Формула эйлера для треугольника

Формула Эйлера.

В треугольнике OI 2 =R 2 -2Rr , где I — точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), O — центр описанной окружности, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Формула эйлера для треугольника

Доказательство:

Пусть AM — хорда описанной окружности, проходящая через точку I.

Тогда по теореме о пересекающихся хордах: AI·IM=(R+OI)(R-OI).

Из треугольника AIH по определению синуса: AI=r/sin(α/2).

Из треугольника MAC по теореме синусов и лемме о трезубце: CM=2Rsin(α/2)=IM.

Подставим полученные равенства в AI·IM=(R+OI)(R-OI):

r/sin(α/2)·2Rsin(α/2)= R 2 -OI 2

Следовательно, OI 2 =R 2 -2Rr.

Видео:#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0Скачать

#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0

МАТЕМАТИКА

Формула эйлера для треугольника

Формула Эйлера

Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

Радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

Формула эйлера для треугольника

В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то Формула эйлера для треугольника.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка Формула эйлера для треугольника– центр вписанной окружности. Будем считать пока, что Формула эйлера для треугольника(рисунок 1). Проведем биссектрисы Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникауглов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника. Пусть P и Q – точки пересечения прямой Формула эйлера для треугольникас описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд Формула эйлера для треугольника, или

Формула эйлера для треугольника

Заметим теперь, что поскольку Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника– биссектрисы углов А и В, то Формула эйлера для треугольника, а Формула эйлера для треугольника. Следовательно,

Формула эйлера для треугольника

Поэтому треугольник Формула эйлера для треугольникаравнобедренный: Формула эйлера для треугольника. Таким образом, соотношение можно переписать так:

Формула эйлера для треугольника

Проведем теперь диаметр Формула эйлера для треугольникаописанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникаподобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и Формула эйлера для треугольника), поэтому

Формула эйлера для треугольника

Откуда Формула эйлера для треугольника. Подставив это выражение, получим

Формула эйлера для треугольника

В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна Формула эйлера для треугольника, а значит, этот треугольник равносторонний.

Поэтому Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника, и, следовательно, Формула эйлера для треугольника. Теорема доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:

Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.

Теорема Птолемея

В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна Формула эйлера для треугольника. Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:

Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство.

Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что Формула эйлера для треугольника.

На диагонали АС возьмем такую точку М, что Формула эйлера для треугольника. Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам ( Формула эйлера для треугольникапо построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, Формула эйлера для треугольника, откуда Формула эйлера для треугольника, или Формула эйлера для треугольника(1).

Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как Формула эйлера для треугольника, а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , Формула эйлера для треугольника, откуда Формула эйлера для треугольника, или Формула эйлера для треугольника(2).

Сложив равенства (1) и (2), получим Формула эйлера для треугольника, или Формула эйлера для треугольника, что и требовалось доказать.

Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.

Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Рекомендую далее изучить тему «Вневписанные окружности».

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Видео:Формула Эйлера | Лемма о трезубце | Дополнительные главы школьной геометрииСкачать

Формула Эйлера | Лемма о трезубце | Дополнительные главы школьной геометрии

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Формула эйлера для треугольникагде Формула эйлера для треугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Формула эйлера для треугольникагде R — радиус описанной окружности Формула эйлера для треугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Формула эйлера для треугольника

Найдем радиус Формула эйлера для треугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Формула эйлера для треугольникаПо свойству касательной Формула эйлера для треугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Формула эйлера для треугольника(по острому углу) следуетФормула эйлера для треугольникаТак как Формула эйлера для треугольникато Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Формула эйлера для треугольника

Видео:06. Формула ЭйлераСкачать

06. Формула Эйлера

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Формула эйлера для треугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Формула эйлера для треугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формула эйлера для треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формула эйлера для треугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Формула эйлера для треугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Формула эйлера для треугольникаи по свойству касательной к окружности Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Формула эйлера для треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Формула эйлера для треугольникагде Формула эйлера для треугольника— полупериметр треугольника, Формула эйлера для треугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Формула эйлера для треугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Формула эйлера для треугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Формула эйлера для треугольникаРадиусы Формула эйлера для треугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Формула эйлера для треугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Формула эйлера для треугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Формула эйлера для треугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Формула эйлера для треугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Формула эйлера для треугольника
Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формула эйлера для треугольника(см. рис. 95) Формула эйлера для треугольникаиз Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Формула эйлера для треугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Формула эйлера для треугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольника
Ответ: Формула эйлера для треугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Формула эйлера для треугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Формула эйлера для треугольникато получится пропорция Формула эйлера для треугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Формула эйлера для треугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Формула эйлера для треугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Формула эйлера для треугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Формула эйлера для треугольникапо теореме Пифагора Формула эйлера для треугольника(см), откуда Формула эйлера для треугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Формула эйлера для треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Формула эйлера для треугольника— общий) следует:Формула эйлера для треугольника. Тогда Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Формула эйлера для треугольника(см. рис. 97) Формула эйлера для треугольника, из Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Формула эйлера для треугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Формула эйлера для треугольника‘ откуда Формула эйлера для треугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Формула эйлера для треугольника). Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольникаИз формулы площади треугольника Формула эйлера для треугольникаследует: Формула эйлера для треугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Формула эйлера для треугольникаего вписанной окружности.

Формула эйлера для треугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Формула эйлера для треугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Формула эйлера для треугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Формула эйлера для треугольникаИз Формула эйлера для треугольника, откуда Формула эйлера для треугольника.
В Формула эйлера для треугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Формула эйлера для треугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Формула эйлера для треугольника. Откуда

Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Ответ: Формула эйлера для треугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Формула эйлера для треугольникато Формула эйлера для треугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Формула эйлера для треугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Формула эйлера для треугольникаразделить на Формула эйлера для треугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Формула эйлера для треугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Формула эйлера для треугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Формула эйлера для треугольникагде с — гипотенуза.

Формула эйлера для треугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Формула эйлера для треугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Формула эйлера для треугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Формула эйлера для треугольника, где Формула эйлера для треугольника— искомый радиус, Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника— катеты, Формула эйлера для треугольника— гипотенуза треугольника.

Формула эйлера для треугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Формула эйлера для треугольникаи гипотенузой Формула эйлера для треугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Формула эйлера для треугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Формула эйлера для треугольника. Тогда Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Формула эйлера для треугольникаНо Формула эйлера для треугольника, т. е. Формула эйлера для треугольника, откуда Формула эйлера для треугольника

Следствие: Формула эйлера для треугольника где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Формула эйлера для треугольника

Формула Формула эйлера для треугольникав сочетании с формулами Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Формула эйлера для треугольникаНайти Формула эйлера для треугольника.

Решение:

Так как Формула эйлера для треугольникато Формула эйлера для треугольника
Из формулы Формула эйлера для треугольникаследует Формула эйлера для треугольника. По теореме Виета (обратной) Формула эйлера для треугольника— посторонний корень.
Ответ: Формула эйлера для треугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Формула эйлера для треугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Формула эйлера для треугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Формула эйлера для треугольника— квадрат, то Формула эйлера для треугольника
По свойству касательных Формула эйлера для треугольника
Тогда Формула эйлера для треугольникаПо теореме Пифагора

Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Следовательно, Формула эйлера для треугольника
Радиус описанной окружности Формула эйлера для треугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Формула эйлера для треугольниказначения Формула эйлера для треугольникаполучим Формула эйлера для треугольникаПо теореме Пифагора Формула эйлера для треугольника, т. е. Формула эйлера для треугольникаТогда Формула эйлера для треугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Формула эйлера для треугольникарадиус вписанной в него окружности Формула эйлера для треугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Формула эйлера для треугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Формула эйлера для треугольникавписанной окружности, Формула эйлера для треугольника— высота Формула эйлера для треугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Формула эйлера для треугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Формула эйлера для треугольникаравна сумме удвоенной площади Формула эйлера для треугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Формула эйлера для треугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Формула эйлера для треугольникаследует Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольникаВозведем части равенства в квадрат: Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникаТак как Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Формула эйлера для треугольникаследует, что Формула эйлера для треугольникаИз формулы Формула эйлера для треугольникаследует, что Формула эйлера для треугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Видео:Формула Эйлера: объяснение | Самая красивая формула математики – Алексей Савватеев | ЛекцииСкачать

Формула Эйлера: объяснение | Самая красивая формула математики – Алексей Савватеев | Лекции

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Формула эйлера для треугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Формула эйлера для треугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Формула эйлера для треугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольникаАналогично доказывается, что Формула эйлера для треугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Формула эйлера для треугольникато около него можно описать окружность.

Формула эйлера для треугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Формула эйлера для треугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Формула эйлера для треугольникаили внутри нее в положении Формула эйлера для треугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Формула эйлера для треугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Формула эйлера для треугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Формула эйлера для треугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Формула эйлера для треугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Формула эйлера для треугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Формула эйлера для треугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Формула эйлера для треугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Формула эйлера для треугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Формула эйлера для треугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Формула эйлера для треугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Формула эйлера для треугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Формула эйлера для треугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Формула эйлера для треугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Формула эйлера для треугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Формула эйлера для треугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Формула эйлера для треугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольникаИскомый радиус вписанной окружности Формула эйлера для треугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Формула эйлера для треугольниканайдем площадь данного ромба: Формула эйлера для треугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Формула эйлера для треугольникаПоскольку Формула эйлера для треугольника(см), то Формула эйлера для треугольникаОтсюда Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольника(см).

Ответ: Формула эйлера для треугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Формула эйлера для треугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Формула эйлера для треугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Формула эйлера для треугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Формула эйлера для треугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Формула эйлера для треугольникаТогда Формула эйлера для треугольникаПо свойству описанного четырехугольника Формула эйлера для треугольникаОтсюда Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникаТак как Формула эйлера для треугольникакак внутренние односторонние углы при Формула эйлера для треугольникаи секущей CD, то Формула эйлера для треугольника(рис. 131). Тогда Формула эйлера для треугольника— прямоугольный, радиус Формула эйлера для треугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Формула эйлера для треугольникаили Формула эйлера для треугольникаВысота Формула эйлера для треугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Формула эйлера для треугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Формула эйлера для треугольникато Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Формула эйлера для треугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Формула эйлера для треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Формула эйлера для треугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Формула эйлера для треугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Формула эйлера для треугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Формула эйлера для треугольникато Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольникат. е. Формула эйлера для треугольника. После преобразований получим: Формула эйлера для треугольникаАналогично: Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольника
Ответ: Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Замечание. Если Формула эйлера для треугольника(рис. 141), то Формула эйлера для треугольника Формула эйлера для треугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Формула эйлера для треугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Формула эйлера для треугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Формула эйлера для треугольникаПусть в трапеции ABCD основания Формула эйлера для треугольника— боковые стороны, Формула эйлера для треугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Формула эйлера для треугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Формула эйлера для треугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольникаОтсюда Формула эйлера для треугольникаОтвет: Формула эйлера для треугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Формула эйлера для треугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Формула эйлера для треугольникаи радиусом Формула эйлера для треугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Формула эйлера для треугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Формула эйлера для треугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Формула эйлера для треугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Формула эйлера для треугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Формула эйлера для треугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Формула эйлера для треугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Формула эйлера для треугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Формула эйлера для треугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Формула эйлера для треугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Формула эйлера для треугольника— соответствующие линейные элемен­ты Формула эйлера для треугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Пример:

Пусть Формула эйлера для треугольника(см. рис. 148). Найдем Формула эйлера для треугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Формула эйлера для треугольникаотсюда Формула эйлера для треугольника
Ответ: Формула эйлера для треугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Формула эйлера для треугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Формула эйлера для треугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Формула эйлера для треугольника, и Формула эйлера для треугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаФормула эйлера для треугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Формула эйлера для треугольникагде b — боковая сторона, Формула эйлера для треугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Формула эйлера для треугольникаРадиус вписанной окружности Формула эйлера для треугольникаТак как Формула эйлера для треугольникато Формула эйлера для треугольникаИскомое расстояние Формула эйлера для треугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Формула эйлера для треугольника

Формула эйлера для треугольникаоткуда Формула эйлера для треугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Формула эйлера для треугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Формула эйлера для треугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Формула эйлера для треугольникагде Формула эйлера для треугольника— полупериметр, Формула эйлера для треугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Формула эйлера для треугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Формула эйлера для треугольника— центр окружности, описанной около треугольника Формула эйлера для треугольника, поэтому Формула эйлера для треугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формула эйлера для треугольникасуществует точка Формула эйлера для треугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Формула эйлера для треугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника— ее радиусами.

Формула эйлера для треугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Формула эйлера для треугольника. Проведем серединные перпендикуляры Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникасторон Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникасоответственно. Пусть точка Формула эйлера для треугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Формула эйлера для треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Формула эйлера для треугольника, то Формула эйлера для треугольника. Так как точка Формула эйлера для треугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Формула эйлера для треугольника, то Формула эйлера для треугольника. Значит, Формула эйлера для треугольникаФормула эйлера для треугольника, т. е. точка Формула эйлера для треугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Формула эйлера для треугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Формула эйлера для треугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Формула эйлера для треугольника, отрезки Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Формула эйлера для треугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Формула эйлера для треугольникасуществует точка Формула эйлера для треугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Формула эйлера для треугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Формула эйлера для треугольника.

Формула эйлера для треугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Формула эйлера для треугольника. Проведем биссектрисы углов Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника— точка их пересечения. Так как точка Формула эйлера для треугольникапринадлежит биссектрисе угла Формула эйлера для треугольника, то она равноудалена от сторон Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Формула эйлера для треугольникапринадлежит биссектрисе угла Формула эйлера для треугольника, то она равноудалена от сторон Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника. Следовательно, точка Формула эйлера для треугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Формула эйлера для треугольника, где Формула эйлера для треугольника— радиус вписанной окружности, Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника— катеты, Формула эйлера для треугольника— гипотенуза.

Формула эйлера для треугольника

Решение:

В треугольнике Формула эйлера для треугольника(рис. 302) Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольника, точка Формула эйлера для треугольника— центр вписанной окружности, Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Формула эйлера для треугольника, Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольникасоответственно.

Отрезок Формула эйлера для треугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Формула эйлера для треугольника.

Так как точка Формула эйлера для треугольника— центр вписанной окружности, то Формула эйлера для треугольника— биссектриса угла Формула эйлера для треугольникаи Формула эйлера для треугольника. Тогда Формула эйлера для треугольника— равнобедренный прямоугольный, Формула эйлера для треугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Формула эйлера для треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

Что такое формула Эйлера для комплексных чисел? Душкин объяснитСкачать

Что такое формула Эйлера для комплексных чисел? Душкин объяснит

Формула ЭйлераСкачать

Формула Эйлера

#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущихСкачать

#234. Формула Эйлера | Свойства отрезков хорд и секущих

✓ Формула Эйлера для графов и многогранников за 8 минут | Ботай со мной #103 | Борис ТрушинСкачать

✓ Формула Эйлера для графов и многогранников за 8 минут | Ботай со мной #103 | Борис Трушин

Формула ЭйлераСкачать

Формула Эйлера

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)Скачать

#205. Формула Эйлера для плоских графов: В-Р+Г=2 | Платоновы тела (feat. Борис Трушин)

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Формула ЭйлераСкачать

Формула Эйлера

Гиперболические функции и формула ЭйлераСкачать

Гиперболические функции и формула Эйлера

[Calculus | глава 5] Что особенного в числе Эйлера?Скачать

[Calculus | глава 5] Что особенного в числе Эйлера?

#225. КВАТЕРНИОНЫ и углы ЭйлераСкачать

#225. КВАТЕРНИОНЫ и углы Эйлера

Формула Леонарда Эйлера всегда равна 2 #shortsСкачать

Формула Леонарда Эйлера всегда равна 2 #shorts

Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?Скачать

Тригонометрическое уравнение: cos(z)=2, а при чём тут формула Эйлера?
Поделиться или сохранить к себе: