Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.Если высоты треугольников равны тоДоказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.

Свойство №2

Если высоты треугольников равны тоДоказательство: Пусть h1 = h2 в двух треугольниках с основаниями a и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$.
Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a1и NB = b1. Пусть S1 = SMBN и S2 = SABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство №3

Если два треугольника имеют общий
угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих
этот угол.

Если высоты треугольников равны тоЕсли высоты треугольников равны тоДоказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Если высоты треугольников равны тоДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Если высоты треугольников равны тоДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S1, S2, S3. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S1 = S2 . Аналогично можно доказать, что S2 = S3 и S3 = S1 .

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Если высоты треугольников равны тоДоказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если SABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

Видео:№267. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные изСкачать

№267. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из

Основные свойства площадей треугольников

Факт 1.
(bullet) Средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника.
Соответственно, площади этих треугольников равны.

Если высоты треугольников равны то

Факт 2.
(bullet) Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади (равновеликих).

Если высоты треугольников равны то

Факт 3.
(bullet) Все 3 медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников.

Если высоты треугольников равны то

Факт 4.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковый угол, относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Если высоты треугольников равны то

Факт 5.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковое основание, относятся как высоты, проведенные к этим основаниям.

Если высоты треугольников равны то

Факт 6.
(bullet) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота.

Если высоты треугольников равны то

Факт 7.
(bullet) Если прямые (p) и (q) параллельны, то Если высоты треугольников равны то

Факт 8.
(bullet) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
(bullet) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Видео:Отношение площадей треугольников, если высоты или углы равны. Геометрия 05.08.2021Скачать

Отношение площадей треугольников, если высоты или углы равны. Геометрия 05.08.2021

math4school.ru

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Видео:Геометрия 8 класс. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основанияСкачать

Геометрия 8 класс. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания

Треугольники

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Площади треугольников с равным углом.

Основные свойства

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине:

Если высоты треугольников равны то

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны:

Если высоты треугольников равны то

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Если высоты треугольников равны то

Третий признак равенства треугольников.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны:

Если высоты треугольников равны то

Видео:Геометрия Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.Скачать

Геометрия Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то он равнобедренный.

Подобие треугольников

Прямая, пересекающая две стороны треугольника, и параллельная третьей, отсекает треугольник, подобный данному:

Если высоты треугольников равны то

Три средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, подобные данному, с коэффициентом подобия ½:

Если высоты треугольников равны то

Видео:№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольникСкачать

№110. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник

Медианы треугольника

Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего угла перпендикулярны.

Биссектриса внешнего угла треугольника делит (внешне) противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

BL – биссектриса угла В ;

ВЕ – биссектриса внешнего угла СВК :

Если высоты треугольников равны то

Видео:№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;Скачать

№488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см;

Высоты треугольника

Основные формулы для равнобедренного треугольника:

Если высоты треугольников равны то

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

Равносторонний треугольник

Каждая медиана равностороннего треугольника совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины:

Если высоты треугольников равны то

Основные соотношения для элементов равностороннего треугольника

Если высоты треугольников равны то

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Прямоугольный треугольник

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

Радиус описанной окружности:

Если высоты треугольников равны то

Радиус вписанной окружности:

Если высоты треугольников равны то

Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shorts

Вневписанные окружности

Если высоты треугольников равны то

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника) и трёх отрезков с концами в этих точках (сторон треугольника).

Углами (внутренними углами) треугольника называются три угла, каждый из которых образован тремя лучами, выходящими из вершин треугольника и проходящими через две другие вершины.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный внутреннему углы треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°:

Если высоты треугольников равны то

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, и больше любого внутреннего, с ним не смежного:

Если высоты треугольников равны то

Длина каждой стороны треугольника больше разности и меньше суммы длин двух других сторон:

Если высоты треугольников равны то

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол:

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны:

Если высоты треугольников равны то

У равных треугольников все соответствующие элементы равны (стороны, углы, высоты, медианы, биссектрисы, средние линии и т.д.)

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.

Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие стороны пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия:

Если высоты треугольников равны то

Два треугольника подобны, если:

  • Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  • Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы, образованные этими сторонами, равны.
  • Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны:

Если высоты треугольников равны то

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то

Медианой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей медианы в отношении 2:1, считая от вершины:

Если высоты треугольников равны то

  • Медиана делит треугольник на два равновеликих (с равными площадями) треугольника.
  • Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников:

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Длины медиан, проведённых к соответствующим сторонам треугольника, равны:

Если высоты треугольников равны то

Видео:№470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная кСкачать

№470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к

Биссектрисы треугольника

Если высоты треугольников равны то

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, находящейся внутри треугольника, равноудалённой от трёх его сторон, которая является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую углу сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Если высоты треугольников равны то

Длина биссектрисы угла А :

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противолежащую сторону или на продолжение стороны.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:

Если высоты треугольников равны то

Длина высоты, проведённой к стороне а :

Если высоты треугольников равны то

Видео:НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

НАЙДИТЕ ВЫСОТУ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Серединные перпендикуляры

Если высоты треугольников равны то

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину стороны треугольника перпендикулярно к ней.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около данного треугольника.

Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром противолежащей стороны лежит на окружности, описанной около данного треугольника.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Если высоты треугольников равны то

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Точки касания вписанной окружности сторон треугольника отсекают от его сторон три пары равных между собой отрезков:

Если высоты треугольников равны то

Радиус вписанной в треугольник окружности – расстояние от её центра до сторон треугольника:

Если высоты треугольников равны то

Видео:Если кое-что заметить, то решение будет быстрым ★ Найдите площади двух треугольников на рисункеСкачать

Если кое-что заметить, то решение будет быстрым ★ Найдите площади двух треугольников на рисунке

Окружность, описанная около треугольника

Если высоты треугольников равны то

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Радиус описанной окружности:

Если высоты треугольников равны то

Видео:Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузеСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе

Расположение центра описанной окружности

Если высоты треугольников равны тоЕсли высоты треугольников равны тоЕсли высоты треугольников равны то
Центр описанной окружности остроугольного треугольника расположен внутри треугольника.Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой его гипотенузы.Центр описанной окружности тупоугольного треугольника расположен вне треугольника.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Равнобедренный треугольник

Если высоты треугольников равны то

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью – основанием равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ A = ∠ C.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, и высотой: BL – медиана, биссектриса, высота.

Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то

Треугольник у которого все стороны равны называется равносторонним или правильным треугольником.

Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Все углы равностороннего треугольника равны:

Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, противолежащая прямому углу – гипотенузой.

Прямоугольные треугольники равны если у них равны:

  • два катета;
  • катет и гипотенуза;
  • катет и прилежащий острый угол;
  • катет и противолежащий острый угол;
  • гипотенуза и острый угол.
  • одному острому углу;
  • из пропорциональности двух катетов;
  • из пропорциональности катета и гипотенузы.

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

Если высоты треугольников равны то

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

Если высоты треугольников равны то

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, может быть определена через катеты и их проекции на гипотенузу:

Если высоты треугольников равны то

Медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы:

Если высоты треугольников равны то

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит данный треугольник на два треугольника, подобные данному:

Если высоты треугольников равны то

Площадь прямоугольного треугольника можно определить

через катеты: Если высоты треугольников равны то

через катет и острый угол: Если высоты треугольников равны то

через гипотенузу и острый угол: Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то
Если высоты треугольников равны то

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными.

Центр вневписанной окружности лежит не пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах.

Так точка О1 , центр одной из вневписанных окружностей Δ ABC , лежит на пересечении биссектрисы ∠ A треугольника ABC и биссектрис BО1 и C О1 внешних углов Δ ABC при вершинах B и C .

Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Δ ABC является ортоцентричным в Δ О1О2О3 (точки A , B и C – основания высот в Δ О1О2О3 ).

В Δ ABC углы равны 180°–2 О1 , 180°–2 О2 , 180°–2 О3 .

Радиус окружности, описанной около Δ О1О2О3 , равен 2 R , где R – радиус окружности, описанной около Δ ABC .

Δ ABC имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в Δ О1О2О3 .

Если ra , rb , rс – радиусы вневписанных окружностей в Δ ABC , то в Δ ABC верно:

для rЕсли высоты треугольников равны то

для R – Если высоты треугольников равны то

для S – Если высоты треугольников равны то

для самих ra , rb , rсЕсли высоты треугольников равны то

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Теоремы синусов, косинусов, тангенсов; формулы Мольвейде

Если высоты треугольников равны то

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Если высоты треугольников равны то

Если высоты треугольников равны то

  • если c 2 > a 2 +b 2 , то угол γ – тупой ( cos γ
  • если c 2 2 +b 2 , то угол γ – острый ( cos γ > 0 );
  • если c 2 = a 2 +b 2 , то угол γ – прямой ( cos γ = 0 ).

Если высоты треугольников равны то

Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной окружности:

Если высоты треугольников равны то

Теорема тангенсов (формула Региомонтана):

🔥 Видео

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольника

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение
Поделиться или сохранить к себе: