Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

(следствие из теоремы о вписанном угле)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90Дано:

Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.

∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90Следовательно, по теореме о вписанном угле,

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Что и требовалось доказать.

Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.

Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.

Другой вариант формулировки следствия:

Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.

Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Видео:Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать

Вписанный угол, который опирается на диаметр

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

∠ABC =1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

∠B =1∠AOC.
2

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B =1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AD и Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 =1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AD и 2 =1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90DC.
22

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 =1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AD +1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90DC
22
∠ABC =1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Проведём диаметр BD.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,

∠ABC =1(Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90ADЕсли угол опирается на диаметр окружности то он равен 90CD),
2
∠ABC =1Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90AC.
2

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Видео:Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметрСкачать

Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр

Вписанные и центральные углы, их свойства

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:Геометрия Докажите что если вершина угла лежит внутри окружности а угол опирается на диаметрСкачать

Геометрия Докажите что если вершина угла лежит внутри окружности а угол опирается на диаметр

Вписанный угол

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

На рисунке показан вписанный угол АСВ и дуга АВ, на которую он опирается. Если, например, дуга АВ=60 0 , то угол АСВ будет равен 30 0 . И наоборот, например, если угол АСВ равен 50 0 , то дуга АВ будет равна 100 0 .

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Свойство вписанного угла №2

Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90Свойство вписанного угла №2

Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.

На рисунке угол ВСА опирается на диаметр АВ, следовательно, он равен 90 0 .

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Видео:Геометрия Докажите что если вершина угла лежит вне окружности а угол опирается на диаметр окружностиСкачать

Геометрия Докажите что если вершина угла лежит вне окружности а угол опирается на диаметр окружности

Центральный угол

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90

Свойства центральных углов

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

На рисунке показан центральный угол АОВ, который опирается на дугу АВ. Например, дуга АВ равна 80 0 , тогда угол АОВ равен также 80 0 . И наоборот, например, если центральный угол АОВ будет равен 70 0 , то и дуга АВ также будет равна 70 0 .

Если угол опирается на диаметр окружности то он равен 90Свойства вписанного и центрального угла

Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

На рисунке показаны вписанный угол АВС и центральный угол АОС, которые опираются на одну и ту же дугу АС. Например, если величина угла АОС равна 120 0 , то величина угла АВС будет равна 60 0 .

💡 Видео

Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

ОГЭ 2019.  Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать

16 задание ОГЭ математика 2023 | Умскул

Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать

Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой Репетитор

Вписанный угол и диаметр ▶ (Мини-ликбез №7)Скачать

Вписанный угол и диаметр ▶ (Мини-ликбез №7)

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 класс

№702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углыСкачать

№702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Задания с окружностью, тестовая часть ОГЭ (2 серия)Скачать

Задания с окружностью, тестовая часть ОГЭ (2 серия)
Поделиться или сохранить к себе: