Формула для вычисления дуги окружности

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
Формула для вычисления дуги окружностиОсновные определения и свойства. Число π
Формула для вычисления дуги окружностиФормулы для площади круга и его частей
Формула для вычисления дуги окружностиФормулы для длины окружности и ее дуг
Формула для вычисления дуги окружностиПлощадь круга
Формула для вычисления дуги окружностиДлина окружности
Формула для вычисления дуги окружностиДлина дуги
Формула для вычисления дуги окружностиПлощадь сектора
Формула для вычисления дуги окружностиПлощадь сегмента

Формула для вычисления дуги окружности

Видео:ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьФормула для вычисления дуги окружности
ДугаФормула для вычисления дуги окружности
КругФормула для вычисления дуги окружности
СекторФормула для вычисления дуги окружности
СегментФормула для вычисления дуги окружности
Правильный многоугольникФормула для вычисления дуги окружности
Формула для вычисления дуги окружности
Окружность
Формула для вычисления дуги окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаФормула для вычисления дуги окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругФормула для вычисления дуги окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторФормула для вычисления дуги окружности

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментФормула для вычисления дуги окружности

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникФормула для вычисления дуги окружности

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Формула для вычисления дуги окружности

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Формула для вычисления дуги окружности

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Формулы для площади круга и его частей

Формула для вычисления дуги окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаФормула для вычисления дуги окружности
Площадь сектораФормула для вычисления дуги окружности
Площадь сегментаФормула для вычисления дуги окружности
Площадь круга
Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораФормула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаФормула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в радианах

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиФормула для вычисления дуги окружности
Длина дугиФормула для вычисления дуги окружности
Длина окружности
Формула для вычисления дуги окружности

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиФормула для вычисления дуги окружности

если величина угла α выражена в радианах

Формула для вычисления дуги окружности,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Длина окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Формула для вычисления дуги окружности

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Формула для вычисления дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Формула для вычисления дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Формула для вычисления дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Формула для вычисления дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Формула для вычисления дуги окружности

Видео:Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Формула для вычисления дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Формула для вычисления дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Формула для вычисления дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Формула для вычисления дуги окружности

из которой вытекает равенство:

Формула для вычисления дуги окружности

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Формула для вычисления дуги окружности

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Длина дуги

На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности — через радиус и угол между ними и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькуляторов, которые используют эти формулы.

Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.

Видео:Вычисление формулы длины окружностиСкачать

Вычисление формулы длины окружности

Длина дуги окружности — формула, обозначение, примеры расчета

Формула для вычисления дуги окружности

Видео:Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Необходимость расчётов

Геометрическими формулами, связанными с подсчетом площади сектора, объема сегмента и периметра полукруга, следует виртуозно владеть людям, связавшим свою жизнь со строительством или благоустройством территорий. Чтобы обновить после зимы элементы архитектуры городского парка и закрасить дефекты абстрактных скульптур, не нужно вспоминать сложные уравнения, достаточно применить знание геометрических формул.

К примеру, для правильного нахождения веса декоративного камня, предназначенного для окантовки части клумбы, нужно уметь быстро посчитать размер полуокружности на поверхности ландшафта. Затем необходимо определиться с ценой и принять решение, какой камень можно покупать с учетом сметы. Аналогичная задача возникает при строительстве альпийской горки. Тяжесть камня обеспечит круговую укладку, это свойство позволит высадить декоративные растения в запланированных местах сечения, придав конструкции форму трапеции.

Что представляет собой часть клумбы? Это сектор геометрической фигуры. Внешняя его часть — окантовка клумбы — чаще всего представляет собой дугу окружности. Существует две методики вычисления этой величины:

  • градусная (с привязкой к центральному углу);
  • по формуле Гюйгенса (с использованием хорды).

Определение методики расчета в полевых условиях зависит от наличия инструментов и особенностей рельефа местности. Но сначала немного теории. Дугой называют часть окружности, расположенную между двумя произвольными точками, находящимися на ней.

Для удобства рассмотрим пример с двумя точками A и B, расположенными на окружности на небольшом расстоянии друг от друга. Они делят её на 2 части — большую и меньшую. Каждая из них называется дугой окружности.

Видео:Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Окружность. Круг. 5 класс.

Градусная мера

Длина дуги между точками окружности является функцией центрального угла, образованного радиусами круга (см. рисунок) в прямо пропорциональной зависимости. На этом основана градусная мера.

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

За 1° дуги принимают часть окружности.

Формула для вычисления дуги окружности

Формула для вычисления дуги окружности

Поскольку L равна , то развернутому углу 180° будет соответствовать длина дуги .

Формула для вычисления дуги окружности

Если значение угла равно 1°, формула выглядит так: .

Формула для вычисления дуги окружности

Следовательно, формула длины дуги окружности с центральным углом n° будет выражаться следующим образом: .

Определим значение l для угла 120° с радиусом, равным 5 мм: l=3,14*30*5/180=2,62 мм.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Применение хорды и высоты

Формула для вычисления дуги окружности

Существует методика расчета длины дуги по хорде и высоте перпендикуляра. Она получила название формулы Гюйгенса. Хорда представляет собой часть прямой, расположенной внутри окружности. Проходящая через центр хорда называется диаметром.

Формулу Гюйгенса применяют, если центральный угол меньше 60 градусов. Для проведения вычислений необходимо сначала соединить точки окружности прямой линией. Это будет хорда. Далее нужно провести перпендикуляр из ее середины, а из точки соприкосновения перпендикуляра с дугой начертить две прямые линии к концам хорды.

Получился равнобедренный треугольник, стороны которого обозначим l , а саму хорду назовем L . Для углов более 60 градусов формулу Гюйгенса не стоит использовать, поскольку при расчетах может возникнуть ошибка. Чем больше угол, тем значительней будет погрешность.

Формула для вычисления дуги окружности

Замерив хорды L и l, можно получить значение дуги, обозначенной на рисунке синим цветом. Если L равна 30 мм, а l — 20 мм, то Р=2*20+3,33=43,33 мм.

Теперь, когда существует понимание методики расчета, можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Этот инструмент хорош для проверки полученного экспериментальным путем результата, особенно при обработке большого количества данных, когда необходимо быстро получить ответ.

Онлайн-калькулятор позволяет сохранять полученные значения в буферной памяти компьютера. Оформить данные в виде произвольной таблицы или графика в системе координат не составит труда. Длина дуги окружности по онлайн-калькулятору считается с использованием любой из двух формул: либо по градусной мере, либо по хорде и высоте. Образно говоря, эти формулы являются синонимами, они взаимозаменяемы.

Видео:Длина дуги окружностиСкачать

Длина дуги окружности

Практика с задачами

Нужно сказать несколько слов об изучении геометрии в средних классах общеобразовательной школы. Существует категория учащихся, для которых формулы сложны для восприятия. Таким ученикам требуется наглядный материал.

На уроке геометрии при изучении материала по вычислениям параметров окружности можно провести практическое занятие. Для этого следует предварительно подготовиться: сделать небольшой чертеж-проекцию гимнастического кольца. Цель занятия — научиться использовать формулы в процессе работы. Ход урока:

Формула для вычисления дуги окружности

  1. Попросить дежурного ученика принести из спортивного зала гимнастическое кольцо (хула-хуп) небольшого диаметра.
  2. Отметить фломастером или цветным мелком 3 точки на наружной стороне кольца. После этого оно окажется поделенным на несколько секторов.
  3. Сделать проекцию кольца на школьной доске с нанесенными точками. На чертеже обозначить центр круга, провести диаметр. Затем нужно соединить отмеченные на окружности точки радиусами с центром круга и хордами между собой.
  4. Провести все замеры. Получить значения всех параметров и записать на доске. Её предварительно разделить на две части: в центре, доступном для обзора, будут значения центральных углов АОВ и ВОС, диаметр, длина прямых линий АВ, ВС и АС.
  5. Ответы (искомые значения) записать в правой части доски и прикрыть шторкой до момента окончания практического занятия.

Далее следует разделить класс на 4 небольших группы. Каждой из них нужно дать задание по проведению вычислений с использованием изученных формул.

  • группа №1 вычисляет длину дуги между точками А и В, используя градусную меру центрального угла АОВ;
  • вторая группа получает аналогичное задание для отрезка между точками В и С;
  • третья группа вычисляет искомый параметр между точками А и С, используя длину хорды АС и вспомогательных линий АВ и ВС;
  • группа №4 работает с точками А и С, применяя значения угла АОС.

На выполнение задания отводится 12 минут. После истечения времени от каждой из четырех групп выходит ученик, поясняет формулу и записывает на доске полученный результат. Эти ответы сравниваются с уже готовыми замерами, записанными ранее на правой стороне доски.

Следующие 7 минут урока отводятся на обсуждение полученного результата и анализа возникновения погрешности.

Видео:Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. Практическая часть. 9 класс.

Усложнение формулы

Формула для вычисления дуги окружности

Группе продвинутых учеников предлагается задание «Как изменить градусную формулу?». Можно ли найти значение радиуса, используя другие геометрические выражения, например, представить его как половину диаметра круга? В этом случае формулы будет выглядеть следующим образом: r=1/2d, тогда l= πd/360*n.

Если использовать формулу вычисления площади круга и выразить радиус через неё, тогда можно получить s=πr 2 .

Обозначаться радиус будет интересно — в виде производной квадратного корня. Вывести формулу нетрудно, это станет прекрасной ментальной гимнастикой для учащихся.

Базовая цель уроков математики — развитие аналитического мышления учащихся достигается в процессе обсуждения и сравнения различных методик расчета. В качестве дополнительного задания можно предложить ученикам посчитать значение кривой линии наружного края школьной клумбы. Затем следует попросить обосновать свои расчеты.

Использование наглядности поможет учащимся подружиться с формулами, увидеть роль геометрии в повседневной практической жизни и облегчить усвоение конкретного материала.

🔥 Видео

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину дуги окружности центрального угла. Геометрия 8-9 класс

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Как выводится формула длины дуги окружности?Скачать

Как выводится формула длины дуги окружности?

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: