Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Сколько малых одинаковых окружностей радиуса r можно вписать в большую окружность радиуса R

Этот калькулятор оценивает число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R.

Этот калькулятор выводит максимальное число малых окружностей заданного радиуса r можно разместить внутри большой окружности заданного радиуса R. Например это могут быть малые трубы внутри большой, провода в кабель канале, круги, вырезаемые из круговой же заготовки и так далее.

Вы можете подумать, что для решения такой задачи должна быть выведена формула, но на самом деле это не так — формулы нет. Эта задача относится к классу оптимизационных задач, а точнее, задач упаковки. Эта задача известна как Упаковка кругов в круге. Упаковка кругов в круге — это двумерная задача упаковки, целью которой является упаковка единичных кругов в как можно меньший круг. См. Упаковка кругов в круге.

Для этой задачи найденное решение еще и должно быть проанализировано на оптимальность. Статья в википедии по ссылке выше приводит первые 20 решений (иными словами, приводит минимальные радиусы больших окружностей вмещающих заданное число единичных окружностей. Между прочим, по умолчанию входные параметры калькулятора дают ответ 11 кругов, что соответствует следующей диаграмме:

Хорошей новостью является то, что есть проект в интернете, целиком посвященный задачам упаковки — сайт Packomania. На сегодняшний день он содержит все найденные решения, автор сайта, Экард Спехт (Eckard Specht), сам участвует в поиске решений, и большинство решений, на самом деле найдены им. Оттуда можно взять соотношения r к R для решений, позволяющих упаковать от 1 до 2600 окружностей внутри большой, с графическими диаграммами решения.

Соотношения r/R, приведенные на сайте и использует калькулятор ниже для поиска оптимального решения. Если соотношение не попадает в диапазон известных решений, калькулятор выдает ошибку.

Содержание
  1. Простая задача про круги, которая выглядит сложной
  2. Строим внутренний треугольник
  3. Строим проекцию
  4. Вычисляем длину секций
  5. Многоугольник — определение и вычисление с примерами решения
  6. Определение многоугольников
  7. Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника
  8. Площадь параллелограмма
  9. Площадь треугольника
  10. Пример №1
  11. Площадь трапеции
  12. Равносоставленные и равновеликие многоугольники
  13. Теорема Чевы
  14. Ломанная линия и многоугольники
  15. Внутренние и внешние углы многоугольника
  16. Пример №2
  17. Многоугольники вписанные в окружность и описанные около окружности
  18. Окружность, вписанная в треугольник и описанная около нее
  19. Свойства четырехугольников, вписанных в окружность и описанного около нее
  20. Площадь правильного многоугольника
  21. Пример №3
  22. Паркетирование
  23. Справочный материал по многоугольникам
  24. Пример №4
  25. Пример №5
  26. Многоугольник и его свойства
  27. Понятие площади
  28. 🎬 Видео

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Но на деле она точно простая.

Разберём свежую задачу с канала MindYourDecisions. Это не про программирование, но развивает логическое мышление.

Дано: есть три одинаковых круга с диаметром в 1 метр. Круги соприкасаются друг с другом, а вокруг них натянута эластичная лента.

Что нужно: найти длину этой ленты.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Кажется, что это очень сложная задача, где нужно знать сложные формулы расчёта кривизны и точек натяжения, но на деле всё будет гораздо проще. Если знаете английский — посмотрите оригинальный ролик, там классная анимация:

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Строим внутренний треугольник

Первое, что мы сделаем, — соединим центры всех кругов в один треугольник:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

В геометрии есть такое правило, что если круги касаются друг друга, то через их центры можно провести прямую линию, и точка касания кругов будет лежать на этой линии. Раз у нас диаметр равен 1, то радиус каждого круга равен 0,5. Обозначим это на рисунке:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Получается, что длина каждой стороны треугольника равна 0,5 + 0,5 = 1. Запомним это и идём дальше.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Строим проекцию

От каждой вершины треугольника проведём под прямым углом линии к ленте:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Получились прямоугольники. У прямоугольников противоположные стороны равны, поэтому раз стороны треугольника равны единице, то и эти отрезки на ленте тоже будут равны единице:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Осталось найти длину оставшихся секций:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вычисляем длину секций

Здесь нам поможет знание о том, что полный оборот внутри круга — это 360 градусов.

Так как во внутреннем треугольнике все стороны равны, то это равносторонний треугольник. А раз так, то углы в нём равны 60 градусов. Добавим сюда по два прямых угла по 90 градусов из прямоугольников:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Решаем уравнение: 90 + 60 + 90 + X = 360 → X = 120 градусов.

Но 120 градусов — это ровно треть круга, а у нас таких частей как раз три:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Это значит, что из них можно составить один целый круг. При этом мы знаем, что у этого круга радиус 0,5, а диаметр тогда равен единице. Этого достаточно, чтобы посчитать длину окружности: L = π × d → L = 3,14.

Складываем это число с длинами трёх отрезков и получаем полную длину: 3 + π

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Многоугольник — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Изучив материал этой лекции, вы узнаете формулу, с помощью которой можно найти сумму углов выпуклого многоугольника.

  • Вы расширите свои представления о такой знакомой вам величине, как площадь.
  • Вы научитесь находить площадь параллелограмма, треугольника, трапеции.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Определение многоугольников

Рассмотрим фигуру, состоящую из точек Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Фигура, образованная этими отрезками, ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 195 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеназывают многоугольником. Точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеназывают вершинами многоугольника, а указанные выше отрезки — сторонами многоугольника.

Стороны, являющиеся соседними отрезками, называют соседними сторонами многоугольника. Вершины, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами многоугольника.

Две соседние стороны многоугольника образуют угол многоугольника. Например, на рисунке 196 Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— углы многоугольника, а Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникене является углом многоугольника.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольник называют по количеству его углов: треугольник, четырехугольник, пятиугольник и т. п.

Многоугольник обозначают по его вершинам. Например, на рисунке 197 изображен пятиугольник ABCDE. В обозначении многоугольника буквы, стоящие рядом, соответствуют соседним вершинам. Например, пятиугольник, изображенный на рисунке 197, можно обозначить еще и так: CDEAB, EABCD, EDCBA и т. д.

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон.

Отрезок, соединяющий несоседние вершины многоугольника, называют диагональю. Например, на рисунке 198 отрезок АЕ — диагональ шестиугольника ABCDEF.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

На рисунке 199 изображен многоугольник, все углы которого меньше развернутого. Такой многоугольник называют выпуклым. Из сказанного следует, что любой треугольник является выпуклым многоугольником. Заметим, что многоугольники, изображенные на рисунках 196-198, не являются выпуклыми.

Выпуклый многоугольник обладает такими свойствами:

  1. выпуклый многоугольник расположен в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 200);
  2. выпуклый многоугольник, отличный от треугольника, содержит любую свою диагональ (рис. 201).

Если многоугольник не является выпуклым, то он такими свойствами не обладает (рис. 198, 202).

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема 19.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Доказательство. Для случая n = 3 теорема была доказана в 7 классе (теорема 16.1).

Пусть Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеНа рисунке 203 изображен выпуклый n-угольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Докажем, что сумма всех его углов равна 180° (n-2).

Проведем все его диагонали, выходящие из вершины Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеЭти диагонали разбивают данный многоугольник на (n — 2) треугольника. Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов n-угольника. Поскольку сумма углов каждого треугольника равна 180°, то искомая сумма равна 180° (n — 2).

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Отметим, что эта теорема справедлива и для любого многоугольника, не являющегося выпуклым.

Определение. Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

На рисунке 204 изображена окружность, описанная около многоугольника. В этом случае также говорят, что многоугольник вписан в окружность.

Центр окружности, описанной около многоугольника, равноудален от всех его вершин. Следовательно, этот центр принадлежит серединным перпендикулярам всех сторон многоугольника, вписанного в окружность.

Около многоугольника можно описать окружность, если существует точка, равноудаленная от всех его вершин. Следовательно, если серединные перпендикуляры всех сторон многоугольника пересекаются в одной точке, то около такого многоугольника можно описать окружность.

Определение. Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

На рисунке 205 изображена окружность, вписанная в многоугольник. В этом случае также говорят, что многоугольник описан около окружности.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, равноудален от всех его сторон. Следовательно, этот центр принадлежит биссектрисам всех углов многоугольника, описанного около окружности.

Понятие площади многоугольника. Площадь прямоугольника

С такой величиной, как площадь, вы часто встречаетесь в повседневной жизни: площадь квартиры, площадь дачного участка, площадь поля и т. п.

Опыт подсказывает вам, что равные земельные участки имеют равные площади, что площадь квартиры равна сумме площадей всех ее помещений (комнат, кухни, коридора и т. д.).

Вы знаете, что площади земельных участков измеряют в сотках (арах) и гектарах; площади регионов и государств — в квадратных километрах; площадь квартиры — в квадратных метрах.

На этих практических знаниях о площади основывается определение площади многоугольника.

Определение. Площадью многоугольника называют положительную величину, которая обладает следующими свойствами:

  1. равные многоугольники имеют равные площади;
  2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
  3. за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, то есть квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

Измерить площадь многоугольника — это значит сравнить его площадь с площадью единичного квадрата. В результате получают числовое значение площади данного многоугольника. Это число показывает, во сколько раз площадь данного многоугольника отличается от площади единичного квадрата.

Например, если клетку вашей тетради принять за единичный квадрат, то площадь многоугольника, изображенного на рисунке 207, будет равна 11 квадратным единицам (кратко записывают: 11 ед. 2 ).

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Обычно для нахождения площади используют формулы, то есть вычисляют площадь многоугольника по определенным элементам (сторонам, диагоналям, высотам и т. д.). Некоторые из формул вы уже знаете. Например, вы неоднократно применяли формулу S = ab, где S — площадь прямоугольника, а и b — длины его соседних сторон.

Для доказательства этой формулы потребуется следующая лемма.
Лемма. Площадь квадрата со стороной Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеед. (n — натуральное число) равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Доказательство. Рассмотрим единичный квадрат и разделим его на Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеравных квадратов со стороной Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике(рис. 208).
Из определения площади многоугольника (свойство 1) следует, что все эти квадраты имеют равные площади. По свойству 2 сумма площадей этих квадратов равна площади единичного квадрата, то есть 1 ед. 2 . Поэтому площадь каждого маленького квадрата равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема 20.1. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Доказательство. На рисунке 209 изображен прямоугольник ABCD, длины соседних сторон которого равны a и b: АВ = а, ВС = b. Докажем для случая, когда а и b — рациональные числа, что площадь S прямоугольника вычисляют по формуле S = ab.

Числа а и b представим в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:
Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникегде Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— натуральные числа.
Разделим сторону АВ на р равных частей, а сторону ВС — на q равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Тогда прямоугольник будет разделен на Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеравных квадратов со стороной Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Согласно лемме площадь каждого квадрата равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеИз определения площади (свойство 2) следует, что площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов, то есть Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике
Рассмотрение случая, когда хотя бы одно из чисел а или b является иррациональным, выходит за рамки школьного курса геометрии.

Определение. Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Из определения площади (свойство 1) следует, что все равные фигуры равновелики. Однако не все фигуры, имеющие равные площади, являются равными. Например, на рисунке 210 изображены два многоугольника, каждый из которых составлен из семи единичных квадратов. Эти многоугольники равновелики, но не равны.

Площадь параллелограмма

Теорема 21.1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

Доказательство. На рисунке 214 изображены параллелограмм ABCD, площадь которого равна S, и его высота ВМ. Докажем, что S = ВС • ВМ.

Проведем высоту CN. Легко показать (сделайте это самостоятельно), что четырехугольник MBCN — прямоугольник. Покажем, что он равновелик данному параллелограмму.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольника АВМ и трапеции MBCD. Площадь прямоугольника равна сумме площадей указанной трапеции и треугольника DCN. Однако треугольники АВМ и DCN равны по гипотенузе и острому углу (отрезки АВ и CD равны как противолежащие стороны параллелограмма, углы 1 и 2 равны как соответственные при параллельных прямых АВ и DC и секущей AD). Значит, эти треугольники равновелики. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN равновелики.

По теореме 20.1 площадь прямоугольника MBCN равна произведению длин сторон ВС и ВМ. Тогда S = ВС • ВМ, где S — площадь параллелограмма ABCD.

Для завершения доказательства надо рассмотреть случаи, когда основание М высоты ВМ не будет принадлежать стороне AD (рис. 215) или совпадет с вершиной D (рис. 216). И в этом случае параллелограмм ABCD и прямоугольник MBCN будут равновеликими. Докажите этот факт самостоятельно.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если обозначить длины стороны параллелограмма и проведенной к ней высоты соответственно буквами а и h, то площадь S параллелограмма вычисляют по формуле Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Площадь треугольника

Теорема 22.1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высоты.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Доказательство. На рисунке 220 изображены треугольник АВС, площадь которого равна S, и его высота ВМ. Докажем, что Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике
Через вершины В и С треугольника проведем прямые, параллельные сторонам АС и АВ соответственно (рис. 220). Пусть эти прямые пересекаются в точке N. Четырехугольник ABNC — параллелограмм по определению. Треугольники АВС и NCB равны (докажите это самостоятельно). Следовательно, равны и их площади. Тогда площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма ABNC. Высота ВМ треугольника АВС является также высотой параллелограмма
ABNC. Отсюда Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если воспользоваться обозначениями для высот и сторон треугольника АВС, то согласно доказанной теореме имеем:
Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

где S — площадь треугольника.

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Пример №1

Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Решение:

На рисунке 221 изображен ромб ABCD, площадь которого равна S. Его диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Докажем, что Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике
Поскольку диагонали ромба перпендикулярны, то отрезки АО и СО являются высотами треугольников BAD и BCD соответственно. Тогда можно записать:
Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Площадь трапеции

Теорема 23.1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.

Доказательство. На рисунке 224 изображена трапеция ABCD (AD||BC), площадь которой равна S. Отрезок CN — высота этой трапеции. Докажем, что Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Проведем диагональ АС и высоту AM трапеции. Отрезки AM и CN являются высотами треугольников АВС и ACD соответственно.

Имеем:
Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если обозначить длины оснований трапеции и ее высоты соответственно буквами Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникето площадь S трапеции вычисляют по формуле

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Следствие. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Равносоставленные и равновеликие многоугольники

Если некоторый многоугольник можно разрезать на части и составить из них другой многоугольник, то такие два многоугольника называют равносоставленными.

Например, если прямоугольник разрезать вдоль его диагонали (рис. 228), то получим два равных прямоугольных треугольника, из которых можно составить равнобедренный треугольник (рис. 229). Фигуры на рисунках 228 и 229 — равно составленные.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Очевидно, что равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Этот факт применяют при доказательстве теорем и решении задач. Например, доказывая теорему 21.1, мы фактически разрезали параллелограмм на треугольник АВМ и трапецию MBCD, из которых составили прямоугольник MBCN (см. рис. 215).

Если треугольник разрезать вдоль средней линии, то из полученных треугольника и трапеции можно составить параллелограмм (рис. 230).

Легко установить (сделайте это самостоятельно), что такое разрезание треугольника приводит к еще одному доказательству теоремы о площади треугольника (теорема 22.1). Этой же цели служит разрезание треугольника на части, из которых можно составить прямоугольник (рис. 231).

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Евклид в своей знаменитой книге «Начала» формулирует теорему Пифагора так:

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах».

Если показать, что можно разрезать квадраты, построенные на катетах, на части и составить из этих частей квадрат со стороной, равной гипотенузе, то тем самым будет доказана теорема Пифагора.

На рисунке 232 показан один из возможных способов такого разрезания. Квадраты, построенные на катетах, разрезаны на части, площади которых равны Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеИз этих частей сложен квадрат, построенный на гипотенузе.

Из определения площади многоугольника следует, что равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Но совсем неочевидной является такая теорема.

Теорема. Любые два равновеликих многоугольника являются равносоставленными.

Впервые этот факт доказал в 1832 г. венгерский математик Фаркаш Бойяи. Позднее немецкий математик Пауль Гервин нашел другое доказательство. Поэтому эту теорему называют теоремой Бойяи—Гервина.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема Чевы

На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС отметим произвольные точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике(рис. 234). Каждый из отрезков АЛ,, BBV СС, называют чевианой треугольника АВС. Такое название связано с именем итальянского инженера и математика Джованни Чевы (1648-1734), открывшего удивительную теорему.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникевыбраны так, что чевианы являются биссектрисами, либо медианами, либо высотами остроугольного треугольника, то эти чевианы пересекаются в одной точке.

Если три прямые пересекаются в одной точке, то их называют конкурентными.

Теорема Чевы дает общий критерий конкурентности произвольных трех чевиан.

Теорема. Для того чтобы, чевианы Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникетреугольника АВС пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике
Доказательство. Докажем сначала необходимое условие конкурентности: если чевианы Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникепересекаются в одной точке, то выполняется равенство (*).

Воспользовавшись результатом ключевой задачи 757, можно записать (рис. 235):

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Перемножив записанные равенства, получим равенство (*).

Докажем теперь достаточное условие конкурентности: если выполняется равенство (*), то чевианы Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникепересекаются в одной точке.

Пусть чевианы Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникепересекаются в точке D, а чевиана, проходящая через вершину С и точку D, пересекает сторону АВ в некоторой точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеИз доказанного выше можно записать:
Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике
Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникето есть точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеделят отрезок АВ в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Следовательно, прямая CD пересекает сторону АВ в точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Напомню:

Сумма углов выпуклого n-угольника
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° (n — 2).

Окружность, описанная около многоугольника
Окружность называют описанной около многоугольника, если она проходит через все его вершины.

Окружность, вписанная в многоугольник
Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон.

Площадь многоугольника
Площадью многоугольника называют положительную величину,
которая обладает следующими свойствами:

  1. равные многоугольники имеют равные площади;
  2. если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;
  3. за единицу измерения площади принимают единичный квадрат, то есть квадрат со стороной, равной единице измерения длины.

Площадь прямоугольника
Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон.

Равновеликие многоугольники
Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Площадь параллелограмма
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и высоты, проведенной к этой стороне.

Площадь треугольника
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высоты.

Площадь прямоугольного треугольника
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Площадь трапеции

  • Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований и высоты.
  • Площадь трапеции равна произведению ее средней линии и высоты.

Ломанная линия и многоугольники

Ломаная линия состоит из таких нескольких последовательно-соединенных отрезков: конец первого является началом второго, конец второго является началом третьего и т.д. Если конечная точка последнего отрезка совпадает с начальной точкой первого отрезка, то ломаная называется замкнутой. Многоугольник — это фигура, образованная замкнутой ломаной линией, в которой смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные — не пересекаются.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

  • Многоугольник — это плоская фигура.
  • Стороны состоят из конечного числа отрезков.
  • Многоугольник это замкнутая фигура, делящая плоскость на 2 части: внутреннюю замкнутую область и внешнюю бесконечную область.
  • Многоугольник обозначают буквами, указывающими его вершины.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольники бывают выпуклые и вогнутые. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой содержащей его сторону. Если не лежит в одной полуплоскости — вогнутым.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольник называется правильным, если у него все стороны все углы конгруэнтны.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

В многоугольнике количество вершин, сторон и углов одинаковые. Многоугольник с Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— сторонами называют еще и Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— угольным.

Соответственно количеству сторон, многоугольники называются треугольными, четырехугольными, пятиугольными, шестиугольными т.д. Из любой вершины выпуклого Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— угольника выходят Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникедиагонали.

Внутренние и внешние углы многоугольника

Угол, образованный двумя сторонами, исходящими из данной вершины называется внутренним углом при данной’ вершине выпуклого многоугольника. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника называется внешним. Сумма внутренних и внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) многоугольника при любой вершине равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема 1. Сумма внутренних углов выкуплого Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— угольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеравна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Следствие: Каждый внутренний угол правильного Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— угольника равен Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема 2. Сумма внешних углов выкуплого многоугольника равен Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Следствие 2. Каждый внешний угол правильного Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— угольника равен Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Пример №2

Один из внешних углов правильного многоугольника равен Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

a) найдите градусную меру внутреннего угла многоугольника;

b) найдите число сторон многоугольника.

Решение: а) Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике;

Внутренний угол: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

b) Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольники вписанные в окружность и описанные около окружности

Определение 1. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности, а окружность называется описанной около многоугольника. На рисунке треугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникевписан в окружность.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Определение 2. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности, а окружность называется вписанной в многоугольник. На рисунке четырехугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеописан около окружности.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около нее

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема 2. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром этой окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема 3. Если в окружность вписан прямоугольный треугольник, то гипотенуза является диаметром этой окружности.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Обратная теорема. Если сторона треугольника, вписанного в окружность, является диаметром, то этот треугольник — прямоугольный.

Доказательство 1-ой теоремы (текстовое). Проведем биссектрисы углов Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникетреугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи точку пересечения обозначим буквой Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Произвольная точка, взятая на биссектрисе находится на одинаковом расстоянии от сторон угла. Поэтому Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеТочка Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникенаходится и на биссектрисе угла Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике(почему?). Нарисуем окружность с центром в точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи радиусом Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеТак как стороны треугольника перпендикулярны радиусам Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникето в точках Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеони касаются окружности. А значит, эта окружность является вписанной в треугольник.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Доказательство 2-ой теоремы. Через середины сторон Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникетреугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникепроведем перпендикуляры и точку их пересечения обозначим буквой Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. По свойству серединного перпендикуляра к отрезку Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Так как Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеравнобедренный, то точка Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникенаходится и на серединном перпендикуляре стороны Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Окружность с центром в точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи радиусом Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, пройдя через все вершины треугольника, будет описанной около нее.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Замечание: Около данного треугольника можно описать только одну окружность. В данную окружность можно вписать бесконечное количество треугольников.

Свойства четырехугольников, вписанных в окружность и описанного около нее

В отличие от треугольников, не во всякий четырехугольник можно вписать или описать окружность.

Теорема 4. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Обратная теорема. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема 5. Сумма двух противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Обратная теорема. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, то около этого четырехугольника можно описать окружность.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Доказательство теоремы 4: Пусть точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникебудут точками касания сторон четырехугольника. По свойству касательных, проведенных из данной точки к окружности, Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если сложить почленно эти равенства, получим Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеили же Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Отношение стороны треугольника, вписанного в окружность, к синусу противолежащего угла равно диаметру этой окружности: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Исследуйте данное доказательство для случая, когда центр окружности расположен внутри треугольника, обсудите и напишите в тетради.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

В любой правильный многоугольник можно вписать и описать окружность. Центры этих окружностей совпадут. Биссектрисы углов правильного многоугольника пересекаются в точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи образуют равнобедренные треугольники конгруэнтные показанному на рисунке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике(по признаку УСУ). Нарисуем окружность радиусом Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникес центром в точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Эта окружность, пройдя через все вершины, будет описанной окружностью. Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеокружность с радиусом Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, касаясь всех сторон многоугольника, будет вписанной окружностью. Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— радиус окружности, описанной около правильного Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-угольника, Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-радиус вписанной окружности, Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-сторона правильного Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-угольника, Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— центральный угол

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Задача на построение: Постройте правильный шестиугольник.

1. Нарисуйте отрезок Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, равный стороне правильного шестиугольника.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

2. Циркулем нарисуйте окружность, радиус которой равен длине этого отрезка.

3. Не меняя раствора циркуля, разбейте всю окружность на части одинаковой длины и отметьте их точками.

4. Соедините последовательно отмеченные точки. Получится правильный шестиугольник, вписанный в окружность.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если соединить попарно некоторые вершины правильного шестиугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, например, вершины Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, то получится правильный треугольник. Чтобы построить правильный четырехугольник, нужно провести два взаимно перпендикулярных диаметра и последовательно соединить их концы. Если в окружность вписан правильный Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— угольник, то отметив точки пересечения серединных перпендикуляров с окружностью, получим точки являющиеся вершинами правильного Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-угольника.

Площадь правильного многоугольника

Центр правильного многоугольника. Центр окружности, описанного около правильного многоугольника или вписанного в него, является центром правильного многоугольника. Центр правильного многоугольника находится на одинаковом расстоянии от всех вершин и всех сторон многоугольника.

Апофема правильного многоугольника. Перпендикуляр, проведенный из центра многоугольника к его стороне, называется апофемой. Апофема правильного многоугольника равна радиусу вписанной окружности.

Выполните следующее упражнение по шагам и выведите формулу зависимости площади правильного многоугольника от апофемы.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

1. Нарисуйте правильный пятиугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

2. Из центра Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникепроведите перпендикуляр, делящий сторону Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникепополам.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

3. Соедините точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникес центром Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

4. Выразите площадь треугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникепеременными Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Обратите внимание какому измерению многоугольника соответствует высота треугольника.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

5. Соедините точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникес точкой Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Сравните площади полученных треугольников.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

6. Обратите внимание на то, что площадь пятиугольника равна сумме площадей этих треугольников. Площадь пятиугольника:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике7. Какому измерению соответствует выражение Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике? Выразите площадь пятиугольника через его периметр.

Площадь правильного многоугольника:

Соединив центр правильного Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-угольника с вершинами, получится Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеколичество равнобедренных конгруэнтных треугольников. Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-длина стороны многоугольника , Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-число сторон, Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике-апофема.

Пример №3

В окружность радиусом равным единице, вписан правильный пятиугольник. Найдите площадь пятиугольника. Решение:

Площадь многоугольника: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Нужно найти апофему Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи периметр Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Центральный угол Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеравен Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— равнобедренный треугольник, а значит его высота Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеявляется и медианой, и биссектрисой.

Тогда Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Чтобы найти стороны треугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, воспользуемся тригонометрическими соотношениями . Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— апофема пятиугольника,Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Сторона пятиугольника: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Историческое сведение. В 3-ем веке до н.э. Архимед — древнегреческий ученый, для того, чтобы определить численное значение Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, воспользовался периметрами правильных; многоугольников описанных и вписанных в окружность. Пользуясь данным способом исследуйте значение Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

1. Принимая за единицу диаметр окружности, найдите периметр вписанного шестиугольника.

2. Покажите, что длина окружности с единичным диаметром равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

3. Нарисуйте радиус окружности. Найдите периметр описанного шестиугольника.

4. Напишите неравенство: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Увеличив число сторон многоугольника в 2 раза и продолжая вычисления для 12-ти, а затем для 96-ти угольного многоугольника Архимед, определил, что значения Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникебольше Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, но меньше Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Паркетирование

Паркетированием называется покрытие площади фигурами до заполнения всей пустоты.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если сумма углов при общей вершине многоугольника равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, то паркетированием можно покрыть всю пустую часть площади. Паркетирование возможно при помощи правильных треугольников, ромбов (квадратов) и правильных шестиугольников. Однако, при помощи правильных пятиугольников это сделать невозможно, потому что, градусная мера одного угла равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, а сумма углов при общей вершине трех пятиугольников Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, а четырех пятиугольников Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике.

Справочный материал по многоугольникам

Многоугольник и его элементы.

Сумма углов выпуклого многоугольника. многоугольник, вписанный в окружность, и многоугольник, описанный около окружности.

Рассмотрим фигуру Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеизображенную на рисунке 213. Она состоит из отрезков Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеПри этом отрезки размещены так, что соседние отрезки ( Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике) не лежат на одной прямой, а несоседние отрезки не имеют общих точек. Такую фигуру называют многоугольником. Точки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеназывают вершинами многоугольника, а отрезки Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникесторонами многоугольника.

Очевидно, что количество вершин многоугольника равно количеству его сторон.

Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром.

Наименьшее количество вершин (сторон) у многоугольника — три. В этом случае имеем треугольник. Еще одним отдельным видом многоугольника является четырехугольник.

Многоугольник, у которого Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникевершин, называют Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольником. На рисунке 213 изображен шестиугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Две стороны многоугольника называют соседними, если они имеют общую вершину. Стороны многоугольника, не имеющие общей вершины, называют несоседними. Например, стороны Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— соседние, a Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— несоседние (рис. 213).

Две вершины многоугольника называют соседними, если они принадлежат одной стороне, а вершины многоугольника, не принадлежащие одной стороне, называют несоседними.

Например, вершины Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— соседние, Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— несоседние (рис. 213).

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют диагональю многоугольника. На рисунке 214 изображены диагонали многоугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникевыходящие из вершины Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Пример №4

Сколько диагоналей имеет Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольник?

Решение:

Из каждой вершины Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника выходит Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникедиагонали. Всего вершин Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеа каждая диагональ повторяется дважды, например Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеПоэтому всего диагоналей у Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника будет Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Ответ. Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Углы, стороны которых содержат соседние стороны многоугольника, называют углами многоугольника. Пятиугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеимеет углы Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Если каждый из углов многоугольника меньше развернутого, то такой многоугольник называют выпуклым. Если хотя бы один угол многоугольника больше развернутого, то такой многоугольник называют невыпуклым.

Многоугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— выпуклый (рис. 215), а многоугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— невыпуклый (рис. 216), так как угол при вершине Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникебольше чем 180°.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Теорема (о сумме углов выпуклого Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника). Сумма углов выпуклого Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Доказательство:

Выберем во внутренней области многоугольника произвольную точку Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи соединим ее со всеми вершинами Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника (рис. 217). Получим Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникетреугольников, сумма всех углов которых равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеСумма углов с вершиной в точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеравна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеСумма углов данного Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника равна сумме углов всех треугольников, кроме углов с вершиной в точке Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникето есть: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Углы выпуклого многоугольника называют еще его внутренними углами. Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, называют внешним углом многоугольника. На рисунке 218 угол Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— внешний угол многоугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— при вершине Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Очевидно, что каждый многоугольник имеет по два внешних угла при каждой вершине.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Пример №5

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Решение:

Сумма внутреннего и внешнего углов при каждой вершине многоугольника равна 180°. Поэтому сумма всех внутренних и внешних углов Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеугольника равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеТак как сумма внутренних углов равна Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникето сумма внешних углов равна:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на окружности. Окружность при этом называют описанной около многоугольника (рис. 219).

Около многоугольника не всегда можно описать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (как и в случае треугольника).

Многоугольник называют описанным около окружности, если все его стороны касаются окружности. Окружность при этом называют вписанной в многоугольник (рис. 220).

Не в каждый многоугольник можно вписать окружность. Если же это возможно, то центром такой окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов многоугольника (как и в случае треугольника).

Многоугольник и его свойства

Вы уже знаете, что такое треугольник и четырёхугольник. Более общим является понятие многоугольника. На рисунке 327 вы видите многоугольник ABCDEF. Он состоит из отрезков АВ, ВС, CD, DE, EFy FA, размещённых таким образом, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные -не имеют общих точек. Отрезки, из которых состоит многоугольник, называются его сторонами, углы, образованные смежными сторонами, — углами, а вершины этих углов — вершинами многоугольника.

В зависимости от количества вершин (углов либо сторон) многоугольник называется треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и т. д. Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольник обозначают названиями его вершин, например шестиугольник ABCDEF (рис. 327), пятиугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике(рис. 328). ? | На рисунке 329 вы видите многоугольники Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. В чём их различие?

Ни одна из прямых, проходящих через стороны многоугольника Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникене пересекает другие его стороны. Он лежит по одну сторону от любой из этих прямых. Такой многоугольник называется выпуклым. Многоугольник Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникене является выпуклым.

В дальнейшем мы будем рассматривать лишь выпуклые многоугольники.

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон. Его обозначают буквой Р.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Посмотрите на рисунок 330. В шестиугольнике ABCDEF отрезки AC, AD, АЕ соединяют вершину А с несоседними вершинами. Это — диагонали шестиугольника.

Диагональю n-угольника называется отрезок, который соединяет две несоседние его вершины.

Теорема (о сумме углов n-угольника).

Сумма углов n-угольника равна 180° • (n — 2).

Дано: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— n-угольник (рис. 331), Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике— диагонали. Доказать: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Доказательство. В заданном n-угольнике диагонали Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольникевыходят из одной вершины Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеПоэтому они разбивают n-угольник на n — 2 треугольников. Сумма всех углов образованных треугольников равна сумме углов данного n-угольника. Поскольку в каждом треугольнике сумма углов равна 180°, то сумма углов данного n-угольника — 180° • (n — 2).

Угол, смежный с углом многоугольника (рис. 332), называется внешним углом многоугольника.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольники могут быть вписанными в окружность (рис. 333) или описанными около окружности (рис. 334). Попытайтесь дать определения и сравните их с указанными в учебнике.

Многоугольник все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным, в эту окружность, а окружность — описанной около этого многоугольника.

Многоугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот многоугольник.

Стороны вписанного многоугольника и его диагонали — это хорды окружности. Каждый его угол является вписанным углом (рис. 335).

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Стороны описанного многоугольника являются касательными к окружности, а его диагонали — секущими (рис. 336).

1. Геометрическая фигура называется простой, если её можно разбить на конечное количество треугольников. Многоугольник — это простая фигура (см. рис. 330 и 331), а окружность не является простой фигурой (рис. 337). Даже вписав в окружность многоугольник с очень большим количеством сторон, мы только приблизим его контур к окружности. Поэтому в геометрии длину окружности и площадь круга находят другими методами, чем периметр и площадь многоугольника.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

2. У вас может возникнуть вопрос: Всегда ли из равенства сторон многоугольника следует равенство его углов и наоборот? Нет, это свойство лишь треугольника. Вы знаете пример четырёхугольника, в котором все стороны равны, а углы — не равны. Это ромб. В прямоугольнике все углы равны, а вот стороны — нет. Среди многоугольников с большим количеством вершин также можно выделить равносторонние многоугольники, в которых не все углы равны (рис. 338), и равноугольные многоугольники, в которых не все стороны равны

Понятие площади

Многоугольник разбивает плоскость на две области — внутреннюю (рис. 345) и внешнюю (рис. 346). Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Многоугольник вместе с его внутренней областью называется плоским многоугольником.

Каждый плоский многоугольник (например, многоугольник F на рис. 347) занимает часть плоскости. Если эту часть плоскости выразить некоторым числом, то получим площадь многоугольника. Далее будем говорить «площадь многоугольника», имея в виду, что многоугольник -плоский. Это относится и к другим плоским фигурам.

Площадь обозначают буквой S. Иногда указывают название фигуры, например Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике, а для нескольких фигур — индексы, например Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеи т. д.

На рисунке 348 фигуры Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеравны, поскольку совмещаются наложением. Понятно, что они имеют равные площади. Можем записать: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике. Для измерения площади фигуры выбирают единицу измерения. Для этого используют квадрат, со стороной равной единице измерения длины. Площадь квадрата со стороной 1 см — это единица измерения площади в квадратных сантиметрах, со стороной 1 м — в квадратных метрах и т. д. Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Единицы измерения площади кратко записываем так: 1 см2, а говорим: «один квадратный сантиметр». Говорить «сантиметр в квадрате» -неправильно!

Некоторые единицы измерения площади имеют специальные названия: ар (квадрат со стороной 10м), гектар (квадрат со стороной 100 м) и т. д.

На рисунке 349 вы видите квадрат ABCD со стороной 2 см. Он состоит из четырёх квадратов площадью 1 см2, поэтому его площадь равна 4 см2.

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольникеФормула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Можем записать: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Ясно, что площадь любой фигуры выражается положительным числом. Изменится ли площадь квадрата ABCD, если за единицу измерения принять 1 мм2? Нет, площадь квадрата не изменится, но будет выражена иначе: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

На рисунке 350 длина стороны квадрата KLMN равна 2,5 см. Он вмещает четыре квадрата площадью 1 см2 и ещё 9 маленьких квадратов площадью 0,25 см2. Поэтому Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике= 4 + 9 • 0,25 = 6,25 (см2).

Ясно, что площадь любой фигуры равна сумме площадей частей, из которых она состоит.

Из предыдущих классов вы знаете, что площадь квадрата со стороной а можно вычислить иначе — по формуле площади квадрата:

Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Для квадратов ABCD и KLMN получим: Формула сколько окружностей поместится в прямоугольнике

Поскольку 4 см2

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2Скачать

Формулы радиусов описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника 2

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

ВСЕ правила и формулы ПЛАНИМЕТРИИСкачать

ВСЕ правила и формулы ПЛАНИМЕТРИИ

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.

Объём цилиндраСкачать

Объём цилиндра

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь кругаСкачать

6 класс, 3 урок, Длина окружности и площадь круга

Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга

R и r для квадрата. Как вывести формулы радиуса вписанной и описанной окружностей для квадрата.Скачать

R и r для квадрата. Как вывести формулы радиуса вписанной и описанной окружностей для квадрата.

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy
Поделиться или сохранить к себе: