Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Видео:Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Сумма углов четырехугольника

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:Геометрия Докажите что сумма углов четырехугольника равна 360.Скачать

Геометрия Докажите что сумма углов четырехугольника равна 360.

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьТеорема Птолемея

Видео:Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?Скачать

Уроки геометрии. Чему равна сумма углов четырехугольника?

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Видео:Задание 24 Сумма углов четырехугольникаСкачать

Задание 24  Сумма углов четырехугольника

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

откуда вытекает равенство:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Около четырехугольника можно описать окружность

Теорема (свойство вписанного четырёхугольника)

Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьДано: ABCD вписан в окр. (O; R)

∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.

∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.

Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Что и требовалось доказать.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

Доказать: ABCD можно вписать в окружность

Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.

Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьПусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.

В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.

Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то

∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьПредположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.

Луч AD пересекает окружность в точке E.

Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.

По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.

Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,

∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.

Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Что и требовалось доказать.

На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.

Теорема (Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.

Видео:Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 классСкачать

Сумма углов четырехугольника | Математика 8 класс | Четырехугольник | Геометрия 8 класс

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьВписанные четырехугольники и их свойства
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьТеорема Птолемея

Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрияСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНА 360? #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность, описанная около параллелограмма
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность
Окружность, описанная около параллелограмма
Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№2 - Четырехугольники.)

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Докажем, что справедливо равенство:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

откуда вытекает равенство:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:Вписанный в окружность четырёхугольник.Скачать

Вписанный в окружность четырёхугольник.

Четырехугольник, вписанный в окружность

Определение 1. Четырехугольник называют вписанным в окружность, если все вершины четырехугольника лежат на окружности.

На рисунке 1 четырехугольник ABCD вписан в окружность. В этом случае говорят также, что окружность описан около четырехугольника.

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Теорема 1. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°.

Доказательство. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность (Рис.1). Докажем, что Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность.

Углы A и C являются вписанными. Следовательно:

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность, Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Но Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьСледовательно

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Аналогично можно показать, что Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность.Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Заметим, что из Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьследует Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность, поскольку сумма углов четырехугольника равна 360°.

Как известно, вокруг любого треугольника можно описать окружность (см. статью Окружность, описанная около треугольника). Однако вокруг не каждого четырехугольника можно описать окружность. Например, если параллелограмм не является прямоугольником, то вокруг него не возможно описать окружность. Следующая теорема позволяет распознать четрехугольники, вокруг которых можно описать окружность.

Теорема 2. Если в четырехугольнике сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность.

Доказательство. Пусть задан четырехугольник ABCD и пусть Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. Докажем, что около него можно описать окружность.

Предположим, что около этого четырехугольника невозможно описать окружность. Рассмотрим треугольник ABD и опишем окружность около этого треугольника (как отметили выше около любого треугольника можно описать окружность). Поскольку мы предположили, что у этого четырехугольника невозможно описать окружность, то точка C не принадлежит этой окружности. Поэтому эта точка лежит вне окружности или находится внутри окружности.

Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружностьЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Случай 1. Точка C лежит вне описанной окружности (Рис.2).

Тогда сторона BC пересекает этот окружность. Обозначим эту точку C1. Четырехугольник ABC1D вписан в окружность. Тогда по теореме 1 имеем: Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. Но по условию теоремы Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. Следовательно Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. С другой стороны, угол BC1D является внешним углом треугольника DC1C, т.е. выполняется равенство Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. Получили противоречие, следовательно точка C не может лежать вне окружности.

Случай 2. Точка C лежит внутри описанной окружности (Рис.3).

Проведем прямую BC и точку пересечения прямой и окружности обозначим C1. Получили четырехугольник ABC1D вписанный в окружность. Тогда по теореме 1 имеем: Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. Но по условию данной теоремыЕсли сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. Следовательно, Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность.

С другой стороны, угол C (т.е. угол BCD) является внешним углом треугольника DC1C, т.е. выполняется равенство Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность. Получили противоречие, следовательно точка C не может лежать внутри окружности.

Следовательно точка C лежит на окружности.Если сумма углов четырехугольника равна 360 то можно вписать окружность

Теорема 2 можно рассматривать метод определения принадлежности четырех точек одной окружности. Если четырехугольник вписан в окружность, то существует точка, равноудаленная от всех вершин четырехугольника (это центр окружности). Чтобы найти эту точку достаточно построить серединные перпендикуляры двух соседних сторон четырехугольника и найти точку их пересечения.

📸 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Сумма углов любого треугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов любого треугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

№1082. Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершинеСкачать

№1082. Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине

Сумма углов вписанного четырехугольникаСкачать

Сумма углов вписанного четырехугольника

8 класс. Четырехугольник и окружностьСкачать

8 класс.  Четырехугольник  и окружность

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.Скачать

ВЕБИНАР № 1. Планиметрия. Центральные и вписанные углы. Сумма углов вписанного четырехугольника.

Геометрия. Окружность. Вписанный четырехугольник. Тренажёр ОГЭ.Скачать

Геометрия. Окружность. Вписанный четырехугольник. Тренажёр ОГЭ.

Геометрия 16.04.2020 | Окружность, вписанная в четырёхугольникСкачать

Геометрия 16.04.2020 | Окружность, вписанная в четырёхугольник

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика
Поделиться или сохранить к себе: