Функция четверти окружности формула

Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность , то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).

Функция четверти окружности формула

(() (frac) (;2π)) — четвертая четверть

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций .

Например, для любого угла из второй четверти — синус положителен, а косинус , тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти — все четыре функции будут положительны.

Функция четверти окружности формула

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла?
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

Подставим известное, и проведем вычисления.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от (0) до (frac) , но и углы от (2π) до (frac) , и от (4π) до (frac) , и от (6π) до (frac) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

Функция четверти окружности формула

((0;-) (frac) ()) — четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Тригонометрия простыми словами

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

    Функция четверти окружности формула
  • Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
  • Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
  • Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
  • Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Функция четверти окружности формула

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Функция четверти окружности формула

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

30°45°60°90°
sin01√3
ctg√31

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Функция четверти окружности формула

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Функция четверти окружности формула

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Единичная окружность

Функция четверти окружности формула

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Знаки тригонометрических функций. 9 класс.Скачать

Знаки тригонометрических функций. 9 класс.

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Функция четверти окружности формула

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

  • Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
  • Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
  • В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
  • В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Функция четверти окружности формула

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

  • 2π радиан = 360°
  • 1 радиан = (360/2π) градусов
  • 1 радиан = (180/π) градусов
  • 360° = 2π радиан
  • 1° = (2π/360) радиан
  • 1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Функция четверти окружности формула

Функция четверти окружности формула

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

🔥 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Формулы ПриведенияСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Формулы Приведения

Формулы приведения - как их легко выучить!Скачать

Формулы приведения - как их легко выучить!

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскостиСкачать

Уравнение окружности и формула расстояния между точками на плоскости

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?

Формулы приведения с нуля за 15 минут!Скачать

Формулы приведения с нуля за 15 минут!

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Числовая окружностьСкачать

Числовая окружность

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Вычисление значений тригонометрических функцийСкачать

Вычисление значений тригонометрических функций

Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1Скачать

Алгебра 10 класс. 15 сентября. Числовая окружность #1

Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!Скачать

Таблица значений тригонометрических функций - как её запомнить!!!

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часаСкачать

Щелчок по математике I №5,6,12 Тригонометрия с нуля и до ЕГЭ за 4 часа

В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...Скачать

В какой четверти находится точка единичной окружности, полученная при повороте Ро(1;0) на угол...
Поделиться или сохранить к себе: