Фигура из шести треугольников

Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Геометрические объемные тела

Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:

1. Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
2. Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
3. Любая из осей координат — это результат векторного произведения двух других.

Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:

1. Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань — это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней — это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
2. Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.

Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:

1. Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
2. Наличие у каждой объемной фигуры площади поверхности.

Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.

Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.

Видео:ВПР 6 класс. 12 задание. Фигура симметиичная данной относительно оси.Скачать

Фигура куб: описание

Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и прямоугольной призмой, у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.

Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.

Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a 3 и S = 6*a 2 , соответственно.

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Фигура пирамида

Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.

Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.

Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h». Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a 2 *h/3 и S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 , соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Фигура тетраэдр: описание

Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.

Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a — длина стороны равностороннего треугольника.

Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH₄, в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.

Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Фигура призма

Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.

Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна теорема Эйлера. Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a 2 *h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).

Видео:Виды треугольников. 6 классСкачать

Фигура шар

Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.

Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. Площадь поверхности сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r 2 , а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r 3 /3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).

Видео:Виды треугольниковСкачать

Пирамида из бумаги своими руками. Схемы и способы изготовления

Видео:Виды треугольниковСкачать

Как сделать объемные геометрические фигуры

Дети познают мир в процессе игры и творчества. Трехмерные фигуры, выполненные своими руками, помогут познакомиться с удивительной наукой — геометрией.

Примеры трафаретов и шаблонов можно скачать из Интернета и распечатать. Затем все фигуры вырезают и склеивают. Дети старшего возраста могут самостоятельно нарисовать развертку нужной фигуры, малышам помогают родители,.

Геометрические объекты делают из бумаги (белой или цветной), картона. Из последнего материала они получаются плотными и прочными.

Из бумаги

к оглавлению ^

Из картона

к оглавлению ^

Развертки куба

Треугольника

Прямоугольника

Цилиндра

к оглавлению ^

Ромба

к оглавлению ^

Призмы

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Задание 2 (построение прямоугольного треугольника)

Постройте на нелинованной бумаге треугольник , чтобы угол был прямым, длина стороны равнялась 15 см, а длина сторогы – 20 см.

Построим точку (Рис. 18).

Проведем через точку прямую (Рис. 19).

Рис. 19. Прямая, проведенная через точку

Для построения прямого угла воспользуемся прямоугольным треугольником. Приложим треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой , а одна из сторон совпала с лучом, как показано на рис. 20.

Рис. 20. Построение прямого угла

Проведем по второй стороне прямого угла треугольника луч из точки и получим прямой угол (Рис. 21).

Рис. 21. Полученный прямой угол

Выполним построение сторон треугольника. Построим отрезок , который равен 15 см (Рис. 22).

Построим отрезок , который равен 20 см (Рис. 23).

Соединим полученные точки отрезком . Мы получили прямоугольный треугольник (Рис. 24) с прямым углом и сторонами см и см.

Рис. 24. Треугольник

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Схемы для вырезания

Ученикам 1–2 класса демонстрируют в школе простые геометрические фигуры и 3d: квадрат, кубик, прямоугольник. Их несложно вырезать и склеить. Шаблоны развивают мелкую моторику у детей и дают первые представления о геометрии.

Ученики средней школы, которые изучают черчение, делают сложные фигуры: бумажные шестигранники, фигуры из пятиугольников, цилиндры. Из бумаги для детей выполняют домики для кукол, мебель, оригами, замок для маленьких игрушек, маски на лицо (трехмерные называются полигональными).

Конуса

Пирамиды

Шестигранника

Макета с припусками

к оглавлению ^

Параллелепипеда

Трапеции

Овала

к оглавлению ^

Материал, из чего можно сделать плотный шар — картон или плотная бумага.

Многогранника

Параллелограмма

к оглавлению ^

Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать

Задание 1 (определение вида треугольников)

Назовите номера тупоугольных, остроугольных и прямоугольных треугольников на рисунке 16.

Рис. 16. Иллюстрация к заданию 1

Треугольник номер 1 – остроугольный, у него все углы острые. Треугольники номер 3 и 4 – тупоугольные, каждый из них имеет один тупой угол. Фигура номер 2 – прямоугольный треугольник. Проверим, действительно ли эта фигура имеет прямой угол, с помощью прямоугольного треугольника (Рис. 17).

Рис. 17. Проверка треугольника номер 2

Мы видим, что вершины и стороны прямого угла совпали, значит, угол прямой, а треугольник прямоугольный.

Видео:Математика 6 класс. Треугольник. Виды треугольников. ЕГЭ, ОГЭ, ЦТ, экзаменСкачать

Шаблоны для склеивания

Зачастую школьники задаются вопросом, что можно сделать из бумаги к урокам труда или на выставку. Работы ученика выделятся среди остальных, если это будут сложные трехмерные предметы, рельефные геометрические фигуры, платоновы тела, шаблоны кристаллов и минералов.

Если следовать инструкции, то ученик 5–6 класса сможет без помощи родителей сделать точный додекаэдр или тетраэдр.

Иногда в школе задают логические задания, как из квадрата сделать круг или шестиугольник. Для этого определить центр квадрата, согнув его по диагонали. Точка пересечения прямых — центр квадрата и будущего круга. Исходя из этого, можно начертить круг.

Сложных фигур

к оглавлению ^

к оглавлению ^

Октаэдра

Тетраэдра

Икосаэдра

Додекаэдра

Гексаэдра

к оглавлению ^

Фигурок из треугольников

к оглавлению ^

Видео:Площадь фигурыСкачать

Виды углов

Развернутый угол. (Рис. 4)

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Рис. 4. Виды углов: развернутый

Прямой угол (Рис. 5)

Прямой угол составляет половину развернутого.

Рис. 5. Виды углов: прямой угол

Прямой угол можно получить путем складывания бумаги. Сложив лист дважды, мы получим модель прямого угла, его составляют линии сгиба.

Приложим модель угла к углу на чертеже (Рис. 5) таким образом, чтобы углы и стороны совпали (Рис. 6).

Мы убедились, что на чертеже действительно изображен прямой угол.

Для удобства определения, прямой угол или нет, используют особый инструмент – прямоугольный треугольник (Рис. 7).

Рис. 7. Прямоугольный треугольник

Непрямые углы делятся на острые (Рис. и тупые (Рис. 11).

Рис. 10. Сравнение острого и прямого угла

Рис. 11. Виды углов: тупой угол

Тупой угол больше прямого (Рис. 12).

Рис. 12. Сравнение тупого и прямого угла

Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Макеты из бумаги

Макетирование — увлекательное занятие. Оно помогает развить воображение и логическое мышление. Из бумаги делают не только фигуры, но и необычные скульптуры, статуэтки, шестиугольные–двенадцатиугольные предметы, наклонные объекты (например, Пизанскую башню), карандаши, линейки. На фото и картинках можно посмотреть, как выглядят оригинальные поделки из бумаги.

Школьники младших классов или дошколята делают бумажные объемные поделки. Например, предметы из овала — веер, цветы, гусеницы. Для них потребуются овалы и круги разного диаметра. Раскладки склеиваются между собой, получаются трехмерные игрушки.

Оригами

к оглавлению ^

Животные

к оглавлению ^

Корабль

Применяется множество вариантов, как сделать кораблик из бумаги.

к оглавлению ^

Полигональные чертежи

к оглавлению ^

Игрушки из фигур

к оглавлению ^

Геометрические маски

Карандаш

к оглавлению ^

Видео:Объемные Геометрические ФИГУРЫ Загадки для ДЕТЕЙСкачать

Игра Танграм для дошкольников

Существует множество средств, способов, в том числе игр для развития логического, наглядно-образного мышления у дошкольников. Среди несложных головоломок игра Танграм пользуется большим успехом у дошкольников. Танграм учит детей умению играть по правилам, придумывать геометрические комбинации.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Танграм. История возникновения.

Эта знаменитая головоломка родом из Китая. По легенде ее изобрели учителя сына императора — математик, художник и философ. С помощью увлекательной игры они учили ленивого наследника вычислению и комбинаторному мышлению. Учили постигать красоту образов и познавать сложный мир через простые фигуры. Головоломка представляет собой квадрат из семи геометрических фигур. Передвигая и расставляя фигуры, можно придумать более 6 миллионов композиций. В Китае ее называют «чи – чао – тю». Переводят как «семь дощечек мастерства» или «узор из семи умных частей». В Европе танграм изготавливали из дорогих пород дерева и слоновой кости. Им увлекались многие исторические знаменитости, такие как Наполеон Бонапарт, Томас Хилл, Льюис Кэрролл.

До появления компьютеров и различных электронных игр танграм был популярен наряду с шахматами и домино. В настоящее время танграм чаще используется в детских образовательных учреждениях для развития детей.

Видео:Геометрические фигуры на HTML и CSS // Треугольник стрелка круг трапеция и другиеСкачать

Игра Танграм для дошкольников: цели и задачи

Танграм развивает множество способностей. Одна из целей танграма заключается в обучении детей самостоятельному поиску решения. Складывая фигурки в том или ином порядке, дошкольники пробуют различные варианты, выбирая оптимальную композицию в соответствии с заданными правилами. Магический квадрат, как и другие логические задачи и головоломки, отлично активизирует умственную деятельность, воспитывает характер.

Задачи:

• Развивать у детей память, внимание, мелкую моторику рук, различные виды мышления (логическое, пространственное, образное, конструктивное), сообразительность, воображение,
• Формировать у детей восприятие цвета и формы,
• Научить соблюдать инструкцию и играть по заданным правилам,
• Вырабатывать усидчивость, терпение, как необходимые качества для будущего школьного периода,
• Воспитывать в детях ответственность, серьезное отношение к выполнению поставленной задачи.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

С какого возраста играют в танграм

Есть множество мнений, удачных и неудачных опытов обучения детей разного возраста геометрической головоломке. Зачастую, дошкольники 2,5 лет еще не понимают правил игры. Дети 3 — 4 лет вполне способны передвигать, складывать фигурки, но им не всегда хватает усидчивости. Как правило, дело заканчивается 2-3 композициями под руководством воспитателя или мамы, далее требуется переключение внимания, видов деятельности. Но наиболее усидчивые дети 3,5 — 4 лет уже могут сами придумывать образы либо собирать их по имеющимся схемам. А если заинтересовать их не просто составлением фигур, а изготовлением разноцветного танграма, органично вплести в ходе занятия сказку, повествование с элементами приключения и яркие образы, то дошкольники могут самостоятельно придумать неожиданные решения головоломки.

Со скольки лет начать ребенку играть в танграм каждый воспитатель или родитель решает сам. Дети могут освоить его очень рано, а могут не проявить интерес и в старшем дошкольном возрасте. Ребенок должен быть готов к головоломкам подобного рода.

Воспитателю стоит учесть, что, если занятие предполагает изготовление танграма своими руками, то дети должны уметь работать с ножницами.

Видео:Осевая симметрия, как начертить треугольники симметричноСкачать

Как сделать танграм своими руками

В настоящее время производители предлагают множество вариантов игры, выпуская ее в виде пазлов, трафаретов, готовых картинок с заданными отверстиями для фигур, схемами и тому подобное. Головоломка танграм своими руками из бумаги – наиболее простой и увлекательный способ сделать магический квадрат. Самостоятельное изготовление подогреет их интерес к самой игре.

Как сделать танграм поэтапно – рассмотрим ниже:

1. Для проведения занятия в детском саду воспитателю нужен плотный картон, желательно цветной с обеих сторон. Из картона необходимо сделать заготовки в виде небольших квадратов (размером с ладонь взрослого человека, а можно 10 х 10 см) по числу воспитанников.
2. Каждому ребенку либо на каждый детский столик нужны упомянутый картонный квадрат, карандаш или фломастер, линейка, ножницы.
3. Воспитатель предлагает детям разделить квадрат на 2 части, прочертив с помощью линейки и карандаша прямую линию из одного угла картонного квадрата в другой. Получаем два одинаковых треугольника.
4. Один из полученных треугольников делим еще на два равных треугольника, прочертив линию из прямого угла к середине самой длинной грани.
5. Оставшийся большой треугольник надо разделить на две неравные части. Для этого находим середины равных граней и проводим черту. Мы получили треугольник среднего размера и четырехугольник в виде лодочки.
6. Необходимо отметить середину стороны одного из двух больших треугольников и провести из этой точки линию (90*) к острому углу самого маленького треугольника. Так мы отделили от четырехугольника маленький треугольник.
7. Находим середину длинной стороны среднего треугольника и проводим линию в центр магического квадрата, так мы отделили малый квадрат от четырехугольника.
8. Находим середину равной стороны оставшегося большого треугольника и проводим от нее линию к углу малого квадрата. Так мы получили второй малый треугольник и параллелограмм.
9. В итоге всего должно получиться 7 частей, остается разрезать танграм по линиям. Детям несложно будет разрезать фигурки.

Шаблон танграма распечатать

Детям будет интереснее работать с магическим квадратом, если раскрасить каждую из семи фигурок в разные цвета. Если за основу был взят цветной картон, то дети могут поставить на своих фигурках метки, печати, узоры, чтобы не перепутать их с фигурками соседа по столику.

Изготовление танграма своими руками не занимает много времени, и в то же время дети получают элементарные навыки геометрии и черчения.

Видео:КАК СДЕЛАТЬ ШЕСТИУГОЛЬНУЮ ПИРАМИДУ ИЗ БУМАГИ? ШЕСТИУГОЛЬНАЯ ПИРАМИДА. ОБЪЕМНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫСкачать

Танграм. Правила игры

Правила игры танграм просты:

1. Каждая собранная композиция должна состоять из всех семи частей головоломки.
2. Нельзя накладывать части одну на другую, их можно только передвигать по столу.
3. Смежные фигурки должны примыкать друг к другу.

Фигуры из танграма

Воспитатель может предложить детям любую тему игры с головоломкой танграм на выбор, а может дать задание собрать определенную композицию. Для первого занятия, для наглядности, можно распечатать готовые схемы .

• Домик. Здесь основанием может служить большой треугольник или два больших треугольника, а из оставшихся частей собрать крышу, трубу. Домик может быть с окошком, крыльцом, длинной или короткой трубой.

• Кораблик. Это может быть и лодочка, и корабль с мачтой, парусами. Основание корабля можно сложить как большое, так и малое, а паруса – огромные, «наполненные ветром», или один небольшой парус. Возможно, кто – то сможет собрать и теплоход с трубой.

• Посуда. Детям можно предложить составить кастрюлю, кружку, вазочку на ножке, чайник.

Получив первые навыки игры, задания для танграма, темы следующих занятий могут предложить и сами дети.

Танграм: сказка с заданиями

Наиболее интересным вариантом занятия с магическим квадратом для детей будет занятие в форме сказки. Можно выбрать любую сказку в соответствии с возрастными интересами дошкольников.

Возьмем, к примеру, мультфильм «Приключения Лунтика и его друзей». Дошкольникам хорошо известны все его персонажи. Можно предложить им собрать образ главного героя – Лунтика, бабу Капу, генерала Шера, Кузю, Пчеленка, Вупсеня и Пупсеня, жабу Клаву и других.

Начало сказки, как правило, помнят все дети: «Однажды, на Луне родился малыш…». Далее, в соответствии с сюжетом выбранной серии, герои могут встретиться на цветочной поляне (собираем цветок), поиграть в мяч (собираем мяч), сидеть за столом и пить чай с пирогом (собираем стол, затем посуду, пирог…).

В соответствии с возрастными особенностями и интересами дошкольников воспитатель может усложнить занятие, внеся соревновательный элемент: мальчики собирают персонажей мужского рода – Лунтика, Кузю, паука Шнюка, а девочки – женского – Милу, бабу Капу, бабочек, жабу Клаву, пиявку и т.д.

Можно также посмотреть с ребятами одну из полюбившихся серий мультфильма и вместе выбрать образы героев и предметов для составления их из фигур танграма.

Предлагая задания танграма детям, воспитателю важно напоминать дошкольникам о соблюдении правил игры.

Игра танграм отлично развивает сообразительность, фантазию, логическое мышление, обучает началам геометрии. Игра танграм бесспорно полезна для дошкольников.