Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Признака подобия треугольников

Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F

F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC

Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` — в `B_1`, `C` — в `C_1`.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC

Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,

`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.

1. Пусть `O` — точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MOparallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому

Если треугольники подобны то прямые параллельны

2. $$ ADparallel BC$$, `Delta AOD

Delta COB` по двум углам (рис. 10б):

`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение

`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.

Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MNparallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

1. Пусть $$ BFVert CD$$ и $$ MEVert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME

Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` — параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x — a`; `AE = 5a — x`. Итак, имеем `(5a — x)/(x — a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.

Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

Попытайтесь доказать это самостоятельно.

Прямоугольные треугольники подобны, если:

1. они имеют по равному острому углу;

2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` — его высоты, то `Delta A_1B_1C

Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` — прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.

В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` — прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.

В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.

Таким образом, `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12б), угол `C` — острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cos C =b cos C;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cos C =a cos C,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC,$$

коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12в), угол `C` — тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ — /_ C`, `cos varphi = — cos C = |cos C|`.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cosvarphi =b |cos C|;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cosvarphi =b |cos C|,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC$$

с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

Аналогично `Delta AB_1C_1

Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

Так как `BB_1` — высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.

Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ — /_B`, т. е. луч `B_1B` — биссектриса угла `A_1B_1C_1`.

Аналогично доказывается, что `A A_1` — биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` — биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.

Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ — C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` — острый, `/_ C = 45^@`.

Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` — биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.

Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` — биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ ADVert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.

Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

Пусть `AD` — биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.

Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16

Содержание
  1. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  2. Подобные треугольники
  3. Первый признак подобия треугольников
  4. Пример №1
  5. Теорема Менелая
  6. Теорема Птолемея
  7. Второй и третий признаки подобия треугольников
  8. Пример №4
  9. Прямая Эйлера
  10. Обобщенная теорема Фалеса
  11. Пример №5
  12. Подобные треугольники
  13. Пример №6
  14. Пример №7
  15. Признаки подобия треугольников
  16. Пример №8
  17. Пример №9
  18. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  19. Пример №10
  20. Пример №11
  21. Свойство биссектрисы треугольника
  22. Пример №12
  23. Пример №13
  24. Применение подобия треугольников к решению задач
  25. Пример №14
  26. Пример №15
  27. Подобие треугольников
  28. Определение подобных треугольники
  29. Пример №16
  30. Вычисление подобных треугольников
  31. Подобие треугольников по двум углам
  32. Пример №17
  33. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  34. Пример №18
  35. Подобие треугольников по трем сторонам
  36. Подобие прямоугольных треугольников
  37. Пример №19
  38. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  39. Пример №20
  40. Теорема Пифагора и ее следствия
  41. Пример №21
  42. Теорема, обратная теореме Пифагора
  43. Перпендикуляр и наклонная
  44. Применение подобия треугольников
  45. Свойство биссектрисы треугольника
  46. Пример №22
  47. Метрические соотношения в окружности
  48. Метод подобия
  49. Пример №23
  50. Пример №24
  51. Справочный материал по подобию треугольников
  52. Теорема о пропорциональных отрезках
  53. Подобие треугольников
  54. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  55. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  56. Признак подобия прямоугольных треугольников
  57. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  58. Теорема Пифагора и ее следствия
  59. Перпендикуляр и наклонная
  60. Свойство биссектрисы треугольника
  61. Метрические соотношения в окружности
  62. Подробно о подобных треугольниках
  63. Пример №25
  64. Пример №26
  65. Обобщённая теорема Фалеса
  66. Пример №27
  67. Пример №28
  68. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  69. Пример №29
  70. Применение подобия треугольников
  71. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  72. Пример №31
  73. Подобные треугольники
  74. Определение
  75. Признаки подобия треугольников
  76. Свойства подобных треугольников
  77. Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
  78. 🔍 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Предположим, что Если треугольники подобны то прямые параллельныПусть серединой отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельныявляется некоторая точка Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны— средняя линия треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельны

Отсюда
Если треугольники подобны то прямые параллельныЗначит, через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпроходят две прямые, параллельные прямой Если треугольники подобны то прямые параллельнычто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Предположим, что Если треугольники подобны то прямые параллельныПусть серединой отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельныявляется некоторая точка Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны— средняя линия трапеции Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныЗначит, через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпроходят две прямые, параллельные прямой Если треугольники подобны то прямые параллельныМы пришли к противоречию. Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны
Аналогично можно доказать, что Если треугольники подобны то прямые параллельныи т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Если треугольники подобны то прямые параллельны
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Если треугольники подобны то прямые параллельныЗаписывают: Если треугольники подобны то прямые параллельны
Если Если треугольники подобны то прямые параллельныто говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Если треугольники подобны то прямые параллельны

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Если треугольники подобны то прямые параллельныто говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 113). Докажем, что: Если треугольники подобны то прямые параллельны
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Если треугольники подобны то прямые параллельны, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Если треугольники подобны то прямые параллельныравных отрезков, каждый из которых равен Если треугольники подобны то прямые параллельны.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Если треугольники подобны то прямые параллельны
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельнысоответственно на Если треугольники подобны то прямые параллельныравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Если треугольники подобны то прямые параллельныпараллельной прямой Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Если треугольники подобны то прямые параллельнытреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Если треугольники подобны то прямые параллельнытакже проходит через точку М и Если треугольники подобны то прямые параллельны
Проведем Если треугольники подобны то прямые параллельныПоскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто по теореме Фалеса Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельныПоскольку Если треугольники подобны то прямые параллельны

По теореме о пропорциональных отрезках Если треугольники подобны то прямые параллельны

Таким образом, медиана Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекая медиану Если треугольники подобны то прямые параллельныделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Если треугольники подобны то прямые параллельнытакже делит медиану Если треугольники подобны то прямые параллельныв отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Если треугольники подобны то прямые параллельныв отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Если треугольники подобны то прямые параллельныПоскольку BE = ВС, то Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Если треугольники подобны то прямые параллельнытак, чтобы Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельныПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Если треугольники подобны то прямые параллельныОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

На рисунке 131 изображены треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныу которых равны углы: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Стороны Если треугольники подобны то прямые параллельнылежат против равных углов Если треугольники подобны то прямые параллельныТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Если треугольники подобны то прямые параллельны

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныу которых Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Если треугольники подобны то прямые параллельны(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Если треугольники подобны то прямые параллельны»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Если треугольники подобны то прямые параллельныс коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Если треугольники подобны то прямые параллельны
Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто можно также сказать, что треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныподобен треугольнику АВС с коэффициентом Если треугольники подобны то прямые параллельныПишут: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Если треугольники подобны то прямые параллельны

Докажите это свойство самостоятельно.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныпараллелен стороне АС. Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Углы Если треугольники подобны то прямые параллельныравны как соответственные при параллельных прямых Если треугольники подобны то прямые параллельныи секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Если треугольники подобны то прямые параллельны
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Проведем Если треугольники подобны то прямые параллельныПолучаем: Если треугольники подобны то прямые параллельныПо определению четырехугольник Если треугольники подобны то прямые параллельны— параллелограмм. Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны
Таким образом, мы доказали, что Если треугольники подобны то прямые параллельны
Следовательно, в треугольниках Если треугольники подобны то прямые параллельныуглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныоткудаЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть Р1 — периметр треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныР — периметр треугольника АВС. Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельны

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельнывыполняются условия Если треугольники подобны то прямые параллельныто по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельны, у которых Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если Если треугольники подобны то прямые параллельныто треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Если треугольники подобны то прямые параллельныОтложим на стороне ВА отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныравный стороне Если треугольники подобны то прямые параллельныЧерез точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпроведем прямую Если треугольники подобны то прямые параллельныпараллельную стороне АС (рис. 140).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Углы Если треугольники подобны то прямые параллельны— соответственные при параллельных прямых Если треугольники подобны то прямые параллельныи секущей Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныАле Если треугольники подобны то прямые параллельныПолучаем, что Если треугольники подобны то прямые параллельныТаким образом, треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №1

Средняя линия трапеции Если треугольники подобны то прямые параллельныравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Если треугольники подобны то прямые параллельныУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны
Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Если треугольники подобны то прямые параллельнывв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Если треугольники подобны то прямые параллельны а на продолжении стороны АС — точку Если треугольники подобны то прямые параллельны Для того чтобы точки Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Если треугольники подобны то прямые параллельнылежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 153, а). Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Если треугольники подобны то прямые параллельны
Из подобия треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныследует равенство Если треугольники подобны то прямые параллельны

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельныполучаем равенство

Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Если треугольники подобны то прямые параллельнылежат на одной прямой.
Пусть прямая Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Если треугольники подобны то прямые параллельнылежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть точки Если треугольники подобны то прямые параллельныделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекает сторону ВС в точке Если треугольники подобны то прямые параллельны
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Если треугольники подобны то прямые параллельнылежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

На диагонали АС отметим точку К так, что Если треугольники подобны то прямые параллельныУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельны

Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельны

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныв которых Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если k = 1, то Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельныа следовательно, треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельныравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Если треугольники подобны то прямые параллельнытак, что Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 160). Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Покажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельныПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Если треугольники подобны то прямые параллельны
Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельнытогда Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельны
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныв которых Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если k = 1, то треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Если треугольники подобны то прямые параллельнытакие, что Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 161). Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны

В треугольниках Если треугольники подобны то прямые параллельныугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Учитывая, что по условию Если треугольники подобны то прямые параллельныполучаем: Если треугольники подобны то прямые параллельны
Следовательно, треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Если треугольники подобны то прямые параллельныполучаем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельны— высоты треугольника АВС. Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны
В прямоугольных треугольниках Если треугольники подобны то прямые параллельныострый угол В общий. Следовательно, треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныУгол В — общий для треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, треугольники АВС и Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Если треугольники подобны то прямые параллельныто его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Если треугольники подобны то прямые параллельны — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 167).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельны. Для этой окружности угол Если треугольники подобны то прямые параллельныявляется центральным, а угол Если треугольники подобны то прямые параллельны— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Если треугольники подобны то прямые параллельныУглы ВАС и Если треугольники подобны то прямые параллельныравны как противолежащие углы параллелограмма Если треугольники подобны то прямые параллельныпоэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныПоскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто равнобедренные треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Если треугольники подобны то прямые параллельны— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Если треугольники подобны то прямые параллельны
Докажем теперь основную теорему.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Если треугольники подобны то прямые параллельныПоскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныУглы Если треугольники подобны то прямые параллельныравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныЗначит, точка М делит медиану Если треугольники подобны то прямые параллельныв отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныназывают отношение их длин, то есть Если треугольники подобны то прямые параллельны

Говорят, что отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныпропорциональные отрезкам Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Например, если Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныдействительно Если треугольники подобны то прямые параллельны

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныпропорциональны трем отрезкам Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныесли

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекают стороны угла Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 123). Докажем, что

Если треугольники подобны то прямые параллельны

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Если треугольники подобны то прямые параллельныкоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Если треугольники подобны то прямые параллельныи на отрезке Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Если треугольники подобны то прямые параллельныПоэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) Разделим отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельнына Если треугольники подобны то прямые параллельныравных частей длины Если треугольники подобны то прямые параллельныа отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны— на Если треугольники подобны то прямые параллельныравных частей длины Если треугольники подобны то прямые параллельныПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельнына Если треугольники подобны то прямые параллельныравных отрезков длины Если треугольники подобны то прямые параллельныпричем Если треугольники подобны то прямые параллельныбудет состоять из Если треугольники подобны то прямые параллельнытаких отрезков, а Если треугольники подобны то прямые параллельны— из Если треугольники подобны то прямые параллельнытаких отрезков.

Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) Найдем отношение Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныБудем иметь:

Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие 2. Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство:

Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельны

Учитывая, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

будем иметь: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Откуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельныПостройте отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Для построения отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельныможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныа на другой — отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) Проведем прямую Если треугольники подобны то прямые параллельныЧерез точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпараллельно Если треугольники подобны то прямые параллельныпроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Если треугольники подобны то прямые параллельныугла обозначим через Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Построенный отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныназывают четвертым пропорциональным отрезков Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельнытак как для этих отрезков верно равенство: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны (рис. 127), то

Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Если треугольники подобны то прямые параллельныЧисло Если треугольники подобны то прямые параллельныназывают коэффициентом подобия треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельнык треугольнику Если треугольники подобны то прямые параллельныили коэффициентом подобия треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Подобие треугольников принято обозначать символом Если треугольники подобны то прямые параллельныВ нашем случае Если треугольники подобны то прямые параллельныЗаметим, что из соотношения Если треугольники подобны то прямые параллельныследует соотношение

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №7

Стороны треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

Обозначим Если треугольники подобны то прямые параллельныПо условию Если треугольники подобны то прямые параллельнытогда Если треугольники подобны то прямые параллельны(см). Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекает стороны Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельнытреугольника Если треугольники подобны то прямые параллельнысоответственно в точках Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 129). Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

1) Если треугольники подобны то прямые параллельны— общий для обоих треугольников, Если треугольники подобны то прямые параллельны(как соответственные углы при параллельных прямых Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныи секущей Если треугольники подобны то прямые параллельны(аналогично, но для секущей Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, три угла треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныравны трем углам треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпроведем прямую, параллельную Если треугольники подобны то прямые параллельныи пересекающую Если треугольники подобны то прямые параллельныв точке Если треугольники подобны то прямые параллельныТак как Если треугольники подобны то прямые параллельны— параллелограмм, то Если треугольники подобны то прямые параллельныПо обобщенной теореме Фалеса: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Но Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

4) Окончательно имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныа значит, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныу которых Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 130). Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

1) Отложим на стороне Если треугольники подобны то прямые параллельнытреугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныотрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныи проведем через Если треугольники подобны то прямые параллельныпрямую, параллельную Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 131). Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны(по лемме).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Если треугольники подобны то прямые параллельныНо Если треугольники подобны то прямые параллельны(по построению). Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныПо условию Если треугольники подобны то прямые параллельныследовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) Так как Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Если треугольники подобны то прямые параллельныследовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныу которых Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) Если треугольники подобны то прямые параллельныно Если треугольники подобны то прямые параллельныПоэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныу которых Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныно Если треугольники подобны то прямые параллельныпоэтому

Если треугольники подобны то прямые параллельныУчитывая, что

Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны(по трем сторонам).

4) Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныНо Если треугольники подобны то прямые параллельнызначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— параллелограмм (рис. 132). Если треугольники подобны то прямые параллельны— высота параллелограмма. Проведем Если треугольники подобны то прямые параллельны— вторую высоту параллелограмма.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— прямоугольный треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельны— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

1) У прямоугольных треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныугол Если треугольники подобны то прямые параллельны— общий. Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны(по острому углу).

2) Аналогично Если треугольники подобны то прямые параллельны-общий, Если треугольники подобны то прямые параллельныОткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) У треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны(по острому углу).

Отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныназывают проекцией катета Если треугольники подобны то прямые параллельнына гипотенузу Если треугольники подобны то прямые параллельныа отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныпроекцией катета Если треугольники подобны то прямые параллельнына гипотенузу Если треугольники подобны то прямые параллельны

Отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны, если Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Если треугольники подобны то прямые параллельны(по лемме). Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныили Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) Если треугольники подобны то прямые параллельны(по лемме). Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныили Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны(по лемме). Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныили Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №10

Если треугольники подобны то прямые параллельны— высота прямоугольного треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельны

с прямым углом Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажите, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныа так как Если треугольники подобны то прямые параллельныто

Если треугольники подобны то прямые параллельныПоэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

1) Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельныТак как Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) Если треугольники подобны то прямые параллельныТак как Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

4) Если треугольники подобны то прямые параллельны

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— биссектриса треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 147). Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

1) Проведем через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпрямую, параллельную Если треугольники подобны то прямые параллельныи продлим биссектрису Если треугольники подобны то прямые параллельныдо пересечения с этой прямой в точке Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельны(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныи секущей Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) Если треугольники подобны то прямые параллельны— равнобедренный (так как Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныа значит, Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) Если треугольники подобны то прямые параллельны(как вертикальные), поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны(по двум углам). Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Но Если треугольники подобны то прямые параллельнытаким образом Если треугольники подобны то прямые параллельны

Из пропорции Если треугольники подобны то прямые параллельныможно получить и такую: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №12

В треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельны— биссектриса треугольника. Найдите Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Рассмотрим Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 147). Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны

тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныТак как Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем уравнение: Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельнымедиана (рис. 148).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныявляется также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Если треугольники подобны то прямые параллельны— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Если треугольники подобны то прямые параллельны— радиус окружности.

Учитывая, что Если треугольники подобны то прямые параллельныобозначим Если треугольники подобны то прямые параллельныТак как Если треугольники подобны то прямые параллельны— середина Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны— биссектриса треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныпоэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныИмеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Если треугольники подобны то прямые параллельны и Если треугольники подобны то прямые параллельны пересекаются в точке Если треугольники подобны то прямые параллельныто

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство:

Пусть хорды Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекаются в точке Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 150). Рассмотрим Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныу которых Если треугольники подобны то прямые параллельны(как вертикальные), Если треугольники подобны то прямые параллельны(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны(по двум углам), а значит, Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие. Если Если треугольники подобны то прямые параллельны— центр окружности, Если треугольники подобны то прямые параллельны— ее радиус, Если треугольники подобны то прямые параллельны— хорда, Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныгде Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство:

Проведем через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныдиаметр Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 151). Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажите формулу биссектрисы: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство:

Опишем около треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныокружность и продлим Если треугольники подобны то прямые параллельныдо пересечения с окружностью в точке Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 152).

1) Если треугольники подобны то прямые параллельны(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельны(по условию). Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны(по двум углам).

2) Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельны

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Если треугольники подобны то прямые параллельнылежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Если треугольники подобны то прямые параллельны и Если треугольники подобны то прямые параллельныи касательную Если треугольники подобны то прямые параллельныгде Если треугольники подобны то прямые параллельны — точка касания, то Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Если треугольники подобны то прямые параллельны(как вписанный угол), Если треугольники подобны то прямые параллельны, то

есть Если треугольники подобны то прямые параллельныПоэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны(по двум углам),

значит, Если треугольники подобны то прямые параллельныОткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие 1. Если из точки Если треугольники подобны то прямые параллельныпровести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныа другая — в точках Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

Так как по теореме каждое из произведений Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныравно Если треугольники подобны то прямые параллельныто следствие очевидно.

Следствие 2. Если Если треугольники подобны то прямые параллельны— центр окружности, Если треугольники подобны то прямые параллельны— ее радиус, Если треугольники подобны то прямые параллельны— касательная, Если треугольники подобны то прямые параллельны— точка касания, то Если треугольники подобны то прямые параллельныгде Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство:

Проведем из точки Если треугольники подобны то прямые параллельнычерез центр окружности Если треугольники подобны то прямые параллельнысекущую (рис. 154), Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Если треугольники подобны то прямые параллельныно Если треугольники подобны то прямые параллельныпоэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Если треугольники подобны то прямые параллельныс планкой, которая вращается вокруг точки Если треугольники подобны то прямые параллельныНаправим планку на верхнюю точку Если треугольники подобны то прямые параллельныели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Если треугольники подобны то прямые параллельныв которой планка упирается в поверхность земли.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Рассмотрим Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныу них общий, поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны(по острому углу).

Тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если, например, Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныу которого углы Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Если треугольники подобны то прямые параллельнытреугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныи откладываем на прямой Если треугольники подобны то прямые параллельныотрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныравный данному.

3) Через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпроводим прямую, параллельную Если треугольники подобны то прямые параллельныОна пересекает стороны угла Если треугольники подобны то прямые параллельныв некоторых точках Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 157).

4) Так как Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныЗначит, два угла треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныравны данным.

Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны— середина Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны(по двум углам). Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны(по двум углам). Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Получаем, что Если треугольники подобны то прямые параллельныто есть Если треугольники подобны то прямые параллельныНо Если треугольники подобны то прямые параллельны(по построению), поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны— медиана треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныи треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельны— искомый.

Видео:Задачи с подобными треугольникамиСкачать

Задачи с подобными треугольниками

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Если треугольники подобны то прямые параллельныназывается частное их длин, т.е. число Если треугольники подобны то прямые параллельны

Иначе говоря, отношение Если треугольники подобны то прямые параллельныпоказывает, сколько раз отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныи его части укладываются в отрезке Если треугольники подобны то прямые параллельныДействительно, если отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныпринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельны

Отрезки длиной Если треугольники подобны то прямые параллельныпропорциональны отрезкам длиной Если треугольники подобны то прямые параллельныесли Если треугольники подобны то прямые параллельны

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельны

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Если треугольники подобны то прямые параллельныпоказывает, сколько раз отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныукладывается в отрезке Если треугольники подобны то прямые параллельныа отношение Если треугольники подобны то прямые параллельнысколько раз отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныукладывается в отрезке Если треугольники подобны то прямые параллельныТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Если треугольники подобны то прямые параллельныДействительно, прямые, параллельные Если треугольники подобны то прямые параллельны«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны«переходит» в отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныдесятая часть отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельны— в десятую часть отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельныи т.д. Поэтому если отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныукладывается в отрезке Если треугольники подобны то прямые параллельныраз, то отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныукладывается в отрезке Если треугольники подобны то прямые параллельнытакже Если треугольники подобны то прямые параллельныраз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныи следствие данной теоремы можно записать в виде Если треугольники подобны то прямые параллельныНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельныПостройте отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Если треугольники подобны то прямые параллельныи отложим на одной его стороне отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныа на другой стороне — отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 91).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Проведем прямую Если треугольники подобны то прямые параллельныи прямую, которая параллельна Если треугольники подобны то прямые параллельныпроходит через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныи пересекает другую сторону угла в точке Если треугольники подобны то прямые параллельныПо теореме о пропорциональных отрезках Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны— искомый.

Заметим, что в задаче величина Если треугольники подобны то прямые параллельныявляется четвертым членом пропорции Если треугольники подобны то прямые параллельныПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Если треугольники подобны то прямые параллельныВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Число Если треугольники подобны то прямые параллельныравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельныс коэффициентом подобия Если треугольники подобны то прямые параллельныЭто означает, что Если треугольники подобны то прямые параллельныт.е. Если треугольники подобны то прямые параллельныИмеем:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныв которых Если треугольники подобны то прямые параллельны, (рис. 99).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Если треугольники подобны то прямые параллельныОтложим на луче Если треугольники подобны то прямые параллельныотрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныравный Если треугольники подобны то прямые параллельныи проведем прямую Если треугольники подобны то прямые параллельныпараллельную Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныпо второму признаку, откуда Если треугольники подобны то прямые параллельныПо теореме о пропорциональных отрезках Если треугольники подобны то прямые параллельныследовательно Если треугольники подобны то прямые параллельныАналогично доказываем что Если треугольники подобны то прямые параллельныТаким образом по определению подобных треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Если треугольники подобны то прямые параллельныдиагонали пересекаются в точке Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 100).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Рассмотрим треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныВ них углы при вершине Если треугольники подобны то прямые параллельныравны как вертикальные, Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельныкак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Если треугольники подобны то прямые параллельныи секущей Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум углам. Отсюда следует, что Если треугольники подобны то прямые параллельныПо скольку по условию Если треугольники подобны то прямые параллельнызначит, Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельны
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Если треугольники подобны то прямые параллельны

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныв которых Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 101).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Если треугольники подобны то прямые параллельныотрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныравный Если треугольники подобны то прямые параллельныи проведем прямую Если треугольники подобны то прямые параллельныпараллельную Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум углам. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныа поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныпо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Если треугольники подобны то прямые параллельнытреугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныделит каждую из них в отношении Если треугольники подобны то прямые параллельныначиная от вершины Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажите, что эта прямая параллельна Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть прямая Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекает стороны Если треугольники подобны то прямые параллельнытреугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныв точках Если треугольники подобны то прямые параллельнысоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Если треугольники подобны то прямые параллельныНо эти углы являются соответственными при прямых Если треугольники подобны то прямые параллельныи секущей Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельныпо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 103).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Если треугольники подобны то прямые параллельныотрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныравный отрезку Если треугольники подобны то прямые параллельныи проведем прямую Если треугольники подобны то прямые параллельныпараллельную Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум углам. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныа поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельныУчитывая, что Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем Если треугольники подобны то прямые параллельныАналогично доказываем, что Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныпо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельныс острым углом Если треугольники подобны то прямые параллельныпроведены высоты Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 110). Докажите, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныПоскольку они имеют общий острый угол Если треугольники подобны то прямые параллельныони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Если треугольники подобны то прямые параллельны

Рассмотрим теперь треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныУ них также общий угол Если треугольники подобны то прямые параллельны, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныназывается средним пропорциональным между отрезками Если треугольники подобны то прямые параллельныесли Если треугольники подобны то прямые параллельны

В прямоугольном треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельныс катетами Если треугольники подобны то прямые параллельныи гипотенузой Если треугольники подобны то прямые параллельныпроведем высоту Если треугольники подобны то прямые параллельныи обозначим ее Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 111).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Отрезки Если треугольники подобны то прямые параллельнына которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Если треугольники подобны то прямые параллельнына гипотенузу Если треугольники подобны то прямые параллельныобозначают Если треугольники подобны то прямые параллельнысоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

По признаку подобия прямоугольных треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельны(у этих треугольников общий острый угол Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельны(у этих треугольников общий острый угол Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныИз подобия треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельныАналогично из подобия треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныполучаем Если треугольники подобны то прямые параллельныИ наконец, из подобия треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельныТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 112).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Из метрического соотношения в треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельныполучаем: Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельнытогда Если треугольники подобны то прямые параллельныИз соотношения Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныоткуда Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Если треугольники подобны то прямые параллельныи гипотенузой Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 117) Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Если треугольники подобны то прямые параллельныто

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— высота треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныв котором Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 118).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельны— наибольшая сторона треугольника, то точка Если треугольники подобны то прямые параллельнылежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Если треугольники подобны то прямые параллельныравной Если треугольники подобны то прямые параллельнысм, тогда Если треугольники подобны то прямые параллельныПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныа из прямоугольного треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныимеем: Если треугольники подобны то прямые параллельныт.е. Если треугольники подобны то прямые параллельныПриравнивая два выражения для Если треугольники подобны то прямые параллельныполучаем:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Таким образом, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Тогда из треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныпо теореме Пифагора имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть в треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 119, а) Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажем, что угол Если треугольники подобны то прямые параллельныпрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныс прямым углом Если треугольники подобны то прямые параллельныв котором Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 119, б). По теореме Пифагора Если треугольники подобны то прямые параллельныа с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныТогда Если треугольники подобны то прямые параллельныпо трем сторонам, откуда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Если треугольники подобны то прямые параллельныОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Если треугольники подобны то прямые параллельныдля которых выполняется равенство Если треугольники подобны то прямые параллельныпринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Если треугольники подобны то прямые параллельныне лежит на прямой Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельны— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Если треугольники подобны то прямые параллельныс точкой прямой Если треугольники подобны то прямые параллельныи не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Если треугольники подобны то прямые параллельныНа рисунке 121 отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны— наклонная к прямой Если треугольники подобны то прямые параллельныточка Если треугольники подобны то прямые параллельны— основание наклонной. При этом отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельныпрямой Если треугольники подобны то прямые параллельныограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Если треугольники подобны то прямые параллельнына данную прямую.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

По данным рисунка 123 это означает, что

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— биссектриса треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

В случае, если Если треугольники подобны то прямые параллельныутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Если треугольники подобны то прямые параллельныявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Проведем перпендикуляры Если треугольники подобны то прямые параллельнык прямой Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 124). Прямоугольные треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны, поскольку их острые углы при вершине Если треугольники подобны то прямые параллельныравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны

С другой стороны, прямоугольные треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельнытакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда следует что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Сравнивая это равенство с предыдущем Если треугольники подобны то прямые параллельнычто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— биссектриса прямоугольного треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныс гипотенузой Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 125).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

По свойству биссектрисы треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельны

Тогда если Если треугольники подобны то прямые параллельныи по теореме Пифагора имеем:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны

тогда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть хорды Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекаются в точке Если треугольники подобны то прямые параллельныПроведем хорды Если треугольники подобны то прямые параллельныТреугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны по двум углам: Если треугольники подобны то прямые параллельныкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Если треугольники подобны то прямые параллельныравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Если треугольники подобны то прямые параллельныт.е. Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть из точки Если треугольники подобны то прямые параллельнык окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Если треугольники подобны то прямые параллельныи касательная Если треугольники подобны то прямые параллельны— точка касания). Проведем хорды Если треугольники подобны то прямые параллельныТреугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныподобны по двум углам: у них общий угол Если треугольники подобны то прямые параллельныа углы Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельныизмеряются половиной дуги Если треугольники подобны то прямые параллельны(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Если треугольники подобны то прямые параллельныт.е. Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныпересекаются в точке Если треугольники подобны то прямые параллельныДокажите, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Если треугольники подобны то прямые параллельныЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 129). Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныкак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельныНо углы Если треугольники подобны то прямые параллельнывнутренние накрест лежащие при прямых Если треугольники подобны то прямые параллельныи секущей Если треугольники подобны то прямые параллельныСледовательно, по признаку параллельности прямых Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Если треугольники подобны то прямые параллельныопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Если треугольники подобны то прямые параллельны— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Если треугольники подобны то прямые параллельныпроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Построение:

1.Построим треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныв котором Если треугольники подобны то прямые параллельны

2.Построим биссектрису угла Если треугольники подобны то прямые параллельны

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны

4.Проведем через точку Если треугольники подобны то прямые параллельныпрямую, параллельную Если треугольники подобны то прямые параллельныПусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— точки ее пересечения со сторонами угла Если треугольники подобны то прямые параллельныТреугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныискомый.

Поскольку по построению Если треугольники подобны то прямые параллельныкак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельны— биссектриса и Если треугольники подобны то прямые параллельныпо построению, Если треугольники подобны то прямые параллельны

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Если треугольники подобны то прямые параллельныи ни одного, если Если треугольники подобны то прямые параллельны

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Подобие треугольников

Если треугольники подобны то прямые параллельны
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Если треугольники подобны то прямые параллельны

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы Если треугольники подобны то прямые параллельныравны соответственным углам Δ ABC: Если треугольники подобны то прямые параллельны. Но стороны Если треугольники подобны то прямые параллельныв два раза больше соответственных сторон Δ ABC: Если треугольники подобны то прямые параллельны. Следовательно, треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныне равен треугольнику ABC. Треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи ABC — подобные.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельны= 2АВ, составим отношение этих сторон: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Аналогично получим: Если треугольники подобны то прямые параллельны. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Если треугольники подобны то прямые параллельныи говорим: «Треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельныподобен треугольнику ABC*. Знак Если треугольники подобны то прямые параллельнызаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Если треугольники подобны то прямые параллельны— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Подставим известные длины сторон: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Если треугольники подобны то прямые параллельны, отсюда АВ = 5,6 см; Если треугольники подобны то прямые параллельны

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

  1. определите соответственно равные углы треугольников;
  2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
  3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Докажем, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Поскольку Если треугольники подобны то прямые параллельныто Если треугольники подобны то прямые параллельны

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Из обобщенной теоремы Фалеса, Если треугольники подобны то прямые параллельны

поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Если треугольники подобны то прямые параллельны. Но КА = MN, поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Если треугольники подобны то прямые параллельны‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

  1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
  2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Если треугольники подобны то прямые параллельныНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Если треугольники подобны то прямые параллельныn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Если треугольники подобны то прямые параллельныm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следовательно, их можно приравнять: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Если треугольники подобны то прямые параллельны. Прямые ВС и Если треугольники подобны то прямые параллельныcообразуют с секущей Если треугольники подобны то прямые параллельныравные соответственные углы: Если треугольники подобны то прямые параллельныИз признака параллельности прямых следует, что, Если треугольники подобны то прямые параллельны

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Если треугольники подобны то прямые параллельны, отсекает от треугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныподобный треугольник. Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

  1. выделите их на рисунке;
  2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Если треугольники подобны то прямые параллельны. Тогда:

Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказать: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство. Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны. Отложим на стороне Если треугольники подобны то прямые параллельнытреугольника Если треугольники подобны то прямые параллельныотрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Если треугольники подобны то прямые параллельныИмеем треугольник Если треугольники подобны то прямые параллельны, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Если треугольники подобны то прямые параллельны.

Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Если треугольники подобны то прямые параллельны. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельныИз равенства треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныподобия треугольников Если треугольники подобны то прямые параллельныследует, что Если треугольники подобны то прямые параллельны.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Если треугольники подобны то прямые параллельны

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

  1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
  2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Если треугольники подобны то прямые параллельны

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Если треугольники подобны то прямые параллельны. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Если треугольники подобны то прямые параллельны. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

  1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
  2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Доказательство.

1) Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Если треугольники подобны то прямые параллельныОтсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны= Если треугольники подобны то прямые параллельны.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Если треугольники подобны то прямые параллельны(рис. 302).

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Поэтому Если треугольники подобны то прямые параллельны

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Если треугольники подобны то прямые параллельныno двум углам. В них: Если треугольники подобны то прямые параллельны, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Если треугольники подобны то прямые параллельны(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Если треугольники подобны то прямые параллельны

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть Если треугольники подобны то прямые параллельны— искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть Если треугольники подобны то прямые параллельны= I. Тогда можно построить вспомогательный Если треугольники подобны то прямые параллельныпо двум заданным углам А и С. Через точку Если треугольники подобны то прямые параллельнына биссектрисе ے В ( Если треугольники подобны то прямые параллельны= I) проходит прямая Если треугольники подобны то прямые параллельны, отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины Если треугольники подобны то прямые параллельны, искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного Если треугольники подобны то прямые параллельныАВС.

Построение.

  1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
  2. Проводим биссектрису BL угла В.
  3. На луче BL откладываем отрезок Если треугольники подобны то прямые параллельны= I.
  4. Через точку Если треугольники подобны то прямые параллельны, проводим прямую Если треугольники подобны то прямые параллельны.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Если треугольники подобны то прямые параллельны: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Если треугольники подобны то прямые параллельны= I. Следовательно, Если треугольники подобны то прямые параллельны, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

  1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
  2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
  3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Если треугольники подобны то прямые параллельныЕсли треугольники подобны то прямые параллельны

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Подобные треугольники

Видео:Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Если треугольники подобны то прямые параллельны II признак подобия треугольников

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Если треугольники подобны то прямые параллельны
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Как найти отрезок через подобие треугольников!? Как помогают параллельные прямые?Скачать

Как найти отрезок через подобие треугольников!? Как помогают параллельные прямые?

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

2. Треугольники Если треугольники подобны то прямые параллельныи Если треугольники подобны то прямые параллельны, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Если треугольники подобны то прямые параллельны

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

🔍 Видео

Задание 24 Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Задание 24 Отношение площадей подобных треугольников

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ . §12 геометрия 8 классСкачать

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ . §12 геометрия 8 класс

Где искать подобные треугольники? Параллельность,окружность, ортоцентр (Геометрические конструкции)Скачать

Где искать подобные треугольники?  Параллельность,окружность, ортоцентр (Геометрические конструкции)

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Контрольная работа | Геометрия | 8 класс | Подобные треугольники | Подробный разборСкачать

Контрольная работа | Геометрия | 8 класс | Подобные треугольники | Подробный разбор

Хитрый периметрСкачать

Хитрый периметр

Геометрия. Подобные треугольники. Теория и задачи.Скачать

Геометрия. Подобные треугольники. Теория и задачи.
Поделиться или сохранить к себе: