Длина дуги окружности формула вывод

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется по формуле:

C = 2πR,
где Rрадиус окружности.

Видео:Как выводится формула длины дуги окружности?Скачать

Как выводится формула длины дуги окружности?

Вывод формулы, выражающей длину окружности

Путь C и C’ — длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Pn и P’n их периметры, а через an и a’n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника an = 2R sin (180°/n) получаем: Pn = n · an = n · 2R sin (180°/n), P’n = n · a’n = n · 2R’ sin (180°/n). Следовательно, Pn / P’n = 2R / 2R’. (1) Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Pn → C, P’n → C’, n → ∞, то предел отношения Pn / P’n равен C / C’. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R’. Таким образом, C / C’ = 2R / 2R’. Из этого равенства следует, что C / 2R = C’ / 2R’, т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»). Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R: С = 2πR.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Длина дуги окружности

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина l дуги в 1° равна 2πR / 360 = πR / 180. Поэтому длина l дуги окружности с градусной мерой α выражается формулой l = (πR / 180) · α.

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Длина дуги окружности формула выводОсновные определения и свойства. Число π
Длина дуги окружности формула выводФормулы для площади круга и его частей
Длина дуги окружности формула выводФормулы для длины окружности и ее дуг
Длина дуги окружности формула выводПлощадь круга
Длина дуги окружности формула выводДлина окружности
Длина дуги окружности формула выводДлина дуги
Длина дуги окружности формула выводПлощадь сектора
Длина дуги окружности формула выводПлощадь сегмента

Длина дуги окружности формула вывод

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьДлина дуги окружности формула вывод
ДугаДлина дуги окружности формула вывод
КругДлина дуги окружности формула вывод
СекторДлина дуги окружности формула вывод
СегментДлина дуги окружности формула вывод
Правильный многоугольникДлина дуги окружности формула вывод
Длина дуги окружности формула вывод
Окружность
Длина дуги окружности формула вывод

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаДлина дуги окружности формула вывод

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругДлина дуги окружности формула вывод

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторДлина дуги окружности формула вывод

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментДлина дуги окружности формула вывод

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникДлина дуги окружности формула вывод

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Длина дуги окружности формула вывод

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Длина дуги окружности формула вывод

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25Скачать

МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25

Формулы для площади круга и его частей

Длина дуги окружности формула вывод,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаДлина дуги окружности формула вывод
Площадь сектораДлина дуги окружности формула вывод
Площадь сегментаДлина дуги окружности формула вывод
Площадь круга
Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораДлина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаДлина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиДлина дуги окружности формула вывод
Длина дугиДлина дуги окружности формула вывод
Длина окружности
Длина дуги окружности формула вывод

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиДлина дуги окружности формула вывод

если величина угла α выражена в радианах

Длина дуги окружности формула вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Длина окружности

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Длина дуги окружности формула вывод

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Масштаб. 6 класс.Скачать

Масштаб. 6 класс.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина дуги окружности формула вывод

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности формула вывод

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности формула вывод

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности формула вывод

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности формула вывод

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина дуги окружности формула вывод

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности формула вывод

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности формула вывод

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Длина дуги окружности формула вывод

из которой вытекает равенство:

Длина дуги окружности формула вывод

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Длина дуги окружности формула вывод

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

Длина дуги окружности формула вывод

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Please wait.

Видео:Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Окружность. Круг. 5 класс.

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Длина дуги окружностиСкачать

Длина дуги окружности

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6ce26fa29eb23aad • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

📽️ Видео

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | ИнфоурокСкачать

Длина дуги числовой окружности | Алгебра 10 класс #9 | Инфоурок

Длина окружности и дугиСкачать

Длина окружности и дуги
Поделиться или сохранить к себе: