Физический смысл собственных векторов (7 видео)

От действий над матрицами к пониманию их сути…

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше.

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

~~Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать.~~ Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Содержание

Линейная алгебра
Собственные значения и собственные векторы
Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)
Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы
Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)
Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)
🌟 Видео

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Линейная алгебра

Искусство использования матриц и векторов для решения задач физики

Видео:Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Собственные значения
и собственные векторы

Одно из наиболее важных применений линейной алгебры в физике – это собственные значения и собственные векторы. Они есть в математической физике, классической механике, квантовой механике, численном анализе. В применении к матрицам задача о собственных значениях выглядит так.

Дана квадратная матрица A. Какими должны быть векторы x j и числа λ j , чтобы при умножении A на x j получался вектор x j , умноженный на число λ j ?

Существуют ли такие x j и λ j , что можно записать:

Поскольку умножение матрицы на вектор одновременно вращает вектор и умножает его на число, неясно, есть ли решение у этой задачи. Но можно доказать, что в большинстве случаев для матрицы размером есть N таких векторов и значений, которые называются собственными значениями и собственными векторами. Зачастую это комплексные величины, которые, как кажется, не имеют физического смысла, но даже если так, физический смысл с их помощью (или из них) можно получить. Если собственные значения – действительные числа, то собственные векторы обладают очень особым свойством.

Если собственный вектор x j умножается на A, то результат есть вектор, который либо параллелен x j (если λ j положительно), либо противоположно направлен (если λ j отрицательно).

Простая иллюстрация этой идеи:

OК, ясно, что получено «нечто вроде». Обычно нужны числа, а не гигантские абстрактные выражения. Простой путь их получения – ввести в матрицу элементы в виде чисел с плавающей запятой, т. е. с десятичной точкой:

Это намного лучше.

Теперь посмотрим на выдачу.

Из справки Maple help для Eigenvectors :

Первый набор чисел – это вектор-столбец, содержащий числа – собственные значения, а второй набор – это матрица, столбцы которой есть собственные векторы.

Поэтому если нужно получить третье собственное значение, то следует записать:

(Это выглядит странным, но так как v[1] – это вектор-столбец, имеет смысл спрашивать о его третьем элементе [3] .) Теперь нам нужен третий столбец v[2] , это делает команда Maple Column .

Теперь, умножая v3 на A , можно проверить, действительно ли это собственный вектор. Если так, то вернет

Для проверки правильности разделим y на λ 3 и посмотрим, получается ли собственный вектор :

Если в матрице, созданной Eigenvector , сравнить этот вектор с , окажется, что это то же самое с точностью, установленной командой Digits (= 10) для арифметики с плавающей запятой в Maple.

Поверните матрицу Rx из задачи о повороте вектора и найдите ее собственные значения и собственные векторы. Подумайте, что означает вращение и можно ли дать физический смысл ответам, полученным из Maple. При выборе значения theta попробуйте:

(b) θ = ,

(Учтите, что (c) понадобится при изучении спина в квантовой механике.) Хороший способ решить эту задачу – определить матрицу Rx с помощью функции Maple M(θ)

и затем применить ее для вычисления трех матриц в заданиях (a)–(c). (Из-за того, что в Maple10 есть ошибка, не стоит использовать в задаче evalf .)

Если трехкомпонентные векторы поворачиваются матрицей вращения, то матрицы тоже можно вращать. Поворот вектора v – это R*v, а поворот матрицы M – это inv(R)*M*R, где inv(R) означает инверсию матрицы R. В курсах физики и математики про это сказано много. Здесь только краткий пример.

(a) Создайте диагональную матрицу и преобразуйте ее, повернув систему координат с помощью ортонормальной матрицы поворотов:

Назовите новую матрицу M2.

(b) Вычислите собственные значения и собственные векторы матриц M1 и M2. Как их сравнить?

(c) Умножьте с обеих сторон M1 на вектор по правилу: transpose(a)*M1*a , приравняйте получившееся уравнение 4, чтобы создать квадратное уравнение 4x 2 + y 2 + 2z 2 = 4 , и используйте implicitplot3d для его визуализации. Примените в графике опцию axes=boxed. Форма одинаковая, кроме ориентации. Собственные значения M1 обусловлены геометрической шириной соответствующего эллипсоида и не зависят от поворота. Покажите это визуально для M2.

Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства . Ненулевой вектор линейного пространства , удовлетворяющий условию

называется собственным вектором линейного преобразования . Число в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению . Если пространство вещественное (комплексное), то собственное значение — действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования , если его образ коллинеарен прообразу . Другими словами, если — собственный вектор, то преобразование имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор соответствует некоторому собственному значению . Любой вектор из имеет вид , где — любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

Следовательно, для любого вектора , т.е. подпространство инвариантно относительно преобразования . Размерность подпространства равна единице, так как по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Видео:ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. Подготовка к ЕГЭ по математике с Артуром ШарифовымСкачать

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы n-го порядка называется ненулевой числовой столбец , удовлетворяющий условию (7.13):

Число в (9.6) называется собственным значением матрицы . При этом считалось, что собственное значение и числа принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть — линейное преобразование n-мерного линейного пространства с базисом . Тогда собственное значение и координатный столбец собственного вектора преобразования являются собственным значением и собственным вектором матрицы этого преобразования, определенной относительно базиса , т.е.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец и число являются собственным вектором и собственным значением матрицы , причем числа принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство , то вектор и число являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования с матрицей в базисе .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и определены, т.е. числа принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения , где — характеристический многочлен матрицы . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование называется характеристическим для линейного преобразования .

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы и линейного преобразования в базисах и являются, согласно (9.4), подобными: , где — матрица перехода от базиса к базису . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования можно использовать обозначение , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования линейного пространства , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу линейного преобразования n-мерного вещественного линейного пространства в произвольном базисе . Элементы этой матрицы — действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен — это многочлен степени с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если — действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор матрицы также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно подпространство (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если — пара комплексных сопряженных корней , то собственный вектор матрицы также с комплексными элементами: . Его можно представить в виде , где — действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

Выделяя действительную и мнимую части, получаем систему

Покажем, что столбцы и линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если , то из первого уравнения (9.7) следует, что , так как . Тогда , что противоречит условию . Предположим, что и столбцы и пропорциональны, т.е. существует такое действительное число , что . Тогда из системы (9.7) получаем Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на , приходим к равенству . Так как , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. . Поскольку , то . Этого не может быть, так как — действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы и линейно независимы.

Рассмотрим подпространство , где . Это подпространство двумерное, так как векторы линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы линейно независимы). Из (9.7) следует, что т.е. образ любого вектора, принадлежащего , также принадлежит . Следовательно, — двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования , что и требовалось доказать.

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования вещественного линейного пространства следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис линейного пространства и найти в этом базисе матрицу преобразования .

2. Составить характеристический многочлен преобразования .

3. Найти все различные действительные корни характеристического уравнения . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня найти фундаментальную систему решений однородной системы уравнений , где . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования , отвечающие собственному значению

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образовать ненулевые линейные комбинации

где — произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений линейного преобразования .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению , так как .

2. Для тождественного преобразования любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим единичному собственному значению , так как .

3. Для центральной симметрии любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как .

4. Для гомотетии любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению (коэффициенту гомотетии), так как .

5. Для поворота плоскости (при ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению , так как . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор проектирования на подпространство параллельно подпространству . Здесь для . Для этого оператора любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как . Другие векторы не являются собственными, так как равенство возможно либо при , либо при .

8. Рассмотрим оператор отражения на подпространство параллельно подпространству . Здесь , для . Для этого оператора любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению , так как . Другие векторы не являются собственными, так как равенство возможно либо при , либо при .

9. В пространстве радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки , рассмотрим поворот на угол , вокруг оси , заданной радиус-вектором . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору , является собственным, отвечающим собственному значению . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты ):

а) с действительными коэффициентами ;

б) с комплексными коэффициентами .

Решение. 1. Выберем стандартный базис и составим в этом базисе матрицу оператора

2. Составим характеристический многочлен преобразования .

3. Характеристическое уравнение имеет комплексные сопряженные корни . Действительных корней нет, поэтому преобразование вещественного пространства (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование комплексного пространства (случай (б)) имеет комплексные собственные значения .

4(1). Для корня находим фундаментальную систему решений однородной системы уравнений

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на и вычитая его из второго уравнения:

Выражаем базисную переменную через свободную: . Полагая , получаем , т.е. .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные .

4(2). Для корня аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) решений однородной системы уравнений

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению , образуют ненулевые функции, пропорциональные .