Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей |
Общие касательные к двум окружностям |
Формулы для длин общих касательных и общей хорды |
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды |
Видео:Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать
Взаимное расположение двух окружностей
Фигура | Рисунок | Свойства |
Две окружности на плоскости | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой | ||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||
Внутреннее касание двух окружностей | ||
Окружности пересекаются в двух точках | ||
Внешнее касание двух окружностей | ||
Внешняя касательная к двум окружностям | |
Внутренняя касательная к двум окружностям | |
Внутреннее касание двух окружностей | |
Окружности пересекаются в двух точках | |
Внешнее касание двух окружностей | |
Каждая из окружностей лежит вне другой | |
Внешняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | |||||||||||||||||||||
Внутреннее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||
Окружности пересекаются в двух точках | |||||||||||||||||||||
Внешнее касание двух окружностей | |||||||||||||||||||||
Каждая из окружностей лежит вне другой | |||||||||||||||||||||
Фигура | Рисунок | Формула | ||||||||||||
Внешняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||||||||||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Внешняя касательная к двум окружностям | ||||
Внутренняя касательная к двум окружностям | ||||
Общая хорда двух пересекающихся окружностей | ||||
Внешняя касательная к двум окружностям |
Внутренняя касательная к двум окружностям |
Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле Видео:Как найти расстояние между центрами | Олимпиадная математикаСкачать Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Видео:Расстояние между центрами. Окружность. Математика 10-11 классы.Скачать Если расстояние между двумя центрами двух окружностейКакое из следующих утверждений верно? 1) Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются. 2) Вписанные углы окружности равны. 3) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. 4) Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность. Проверим каждое из утверждений. 1) «Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются.» — неверно, если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то эти окружности касаются. 2) «Вписанные углы окружности равны.» — неверно, угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Они равны тогда, когда опираются на одну и ту же дугу. 3) «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.» — верно, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 4) «Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.» — неверно, некоторые точки могут не попасть на окружность. Видео:Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются. Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно. Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1). Теорема. Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются. Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1. Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются. Следствие. Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам. Теоремы. 1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются. 2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении. Признаки различных случаев относительного положения окружностей. Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d. Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях: 1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 . 2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1. 3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон. 4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1. 5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно, d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь. 2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне. 3. Если d R — R1, то окружности пересекаются. 4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри. 5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны. 🎦 ВидеоВзаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 классСкачать Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограммеСкачать Планиметрия 11 |mathus.ru| расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать М1152. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностейСкачать 1 2 4 сопряжение окружностейСкачать Сможешь найти расстояние между центрами пересекающихся окружностей?Скачать Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать расстояние между центрамиСкачать ✓ Как найти второй радиус? | Ботай со мной #105 | Борис ТрушинСкачать Расстояние между параллельными прямымиСкачать Физика Расстояние между центрами двух одинаковых шаров равно 1 м. При какой массе шаров ониСкачать Длина отрезкаСкачать |