Вписанный угол, опирающийся на диаметр, обладает полезным свойством, вытекающим из теоремы о вписанном угле.
Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр
(следствие из теоремы о вписанном угле)
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
Дано:
Так как AC- диаметр, то ∠AOC=180º.
∠AOC — центральный, ∠ABC — соответствующий ему вписанный угол.
Следовательно, по теореме о вписанном угле,
Что и требовалось доказать.
Из этого следует, например, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны — прямой.
Если центр описанной окружности лежит на диагонали четырехугольника, то угол напротив этой диагонали — прямой.
Другой вариант формулировки следствия:
Диаметр виден из любой точки окружности под углом 90º.
Если вписанный угол связать с дугой, то следствие из теоремы о вписанном угле звучит так:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Вписанный угол окружности
Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.
Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.
Видео:Вписанный угол, который опирается на диаметрСкачать
Теорема о вписанном угле
Теорема:
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:
∠ABC = | 1 | AC. |
2 |
При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.
Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.
Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.
Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:
а так как углы A и B равны, то
∠B = | 1 | ∠AOC. |
2 |
Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = AC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:
∠ABC = ∠B = | 1 | AC. |
2 |
Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.
Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: ∠1 и ∠2.
Точка D разделяет дугу AC на две дуги: AD и DC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:
∠1 = | 1 | AD и ∠2 = | 1 | DC. |
2 | 2 |
Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:
∠1 + ∠2 = | 1 | AD + | 1 | DC |
2 | 2 |
∠ABC = | 1 | AC. |
2 |
Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.
Проведём диаметр BD.
Но ∠ABD измеряется половиной дуги AD , а ∠CBD измеряется половиной дуги CD. Следовательно,
∠ABC = | 1 | (AD — CD), |
2 |
∠ABC = | 1 | AC. |
2 |
Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать
Следствия из теоремы
1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.
Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.
Видео:Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметрСкачать
Вписанные и центральные углы, их свойства
теория по математике 📈 планиметрия
Видео:Геометрия Докажите что если вершина угла лежит внутри окружности а угол опирается на диаметрСкачать
Вписанный угол
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Свойства вписанных углов
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
На рисунке показан вписанный угол АСВ и дуга АВ, на которую он опирается. Если, например, дуга АВ=60 0 , то угол АСВ будет равен 30 0 . И наоборот, например, если угол АСВ равен 50 0 , то дуга АВ будет равна 100 0 .
Свойство вписанного угла №2
Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.
На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.
Свойство вписанного угла №2
Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.
На рисунке угол ВСА опирается на диаметр АВ, следовательно, он равен 90 0 .
Видео:Геометрия Докажите что если вершина угла лежит вне окружности а угол опирается на диаметр окружностиСкачать
Центральный угол
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Свойства центральных углов
Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
На рисунке показан центральный угол АОВ, который опирается на дугу АВ. Например, дуга АВ равна 80 0 , тогда угол АОВ равен также 80 0 . И наоборот, например, если центральный угол АОВ будет равен 70 0 , то и дуга АВ также будет равна 70 0 .
Свойства вписанного и центрального угла
Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.
На рисунке показаны вписанный угол АВС и центральный угол АОС, которые опираются на одну и ту же дугу АС. Например, если величина угла АОС равна 120 0 , то величина угла АВС будет равна 60 0 .
💡 Видео
Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Радиус и диаметрСкачать
8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать
ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать
Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать
Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать
Вписанный угол и диаметр ▶ (Мини-ликбез №7)Скачать
Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать
№702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углыСкачать
Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать
ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать
Задания с окружностью, тестовая часть ОГЭ (2 серия)Скачать