Факты о вписанной окружности

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Факты о вписанной окружности
    • Четырехугольник
      Факты о вписанной окружности
    • Многоугольник
      Факты о вписанной окружности

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

    Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

    Окружность: вписанная в многоугольник или угол

    Определения

    Окружность (S) вписана в угол (alpha) , если (S) касается сторон угла (alpha) .

    Окружность (S) вписана в многоугольник (P) , если (S) касается всех сторон (P) .

    В этом случае многоугольник (P) называется описанным около окружности.

    Теорема

    Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.

    Доказательство

    Факты о вписанной окружности

    Пусть (O) – центр некоторой окружности, вписанной в угол (BAC) . Пусть (B’) – точка касания окружности и (AB) , а (C’) – точка касания окружности и (AC) , тогда (OB’) и (OC’) – радиусы, проведённые в точки касания, следовательно, (OC’perp AC) , (OB’perp AB) , (OC’ = OB’) .

    Значит, треугольники (AC’O) и (AB’O) – прямоугольные треугольники, у которых равны катеты и общая гипотенуза, следовательно, они равны, откуда (angle CAO = angle BAO) , что и требовалось доказать.

    Теорема

    В любой треугольник можно вписать единственную окружность, причём центр этой вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника.

    Доказательство

    Проведем биссектрисы углов (angle A) и (angle B) . Пусть они пересеклись в точке (O) .

    Факты о вписанной окружности

    Т.к. (O) лежит на биссектрисе (angle A) , то расстояния от точки (O) до сторон угла равны: (ON=OP) .

    Т.к. (O) также лежит на биссектрисе (angle B) , то (ON=OK) . Таким образом, (OP=OK) , следовательно, точка (O) равноудалена от сторон угла (angle C) , следовательно, лежит на его биссектрисе, т.е. (CO) – биссектриса (angle C) .

    Таким образом, точки (N, K, P) равноудалены от точки (O) , то есть лежат на одной окружности. По определению это и есть вписанная в треугольник окружность.

    Данная окружность единственна, т.к. если предположить, что существует другая вписанная в (triangle ABC) окружность, то она будет иметь тот же центр и тот же радиус, то есть будет совпадать с первой окружностью.

    Таким образом, попутно была доказана следующая теорема:

    Следствие

    Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

    Теорема о площади описанного треугольника

    Если (a,b,c) – стороны треугольника, а (r) – радиус вписанной в него окружности, то площадь треугольника [S_=pcdot r] где (p=dfrac2) – полупериметр треугольника.

    Доказательство

    Факты о вписанной окружности

    Но (ON=OK=OP=r) – радиусы вписанной окружности, следовательно,

    Следствие

    Если в многоугольник вписана окружность и (r) – ее радиус, то площадь многоугольника равна произведению полупериметра многоугольника на (r) : [S_<text>=pcdot r]

    Теорема

    В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

    Доказательство

    Необходимость. Докажем, что если в (ABCD) вписана окружность, то (AB+CD=BC+AD) .

    Факты о вписанной окружности

    Пусть (M,N,K,P) – точки касания окружности и сторон четырехугольника. Тогда (AM, AP) – отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, (AM=AP=a) . Аналогично, (BM=BN=b, CN=CK=c, DK=DP=d) .

    Достаточность. Докажем, что если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Проведем биссектрисы углов (angle A) и (angle B) , пусть они пересекутся в точке (O) . Тогда точка (O) равноудалена от сторон этих углов, то есть от (AB, BC, AD) . Впишем окружность в (angle A) и (angle B) с центром в точке (O) . Докажем, что эта окружность будет касаться и стороны (CD) .

    Факты о вписанной окружности

    Предположим, что это не так. Тогда (CD) либо является секущей, либо не имеет общих точек с окружностью. Рассмотрим второй случай (первый будет доказываться аналогично).

    Проведем касательную прямую (C’D’ parallel CD) (как показано на рисунке). Тогда (ABC’D’) – описанный четырехугольник, следовательно, (AB+C’D’=BC’+AD’) .

    Т.к. (BC’=BC-CC’, AD’=AD-DD’) , то:

    [AB+C’D’=BC-CC’+AD-DD’ Rightarrow C’D’+CC’+DD’=BC+AD-AB=CD]

    Получили, что в четырехугольнике (C’CDD’) сумма трех сторон равна четвертой, что невозможно*. Следовательно, предположение ошибочно, значит, (CD) касается окружности.

    Замечание*. Докажем, что в выпуклом четырехугольнике не может сторона равняться сумме трех других.

    Факты о вписанной окружности

    Т.к. в любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то (a+x>d) и (b+c>x) . Складывая данные неравенства, получим: (a+x+b+c>d+x Rightarrow a+b+c>d) . Следовательно, сумма любых трех сторон всегда больше четвертой стороны.

    Теоремы

    1. Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 1).

    2. Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

    Факты о вписанной окружности

    Верны и обратные утверждения: в любой ромб и квадрат можно вписать окружность, и притом только одну.

    Доказательство

    1) Рассмотрим параллелограмм (ABCD) , в который вписана окружность. Тогда (AB+CD=BC+AD) . Но в параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. (AB=CD, BC=AD) . Следовательно, (2AB=2BC) , а значит, (AB=BC=CD=AD) , т.е. это ромб.

    Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей ромба.

    2) Рассмотрим прямоугольник (QWER) . Т.к. прямоугольник является параллелограммом, то согласно первому пункту (QW=WE=ER=RQ) , т.е. это ромб. Но т.к. все углы у него прямые, то это квадрат.

    Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата.

    Вписанная и описанная окружности

    Вы будете перенаправлены на Автор24

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Вписанная окружность

    Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).

    Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

    Факты о вписанной окружности

    Рисунок 1. Вписанная окружность

    Видео:Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.Скачать

    Это будет на ЕГЭ 2020 по математике. Вписанная и вневписанная окружности.

    Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

    В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

    Доказательство.

    Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

    Факты о вписанной окружности

    Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

    Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK. $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M и L$. Так как $OM,OK и OL$ — перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

    Готовые работы на аналогичную тему

    Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

    Теорема доказана.

    Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

    Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

    Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

    В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

    Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Описанная окружность

    Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

    Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

    Факты о вписанной окружности

    Рисунок 3. Описанная окружность

    Видео:ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

    Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

    Доказательство.

    Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

    Факты о вписанной окружности

    Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

    Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

    Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

    Теорема доказана.

    Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

    Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

    Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

    В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $^0$.

    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $^0$, то около него можно описать окружность.

    Видео:№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

    №17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

    Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

    В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

    Решение.

    Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

    Факты о вписанной окружности

    Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора $^2=^2-^2, BM=sqrt<^2-frac<^2>>=sqrt=sqrt=3$. $OM=OH=r$ — искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4 см$. Следовательно, $BH=5-4=1 см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

    Ответ: $frac$.

    Получи деньги за свои студенческие работы

    Курсовые, рефераты или другие работы

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

    📹 Видео

    ВАЖНЫЙ факт вписанной окружности ✧ Запомнить за минуту!Скачать

    ВАЖНЫЙ факт вписанной окружности ✧  Запомнить за минуту!

    Радиус описанной окружности трапецииСкачать

    Радиус описанной окружности трапеции

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

    Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

    Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

    Вписанная окружностьСкачать

    Вписанная окружность

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTAСкачать

    Все о вписанных и описанных окружностях с нуля | PARTA
    Поделиться или сохранить к себе: