольником

На рис. 4.17 построена векторная диаграмма при соединении приемников треугольником для обрыва фазы.

Рис. 4.17. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы при соединении приемников треугольником

Соотношения для токов:

При разнородной нагрузке методика расчета не меняется.

Расчет мощности в трёхфазных цепях

Рассмотрим расчет мощности при соединении приемников по схеме четырехпроводной звезды и допустим, что нагрузка несимметрична. Если учесть, что сопротивление нейтрального провода не равно нулю и активное, имеем:

При симметричной нагрузке для трех- и четырехпроводной системы получим:

При соединении фаз приемника треугольником и несимметричной нагрузке имеем:

При симметричной нагрузке:

При этом необходимо учесть, что одинаковые формулы для расчета мощности при разном способе соединения фаз нагрузки (4.10-4.12) и (4.13- 4.15) не означают одинаковые численные значения.

Пример. Пусть трёхфазный приемник с сопротивлением фазы соединен «звездой», тогда активная мощность будет:

Теперь фазы того же приемника соединим «треугольником» и подключим к тому же трёхфазному источнику:

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Для измерения активной мощности в симметричной трехфазной цепи достаточно одного ваттметра, включенного на измерение мощности одной из фаз.

Соединение приемников по схеме четырехпроводной звезды

В схеме (рис. 4.18) однофазные ваттметры включаются в каждую фазу, причем через токовые катушки протекают линейные токи, а катушки напряжения ваттметров включены между нулевым проводом и соответствующими линейными проводами.

Рис. 4.18. Схема включения ваттметров для измерения мощности в четырехпроводной системе

Так как активная мощность — это вещественная часть полной мощности:

то суммарная мощность трех ваттметров может быть представлена выражением:

В случае симметричной нагрузки для измерения мощности, потребляемой ею, достаточно воспользоваться одним ваттметром, показание которого нужно утроить.

Соединение приемников по схеме трехпроводной звезды или треугольником

В этом случае измерить мощность трёхфазного приемника можно с помощью двух ваттметров (рис. 4.19).

Рис. 4.19. Схема измерения активной мощности двумя ваттметрами

Если учесть, что:

Оба ваттметра выполняются в одном корпусе, и прибор имеет две пары выводов для токовых катушек и две пары выводов — для катушек напряжения. Включают трёхфазный ваттметр по приведенной на рис. 4.19 схеме или по любой схеме с циклической заменой фаз.

Метод симметричных составляющих

Любую несимметричную трёхфазную систему можно разложить на три симметричные трёхфазные системы: прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз. Такое разложение широко применяется при анализе работы трёхфазных машин и, в особенности, при расчете токов короткого замыкания в трёхфазных системах.

Пусть дана несимметричная трёхфазная система векторов (рис. 4.20).

Рис. 4.20. Несимметричная трёхфазная система векторов

Каждый из векторов этой системы можно представить в виде суммы трех составляющих:

На рис. 4.21 изображены системы указанных выше последовательностей.

Рис. 4.21. Симметричные системы векторов прямой (a), обратной (b) и нулевой (с) последовательностей

Векторы прямой, обратной и нулевой последовательностей подчиняются следующим соотношениям:

где

Коэффициент называется поворотным множителем

Подставим соотношения (4.19) в систему уравнений (4.18). Тогда получим:

Решение системы уравнений (4.20) относительно дает:

Симметричные составляющие можно определить графически, если на векторной диаграмме несимметричной системы векторов выполнить построения в соответствии с системой уравнений (4.21).

Фильтры симметричных составляющих

Симметричные составляющие несимметричных систем можно определить не только аналитически или графически, но и при помощи электрических схем, называемых фильтрами симметричных составляющих.

Эти фильтры применяются в схемах, защищающих электрические установки. Степень асимметрии системы токов и напряжений не должна превосходить известные пределы, т.е. составляющие нулевой и обратной последовательностей системы напряжений и токов при нормальных режимах должны быть меньше некоторых наперед заданных величин, определяемых для каждой конкретной установки индивидуально.

Возможность выделить при помощи электрических схем отдельные симметричные составляющие позволяет осуществить воздействие любой из них на приборы, защищающие установку, которые, будучи соответствующим образом отрегулированы, отключат или всю установку, или её часть, как только величина соответствующей составляющей превысит допустимый предел.

В качестве примера на рис. 4.22 приведены схемы фильтров нулевой последовательности линейных токов и фазных напряжений.

Рис. 4.22. Схемы фильтров нулевой последовательности

В схеме (рис. 4.22,a) вторичные обмотки трансформаторов напряжения включены последовательно и поэтому вольтметр определяет сумму фазных напряжений, т.е. утроенную составляющую нулевой последовательности системы фазных напряжений.

В схеме (рис. 4.22,b) вторичные обмотки трансформаторов тока включены параллельно и поэтому амперметр измеряет сумму линейных токов, то есть утроенную составляющую нулевой последовательности линейных токов.

• Периодические несинусоидальные напряжения и токи в линейных цепях
• Нелинейные цепи переменного тока
• Переходные процессы
• Переходные процессы в линейных цепях
• Четырехполюсники
• Линейные диаграммы
• Круговые диаграммы
• Цепи с взаимной индукцией

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

АНАЛИЗ И РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ПО СХЕМЕ «ЗВЕЗДА — ТРЕУГОЛЬНИК»

При соединении трехфазной цепи по схеме «звезда — треугольник» (обозначение Л—А) фазы генератора А, В, С и приемника а, в, с соединяют с помощью трех проводов (трехпроводная схема).

Трехфазная цепь при несимметричной нагрузке приемника, полные сопротивления которого не равны друг другу. Из анализа схемы на рис. 3.13 следует, что векторы (комплексы) фазных напряжений при- 7

Рис. 3.13. Соединение трехфазной цепи по схеме «звезда — треугольник»

емника равны векторам (комплексам) линейных напряжений генератора:

При этом векторы линейных напряжений генератора определяют по уравнениям (3.3)—(3.5) через фазные ЭДС (напряжения) генератора.

При симметричной системе фазных ЭДС генератора векторы линейных напряжений цепи (3.22) образуют симметричную систему ЭДС, которые имеют действующее значение, равное линейному напряжению, и сдвинуты относительно друг друга на 120°. Токи в фазах приемника вычисляют по формулам:

Токи в линейных проводах определяют через фазные токи приемника из уравнений, составленных по первом у закону Кирхгофа для узлов а, Ь, с (см. рис. 3.13):

Так как приемник имеет различные сопротивления фаз (3.10), то фазные токи, определяемые по (3.23), образуют несимметричную трехфазную систему токов. Линейные токи, определяемые по (3.24), также образуют несимметричную трехфазную систему.

Пример 3.3. Даны параметры несимметричной нагрузки трехфазной электрической цепи на рис. 3.13 и симметричной фазной ЭДС источника с напряжением 220 В:

Определить фазные токи приемника и линейные токи цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для цепи (см. рис. 3.13).

1. Определим комплексы линейных напряжений генератора (они же фазные напряжения приемника) по уравнениям (3.3)—(3.5):

Комплексы напряжений U_(lh, U_bc, U_ca откладываем в масштабе напряжений под углами к действительной оси Re 30°, -90°, 150° (рис. 3.14, а).

2. Токи в фазах приемника:

Комплексы фазных токов приемника I_ab, 1_Ьс, 1_са откладываем в масштабе токов соответственно под углами -15°, -60°, 150° (см. рис. 3.14, а).

В соответствии с характером нагрузки приемника ток Ц._а совпадает по фазе с напряжением U_ca (активная нагрузка), ток 1_аЬ отстает от напряжения U_ab на угол 30° — (-15°) = 45° (активно-индуктивная нагрузка), ток 1_Ьс опережает напряжение U_bc на угол -90° — (-60°) = 30° (активноемкостная нагрузка).

3. Линейные токи определяем как векторную сумму соответствующих фазных токов:

4. Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рис. 3.14, а, из которой следует, что в общем случае фазные токи приемника и линейные токи цепи образуют несимметричную систему токов. Следовательно, в трехфазной цепи с соединением приемника треугольником на его фазах действуют независимые фазные напряжения, равные линейным напряжениям генератора, и токи в фазах приемника не зависят друг от друга, а зависят только от характера нагрузки.

Трехфазная цепь при симметричной нагрузке приемника, полные сопротивления которого равны Z_ab = Z_hc = Z_ca = Z^ = Z^e’ <? .

Рис. 3.14. Векторные диаграммы для схемы на рис. 3.13: а — несимметричная нагрузка; 6 — симметричная нагрузка

Из схемы на рис. 3.13 видно, что каждая фаза потребителя присоединена к двум линейным проводам. Поэтому при соединении потребителя треугольником фазные напряжения оказываются равными соответствующим линейным напряжениям: ?/_ф = U_n.

Линейные (фазные) напряжения потребителя, соединенного треугольником при заданных значениях ЭДС Е.а> Е.В-, Eq (или напряжениях U_A, U_B, Не), генератора, соединенного звездой (см. рис. 3.13), определяют по уравнениям (3.4), (3.5), при этом учитывают уравнения (3.22).

Сумма векторов линейных (фазных) напряжений:

Модули напряжений будут равны между собой:

Токи фаз приемника, определяемые по уравнению (3.23), в этом случае образуют трехфазную симметричную систему токов. Действующие значения токов будут равны и сдвинуты относительно друг друга на 120°. В соответствии с уравнениями (3.24) линейные токи в этом случае также образуют трехфазную симметричную систему токов.

Действительно, согласно (3.23) фазные токи потребителя:

где ср = arctg——-— — угол между фазными токами и фазными

Векторы фазных токов с учетом уравнений (3.3)—(3.5) можно определить по формулам:

где /_ф = Д ?/г_ф — действующее значение фазного тока приемника; Е — фазная ЭДС генератора.

Сумма векторов фазных токов с учетом уравнений (3.27) равна нулю:

Модули фазных токов при симметричной нагрузке равны между собой:

Из условия симметрии

Линейные токи потребителя, соединенного треугольником. Если все векторы линейных напряжений U_AB, U_BC, U_CA рассчитывать из условия соединения фаз генератора звездой по уравнениям (3.3)—(3.5), то векторы линейных токов для симметричного трехфазного потребителя, соединенного треугольником, согласно первому закону Кирхгофа и уравнениям (3.24) определяют по формулам:

где /_л = л/3/ф — действующее значение линейного тока.

Сумма векторов линейных токов с учетом уравнений (3.28) равна нулю:

Модули (действующие значения) линейных токов:

Допустим, что нагрузка на фазах симметричная и активная, т.е.

ЯфФ 0, Хф= 0. Тогда угол ср = 0, так как 1§ф_ф = — L = — = 0, соответ-

ственно ф = 0. На рис. 3.15 представлена векторная диаграмма фазных и линейных токов для схемы на рис. 3.13 при активной нагрузке. Вектор напряжения Ц_аЬ совмещен с действительной осью. Из прямоугольного треугольника 0LN (см. рис. 3.15) следует, что I у[3

раза больше фазного тока приемника.

Таким образом, для симметричной нагрузки приемника, соединенной треугольником:

Рис. 3.15. Векторная диаграмма фазных и линейных токов при симметричной нагрузке, соединенной треугольником (Х_ф = 0)

• 1. Сумма векторов линейных токов равна нулю: 1_А + 1_В + /_с = 0. Модули линейных токов равны между собой: 1_А = 1_В = 1с = /фл/3, а углы между ними равны 120°.
• 2. Сумма векторов фазных токов равна нулю: I_ab + 1_Ьс + 1_са = 0. Модули фазных токов равны между собой: 1_аЬ = I_bc = I_ca = /_ЛД/3, а углы между ними равны 120°.
• 3. Сумма векторов линейных (фазных) напряжений равна нулю: Hat, + u_bc + U_ca = 0. Модули линейных напряжений равны между собой (U_ab = U_bc — U_ca = U_n), и углы между ними равны 120°.

Пример 3.4. В схеме трехфазной цепи на рис. 3.13 фазное напряжение источника равно 220 В, а фазные сопротивления приемника равны между собой (симметричная нагрузка): Z_ab = Z_bc — Z_i._a = Z- 10 + у 10 Ом.

Определить фазные токи приемника и линейные токи цепи. Построить векторную диаграмму токов и напряжений цепи.

1. Система линейных напряжений приемника:

Векторы напряжений образуют симметричную систему: вектор смещен относительно действительной оси Re на 30°, вектор U_bc — на -90°, вектор Ц_са — на 150° (см. рис. 3.14, б).

2. Токи в фазах приемника равны

Фазные токи приемника имеют равные модули (26,9 А) и сдвинуты относительно друг друга на 120°. При этом ток 1_аЬ повернут относительно действительной оси на -15°.

3. Линейные токи в проводах цепи определяют как векторную разницу фазных токов (пунктирная линия на рис. 3.14, б):

Модули линейных токов равны между собой и сдвинуты по фазе на 120°.

4. Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рис. 3.14, б, из которой следует, что фазные и линейные токи образуют симметричную трехфазную систему токов.

Для симметричной нагрузки приемника можно получить соотношение между фазными токами приемника и линейными токами цепи. Для этого на рис. 3.13, 6 линейные токи в соответствии с уравнением (3.20) представим в виде замыкающегося векторного треугольника АВС, на базе векторов фазных токов. При этом для любой симметричной нагрузки независимо от ее характера выполняются следующие соотношения. Действующие значения токов фаз приемника равны фазному току I_ab — 1_Ьс = = 1_са = /ф. Действующие значения токов линейных проводов, связывающих источник и приемник, равны линейному току 1_А = 1_в = 1_с = 1_л. Из прямоугольного треугольника 0LA на рис. 3.14, б, можно установить связь между линейными и фазными токами:

Таким образом, при симметричной нагрузке приемника, соединенного треугольником, линейные токи в >/3 больше фазных. Напомним, что фазные напряжения приемника равны линейным напряжениям источника.

🎥 Видео

Зачем нужны векторные диаграммы?Скачать

Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряженийСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Векторные диаграммы и коэффициент мощностиСкачать

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #формулы #профильныйегэ #векторыСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

Построение векторной диаграммы. Цепь RLCСкачать

Урок 337. Сложение колебаний одной частоты. Метод векторных диаграммСкачать

Стрим с Борисом Надеждиным, Екатериной Дунцовой и Дмитрием КисиевымСкачать

Как построить векторную диаграмму напряжений?Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать