В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.
Основные свойства площадей.
Свойство №1
Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.
Свойство №2
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$.
Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.
Свойство №3 Если два треугольника имеют общий | Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ . |
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Свойство №6
Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.
Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .
Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника). Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины. Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°: Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного: Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:
| ||
Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:
У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны. | ||
Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:
Два треугольника подобны, если:
У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. | ||
Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:
| ||
Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:
Видео:№470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная кСкачать Биссектрисы треугольника | ||
Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:
Длина биссектрисы угла А :
| ||
Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны. Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
Длина высоты, проведённой к стороне а :
Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать Серединные перпендикуляры | ||
Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней. Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника. Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника. Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать Окружность, вписанная в треугольник | ||
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:
Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:
Видео:Если кое-что заметить, то решение будет быстрым ★ Найдите площади двух треугольников на рисункеСкачать Окружность, описанная около треугольника | ||
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. Радиус описанной окружности:
Видео:Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузеСкачать Расположение центра описанной окружности | ||
Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника. | Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы. | Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника. |
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать Равнобедренный треугольник | ||
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота. | ||
Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником. Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают. Все углы равностороннего треугольника равны: | ||
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой. Прямоугольные треугольники равны если у них равны:
| ||
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу: Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному: Площадь прямоугольного треугольника можно определить через катеты: через катет и острый угол: через гипотенузу и острый угол: | ||
Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными. Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C . Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей. Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ). В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 . Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC . Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 . Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно: для r – для R – для S – для самих ra , rb , rс – Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде | ||
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности: Теорема тангенсов (формула Региомонтана): 🔥 ВидеоЗадание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать 7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать |