Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Геометрия. 8 класс

Введем новое понятие: описанная окружность.
Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

На рисунке четырёхугольник MNKP вписан в окружность с центром O, так как все его вершины лежат на этой окружности.

На рисунке четырёхугольник ABCD не является вписанным в окружность, т.к. вершина C не лежит на окружности.
Рассмотрим треугольник АВС и впишем его в окружность. Всегда ли это возможно сделать?

Докажем теорему: Около любого треугольника можно описать окружность.
Дано: ∆ABC
Доказать: существует окружность, что A, B, C принадлежат этой окружности.
Доказательство:
Построим в треугольнике серединные перпендикуляры к сторонам и обозначим точку их пересечения О.

По свойству серединных перпендикуляров точка О равноудалена от точек А, В и С, т.е. OA = OB = OC.

Поэтому окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все три вершины треугольника, а значит является описанной около треугольника АВС.
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O.
Что и требовалось доказать.
Четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность обладает свойством: в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Дано: ABCD вписанный четырехугольник.
Доказать:
B + ∠D = 180° и ∠A + ∠C = 180°.
Доказательство:
Рассмотрим вписанный угол АВС. Его градусная мера равна ∠ABC = 0,5 ∙ ∪ADC.
Градусная мера вписанного угла ADC равна ∠ADC = 0,5 ∙ ∪ABC.
Сумма углов АВС и ADC равна
ABC + ∠ADC = 0,5(∪ADC + ∪ABC) = 0,5 ∙ 360° = 180°.
Что и требовалось доказать.
Обратное утверждение также верно. Докажите его самостоятельно:
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС.

Доказать: около Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Точка О равноудалена от вершин Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВ = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАDС, Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС, откуда следует Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВ + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАDС + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется(Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАDС + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАDС + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяАВС = 360 0 , тогда Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВ + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBАD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВСDвнешний угол Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяСFD, следовательно, Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBСD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВFD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВFD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD и Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяFDE = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBСD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕF = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется(Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕF), следовательно, Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВСDЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBАD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВЕD, тогда Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBАD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBСDЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется(Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВЕD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВЕD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD = 360 0 , тогда Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBАD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBСDЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBАD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBСDЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется180 0 . Но это противоречит условию Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBАD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

По теореме о сумме углов треугольника в Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВСF: Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяС + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВ + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяF = 180 0 , откуда Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяС = 180 0 — ( Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВ + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяF). (2)

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВ = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕF. (3)

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяF и Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВFD смежные, поэтому Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяF + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВFD = 180 0 , откуда Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяF = 180 0 — Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВFD = 180 0 — Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяС = 180 0 — (Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕF + 180 0 — Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD) = 180 0 — Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕF — 180 0 + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется(Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАDЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕF), следовательно, Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяСЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяА = Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВЕD, тогда Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяА + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяСЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяЕсли все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется(Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВЕD + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяВАD). Но это противоречит условию Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяА + Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называетсяС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№33 - Описанная окружность.)

Окружность: описанная около многоугольника

Определение

Окружность (S) описана около многоугольника (P) , если все вершины многоугольника (P) лежат на окружности (S) .

В этом случае многоугольник (P) называется вписанным в окружность.

Определение

Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, проходящая через середину данного отрезка перпендикулярно ему.

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство

Рассмотрим отрезок (AB) и серединный перпендикуляр (a) к нему. Докажем, что для любой точки (Xin a) выполнено: (AX=BX) .

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Рассмотрим (triangle AXB) : отрезок (XO) является медианой и высотой, следовательно, (triangle AXB) – равнобедренный, следовательно, (AX=BX) .

Теорема

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Рассмотрим (triangle ABC) . Проведем серединные перпендикуляры к сторонам (AB) и (AC) . Они пересекутся в точке (O) .

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

По предыдущей теореме для серединного перпендикуляра (C_1O) выполнено: (AO=BO) , а для (B_1O) — (AO=CO) . Следовательно, (BO=CO) . Значит, (triangle BOC) – равнобедренный, следовательно, высота (OA_1) , проведенная к основанию (BC) , будет также и медианой. Значит, (OA_1) – серединный перпендикуляр к отрезку (BC) .

Таким образом, все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке (O) .

Следствие

Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на его серединном перпендикуляре.

Теорема

Около любого треугольника можно описать единственную окружность, причём центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство

Из доказанной выше теоремы следует, что (AO=BO=CO) . Значит, все вершины треугольника равноудалены от точки (O) , следовательно, они лежат на одной окружности.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Такая окружность единственна. Допустим, что около (triangle ABC) можно описать еще одну окружность. Тогда ее центр должен совпасть с точкой (O) (т.к. это единственная точка, равноудаленная от вершин треугольника), а радиус должен быть равен расстоянию от центра до какой-то из вершин, т.е. (OA) . Т.к. у этих окружностей совпадают и центр, и радиус, то и эти окружности совпадают.

Теорема о площади вписанного треугольника

Если (a, b, c) – стороны треугольника, а (R) – радиус описанной около него окружности, то площадь треугольника [S_=dfrac]

Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Теорема синусов”.

Обозначим угол между сторонами (a) и (c) за (alpha) . Тогда (S_=frac12 accdot sin alpha) .

По теореме синусов (dfrac b=2R) , откуда (sin alpha=dfrac b) . Следовательно, (S_=dfrac) .

Теорема

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны (180^circ) .

Доказательство

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Если около четырёхугольника (ABCD) можно описать окружность, то (buildrelsmileover + buildrelsmileover = 360^circ) , откуда (angle ABC + angle ADC = fracbuildrelsmileover + fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover + buildrelsmileover) = 180^circ) . Для углов (BCD) и (BAD) аналогично.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Опишем окружность около треугольника (ABC) . Пусть центр этой окружности – точка (O) . На прямой, проходящей через точки (O) и (D) отметим точку (D’) пересечения этой прямой и окружности. Предположим, что точки (D) и (D’) не совпали, тогда рассмотрим четырёхугольник (CD’AD) .

Углы (CD’A) и (CDA) дополняют угол (ABC) до (180^circ) ( (angle CDA) дополняет по условию, а (angle CD’A) по доказанному выше), следовательно, они равны, но тогда сумма углов четырёхугольника (AD’CD) больше (360^circ) , чего быть не может (сумма углов это четырёхугольника есть сумма углов двух треугольников), следовательно, точки (D) и (D’) совпадают.

Замечание. На рисунке точка (D) лежит вне круга, ограниченного окружностью, описанной около (triangle ABC) , однако, в случае, когда (D) лежит внутри, доказательство также остаётся верным.

Теорема

Около выпуклого четырехугольника (ABCD) можно описать окружность тогда и только тогда, когда (angle ABD=angle ACD) .

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Доказательство

Необходимость. Если около (ABCD) описана окружность, то углы (angle ABD) и (angle ACD) – вписанные и опираются на одну дугу (buildrelsmileover) , следовательно, они равны.

Достаточность. Пусть (angle ABD=angle ACD=alpha) . Докажем, что около (ABCD) можно описать окружность.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Опишем окружность около (triangle ABD) . Пусть прямая (CD) пересекла эту окружность в точке (C’) . Тогда (angle ABD=angle AC’D Rightarrow angle AC’D=angle ACD) .

Следовательно, (angle CAD=angle C’AD=180^circ-angle ADC-angle AC’D) , то есть (triangle AC’D=triangle ACD) по общей стороне (AD) и двум прилежащим углам ( (angle C’AD=angle CAD) , (angle ADC’=angle ADC) – общий). Значит, (DC’=DC) , то есть точки (C’) и (C) совпадают.

Теоремы

1. Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 1).

2. Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

3. Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная (рис. 3).

Если все вершины многоугольника лежат на окружности то окружность называется

Верны и обратные утверждения: около прямоугольника, ромба и равнобедренной трапеции можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

1) Пусть около параллелограмма (ABCD) описана окружность. Тогда суммы его противоположных углов равны (180^circ: quad angle A+angle C=180^circ) . Но в параллелограмме противоположные углы равны, т.к. (angle A=angle C) . Следовательно, (angle A=angle C=90^circ) . Значит, по определению (ABCD) – прямоугольник.

Обратное утверждение очевидно.

2) Пусть около ромба (MNKP) описана окружность. Аналогично предыдущему пункту (т.к. ромб является параллелограммом) доказывается, что (MNKP) – прямоугольник. Но все стороны этого прямоугольника равны (т.к. он ромб), значит (MNKP) – квадрат.

Обратное утверждение очевидно.

3) Пусть около трапеции (QWER) описана окружность. Тогда (angle Q+angle E=180^circ) . Но из определения трапеции следует, что (angle Q+angle W=180^circ) . Следовательно, (angle W=angle E) . Т.к. углы при основании (WE) трапеции равны, то она равнобедренная.

🎦 Видео

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия 8 класс : Описанная окружностьСкачать

Геометрия 8 класс : Описанная окружность

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | ИнфоурокСкачать

Окружность, описанная около правильного многоугольника | Геометрия 7-9 класс #105 | Инфоурок

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскостиСкачать

№8. Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Описанная окружность | Геометрия 7-9 класс #75 | ИнфоурокСкачать

Описанная окружность  | Геометрия 7-9 класс #75 | Инфоурок

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

78. Описанная окружностьСкачать

78. Описанная окружность

Вписанная окружность.Описанная окружность 👇👇👇Скачать

Вписанная окружность.Описанная окружность 👇👇👇

Описанная окружностьСкачать

Описанная окружность

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Видеоурок по геометрии 9 классСкачать

Окружность, вписанная в правильный многоугольник. Видеоурок по геометрии 9 класс
Поделиться или сохранить к себе: