Формула длины окружности запись вывод

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Длина окружности обозначается буквой C и вычисляется по формуле:

C = 2πR,
где Rрадиус окружности.

Содержание
  1. Вывод формулы, выражающей длину окружности
  2. Длина дуги окружности
  3. Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
  4. Основные определения и свойства
  5. Формулы для площади круга и его частей
  6. Формулы для длины окружности и её дуг
  7. Площадь круга
  8. Длина окружности
  9. Длина дуги
  10. Площадь сектора
  11. Площадь сегмента
  12. Длина окружности
  13. Как найти длину окружности через диаметр
  14. Как найти длину окружности через радиус
  15. Как вычислить длину окружности через площадь круга
  16. Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
  17. Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
  18. Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
  19. Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
  20. Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
  21. Задачи для решения

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Вывод формулы, выражающей длину окружности

Путь C и C’ — длины окружностей радиусов R и R’. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Pn и P’n их периметры, а через an и a’n их стороны. Используя формулу для вычисления стороны правильного n-угольника an = 2R sin (180°/n) получаем: Pn = n · an = n · 2R sin (180°/n), P’n = n · a’n = n · 2R’ sin (180°/n). Следовательно, Pn / P’n = 2R / 2R’. (1) Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Pn → C, P’n → C’, n → ∞, то предел отношения Pn / P’n равен C / C’. С другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R / 2R’. Таким образом, C / C’ = 2R / 2R’. Из этого равенства следует, что C / 2R = C’ / 2R’, т. е. отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»). Из равенства C / 2R = π получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R: С = 2πR.

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Длина дуги окружности

Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина l дуги в 1° равна 2πR / 360 = πR / 180. Поэтому длина l дуги окружности с градусной мерой α выражается формулой l = (πR / 180) · α.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Формула длины окружности запись выводОсновные определения и свойства. Число π
Формула длины окружности запись выводФормулы для площади круга и его частей
Формула длины окружности запись выводФормулы для длины окружности и ее дуг
Формула длины окружности запись выводПлощадь круга
Формула длины окружности запись выводДлина окружности
Формула длины окружности запись выводДлина дуги
Формула длины окружности запись выводПлощадь сектора
Формула длины окружности запись выводПлощадь сегмента

Формула длины окружности запись вывод

Видео:Вычисление формулы длины окружностиСкачать

Вычисление формулы длины окружности

Основные определения и свойства

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

ФигураРисунокОпределения и свойства
ОкружностьФормула длины окружности запись вывод
ДугаФормула длины окружности запись вывод
КругФормула длины окружности запись вывод
СекторФормула длины окружности запись вывод
СегментФормула длины окружности запись вывод
Правильный многоугольникФормула длины окружности запись вывод
Формула длины окружности запись вывод
Окружность
Формула длины окружности запись вывод

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

ДугаФормула длины окружности запись вывод

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

КругФормула длины окружности запись вывод

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

СекторФормула длины окружности запись вывод

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

СегментФормула длины окружности запись вывод

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольникФормула длины окружности запись вывод

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Формула длины окружности запись вывод

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Определение 1 . Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Определение 2 . Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

Замечание 1 . Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

Определение 3 . Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

Замечание 2 . Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

Формула длины окружности запись вывод

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Видео:Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга

Формулы для площади круга и его частей

Формула длины окружности запись вывод,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Площадь кругаФормула длины окружности запись вывод
Площадь сектораФормула длины окружности запись вывод
Площадь сегментаФормула длины окружности запись вывод
Площадь круга
Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектораФормула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегментаФормула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в радианах

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристикаРисунокФормула
Длина окружностиФормула длины окружности запись вывод
Длина дугиФормула длины окружности запись вывод
Длина окружности
Формула длины окружности запись вывод

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Длина дугиФормула длины окружности запись вывод

если величина угла α выражена в радианах

Формула длины окружности запись вывод,

если величина угла α выражена в градусах

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Площадь круга

Рассмотрим две окружности с общим центром ( концентрические окружности ) и радиусами радиусами 1 и R , в каждую из которых вписан правильный n – угольник (рис. 1).

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1 .

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1 , стремится к π , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R , стремится к числу πR 2 .

Таким образом, площадь круга радиуса R , обозначаемая S , равна

Видео:Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга

Длина окружности

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C , мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

Формула длины окружности запись вывод

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Следствие . Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Формула длины окружности запись вывод

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Формула длины окружности запись вывод

из которой вытекает равенство:

Формула длины окружности запись вывод

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Формула длины окружности запись вывод

из которой вытекает равенство:

Формула длины окружности запись вывод

Видео:Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Формула длины окружности запись вывод

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

Формула длины окружности запись вывод

из которой вытекает равенство:

Формула длины окружности запись вывод

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

Формула длины окружности запись вывод

из которой вытекает равенство:

Формула длины окружности запись вывод

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№23 - Длина окружности.)

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Формула длины окружности запись вывод

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

Формула длины окружности запись вывод

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Длина окружности

Формула длины окружности запись вывод

О чем эта статья:

6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия Атанасян

Как найти длину окружности через диаметр

Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:

π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14

d — диаметр окружности

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Как найти длину окружности через радиус

Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:

π — число пи, примерно равное 3,14

r — радиус окружности

Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.

Видео:Площадь круга. Вывод формулы.Скачать

Площадь круга. Вывод формулы.

Как вычислить длину окружности через площадь круга

Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:

Формула длины окружности запись вывод

π — число пи, примерно равное 3,14

S — площадь круга

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

5 класс, 22 урок, Окружность и круг

Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника

Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:

π — число пи, примерно равное 3,14

d — диагональ прямоугольника

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата

Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона квадрата

Видео:Окружность Круг Формулы длины окружности и площади 1Скачать

Окружность  Круг Формулы длины окружности и площади 1

Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника

Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:

Формула длины окружности запись вывод

π — математическая константа, она примерно равна 3,14

a — первая сторона треугольника

b — вторая сторона треугольника

c — третья сторона треугольника

S — площадь треугольника

Видео:Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Практическая часть - решение задачи. 6 класс.

Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника

Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.

Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.

Формула длины окружности запись вывод

π — математическая константа, примерно равная 3,14

S — площадь треугольника

p — полупериметр треугольника

Видео:Формулы длины окружности и площади круга. 6 класс .Скачать

Формулы длины окружности и площади круга. 6 класс .

Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника

Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.

Формула вычисления длины окружности:
Формула длины окружности запись вывод

π — математическая константа, примерно равная 3,14

a — сторона многоугольника

N — количество сторон многоугольника

Задачи для решения

Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:

Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.

Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:

Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна

Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм

Решение. Радиус окружности равен Формула длины окружности запись выводПодставим туда наши переменные и получим Формула длины окружности запись вывод

Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.

Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.

Поделиться или сохранить к себе: