Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Геометрия. 8 класс

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Свойства хорд окружности
Теорема: Радиус, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам.

Дано: окружность с центром O, AB – хорда, OCAB
Доказать: AM = MB
Доказательство:
Проведём радиусы OA и .

AOB — равнобедренный, OMAB, следовательно OM – медиана, AM = MB
Утверждение доказано.
Обратная теорема: если радиус окружности делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дано: окружность с центром O, AB – хорда, AM = MB
Доказать: OCAB
Докажите самостоятельно.
Докажем еще одно свойство хорд окружности: Дуги, заключенные между равными хордами, равны.

Дано: окружность с центром O, AB и CD – хорды, AB = CD
Доказать: ∪AB = ∪CD
Доказательство:
Проведём радиусы ОА, ОВ, ОС и ОD
AOB = ∆ COD (по трём сторонам: два радиуса и равные хорды), следовательно ∠COD = ∠BOA. Они являются центральными углами окружности. Значит, равны дуги, на которые они опираются, т.е. ∪AB = ∪CD
Самостоятельно докажите утверждение: Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Дано: окружность с центром O, AB и CD – хорды, AB || CD
Доказать: ∪AC = ∪DB

Теорема об отрезках пересекающихся дуг
Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Дано: окружность c центром O, AB и CD – хорды, M – точка пересечения хорд

Доказать: AMMB = CMMD.
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ADM и BDM.

В этих треугольниках ∠ACM = ∠DBM как вписанные опирающиеся на одну и ту же дугу AD.
CMB = ∠DMA (вертикальные)
По первому признаку подобия треугольников
ACM

DBM, отсюда следует равенство отношений
AM/DM = CM/BM, следовательно
AMMB = CMMD
Утверждение доказано.
Найдите в справочниках другие свойства хорд, докажите их самостоятельно.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности

Видео:Радиус перпендикулярен хордеСкачать

Радиус перпендикулярен хорде

Радиус окружности перпендикулярен хорде. Найдите расстояние от центра окружности до хорды, если длина хорды равна 8 см, а радиус — 5 см.

Видео:Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Ваш ответ

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,909
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоСвойства хорд и дуг окружности
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоТеорема о бабочке

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности тоДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1Скачать

№667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает ее в точке С. Найдите BB1

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЕсли радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Пересекающиеся хорды
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то
Пересекающиеся хорды
Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Видео:Радиус перпендикулярен хордеСкачать

Радиус перпендикулярен хорде

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Тогда справедливо равенство

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Радиус перпендикулярный хорде делит ее пополамСкачать

Радиус  перпендикулярный хорде делит ее пополам

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность | ГеометрияСкачать

Доказательство того, что радиус перпендикулярен касательной | Окружность |  Геометрия

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Покажем, что (angle DMB = dfrac (buildrelsmileover — buildrelsmileover )) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = frac buildrelsmileover — frac buildrelsmileover = frac (buildrelsmileover — buildrelsmileover )) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileover right)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover ) .

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover ) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover ) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover ) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac ) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

Видео:Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .

Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Если радиус окружности перпендикулярен хорде окружности то

Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

🎬 Видео

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте Сегмента

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математикеСкачать

№17 Лемма о трезубце | Вписанная и вневписанная окружности | Это будет на ЕГЭ 2024 по математике

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды
Поделиться или сохранить к себе: