Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Содержание
  1. Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?
  2. В трапеции ABCD AD — большее основание?
  3. В трапеции АВСД АД — большее основание?
  4. Меньшее основание BC трапеции ABCD равно 7 см через вершину B проведена Прямая параллельная стороне CD периметр отсекаемого от трапеции треугольник равен 16 см Найдите периметр трапеции?
  5. Дана трапеция ABCD?
  6. Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?
  7. Дана трапеция ABCD Прямая проведенная из вершины B параллельно к боковой стороне CD пересекает большее основание в точке Е Периметр треугольника АВЕ равен 18 дм а отрезок ED 5 дм Найдите периметр трап?
  8. В трапеции со средней линией 40 прямая, проходящая через одну из ее вершин, параллельно боковой стороне, пересекает среднюю линию трапеции в ее середине?
  9. В трапеции ABCD AD — большее основание?
  10. Известно что AD большее основание трапеции?
  11. В трапеции ABCD AD — большее основание?
  12. Трапеция. Свойства трапеции
  13. Свойства трапеции
  14. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  15. Вписанная окружность
  16. Площадь
  17. 🎦 Видео

Видео:Урок 2. №23 ОГЭ. О боковой стороне трапеции, если ее угол В=60 и С=135 градусов. Соотношения сторонСкачать

Урок 2. №23 ОГЭ.  О боковой стороне трапеции, если ее угол В=60 и С=135 градусов. Соотношения сторон

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?

Геометрия | 5 — 9 классы

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ.

Она пересекает большое основание AD в точке К.

Периметр трапеции ABCD равен 37см, DK = 6cм, АК = 9 см.

Вычеслите : а) длину средней линии трапеции ; б) периметр треугольника KCD.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Mn — средняя линия = полусуммеоснований = 12.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:35. Геометрия на ЕГЭ по математике. Трапеция.Скачать

35. Геометрия на ЕГЭ по математике. Трапеция.

В трапеции ABCD AD — большее основание?

В трапеции ABCD AD — большее основание.

Через вершину C проведена прямая параллельная AB, до пересечения с AD в точке E.

DE = 6см, AE = 11см.

Найти : 1) длину средней линии трапеции.

2)Периметр трапеции если периметр треугольника CDE равен 21см.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Сложные примеры с поиском периметра 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Сложные примеры с поиском периметра 3 задание проф. ЕГЭ по математике

В трапеции АВСД АД — большее основание?

В трапеции АВСД АД — большее основание.

Через вершину С проведена прямая, параллельная АВ, до пересечения с АД в точке Е, ДЕ = 6см, АЕ = 9см.

Найдите длинну средней линии трапеции, периметр трапеции, если периметр треугольника равен СДЕ 19 см.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Меньшее основание BC трапеции ABCD равно 7 см через вершину B проведена Прямая параллельная стороне CD периметр отсекаемого от трапеции треугольник равен 16 см Найдите периметр трапеции?

Меньшее основание BC трапеции ABCD равно 7 см через вершину B проведена Прямая параллельная стороне CD периметр отсекаемого от трапеции треугольник равен 16 см Найдите периметр трапеции.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Дана трапеция ABCD?

Дана трапеция ABCD.

Прямая, проведенная из вершины B параллельно к боковой стороне CD, пересекает большее основание в точке E.

Периметр треугольника ABE равен 18 дм, а отрезок ED = 5 дм.

Найдите периметр данной трапеции.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:№1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основаниеСкачать

№1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основание

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ.

Она пересекает большое основание AD в точке К.

Периметр трапеции ABCD равен 37см, DK = 6cм, АК = 9 см.

Вычеслите : а) длину средней линии трапеции ; б) периметр треугольника KCD.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27835Скачать

ЕГЭ Математика Задание 6#27835

Дана трапеция ABCD Прямая проведенная из вершины B параллельно к боковой стороне CD пересекает большее основание в точке Е Периметр треугольника АВЕ равен 18 дм а отрезок ED 5 дм Найдите периметр трап?

Дана трапеция ABCD Прямая проведенная из вершины B параллельно к боковой стороне CD пересекает большее основание в точке Е Периметр треугольника АВЕ равен 18 дм а отрезок ED 5 дм Найдите периметр трапеци.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:№1,16 Свойства трапеции. Планиметрия ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

№1,16 Свойства трапеции. Планиметрия ЕГЭ 2023 по математике

В трапеции со средней линией 40 прямая, проходящая через одну из ее вершин, параллельно боковой стороне, пересекает среднюю линию трапеции в ее середине?

В трапеции со средней линией 40 прямая, проходящая через одну из ее вершин, параллельно боковой стороне, пересекает среднюю линию трапеции в ее середине.

Большее основание трапеции равно — ?

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

В трапеции ABCD AD — большее основание?

В трапеции ABCD AD — большее основание.

Через вершину В проведена прямая, параллельная CD в точке Е, ВС = 7см.

Найдите : а)длину средней линии трапеции ; б)периметр трапеции , если периметр треугольника АВЕ равен 17 см.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:№16 ЕГЭ 2022 по профильной математике. Построения в трапеции. ПланиметрияСкачать

№16 ЕГЭ 2022 по профильной математике. Построения в трапеции. Планиметрия

Известно что AD большее основание трапеции?

Известно что AD большее основание трапеции.

Через вершину B провели прямую, параллельную стороне CD и пересекающую основание AD в точке M.

Периметр трапеции ABCD равен 24 см, а основание BC = 6 см.

Найдите периметр треугольника ABM.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать

Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профиль

В трапеции ABCD AD — большее основание?

В трапеции ABCD AD — большее основание.

Через вершину C проведена прямая параллельная AB, до пересечения с AD в точке E.

DE = 6 см, AE = 9 см.

Найти : 1) длину средней линии трапеции.

2)Периметр трапеции если периметр треугольника CDE равен 19см.

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Линия МN — это средняя линия, а она равна половине основания на против которого находится, то есть 48÷2 = 24.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Делим АВ на ТРИ части и получаем АС 9 см : 3 = 3 см — АС 3 см * 2 = 6 см — ВС — в два раза больше.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Боковые грани призмы — параллелограммы, и площадь каждого равна произведению высоты на основание. Примем за основания граней (параллелограммов) боковые ребра. Они равны, а высоты — стороны треугольника в перпендикулярного сечения призмы, они разной..

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Координаты вектора АВ будет [1 ; — 3], так как : ( — 3) + 4 = 1, а ( — 2) + ( — 1) = — 3.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Пусть угол3 = х угол3 = угол1 угол2 = х — 30 угол2 = угол4 сумма всех углов равна 360 получаем уравнение 2х + 2(х — 30) = 360 2х + 2х — 60 = 360 4х — 60 = 360 4х = 420 х = 105 угол3 = 105 градусов.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Если сторона равностороннего треугольника равна а, то его площадь будет равна площадь основания по условию поэтому сторона основания a ^ 2 * sqrt(3) / 4 = 4sqrt(3) a ^ 2 = 14 a = 4 см — — — — — — — — — — — — — — — — — — Боковая поверхность состоит и..

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Метод координат довольно громоздкий, но, если просят. : ) Расположим начало координат в точке А, ось Х вправо, ось Y вверх А(0 ; 0) C(7 ; 0) Уравнение окружности радиусом 5 с началом в А x² + y² = 5² Уравнение окружности радиусом 3√2 с началом в C (..

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

2х + 2(х + 25)≔130 2х + 2х + 50≔130 4х≔80 х≔20.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

АЕ = ЕD = 2, 5 АD = АЕ + ЕD = 2, 5 + 2, 5 = 5 Р = АD + АС + СD = 5 + 3 + 4 = 12 Ответ : 12.

Видео:№16 со Всероссийского пробника по математике ЕГЭ 2022. Трапеция и подобияСкачать

№16 со Всероссийского пробника по математике ЕГЭ 2022. Трапеция и подобия

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис ТрушинСкачать

✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис Трушин

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

3. Треугольники Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой сторонеи Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Отношение площадей этих треугольников есть Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

4. Треугольники Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой сторонеи Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронтали

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой сторонеи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой сторонеи Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне, то Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Площадь

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой сторонеили Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой сторонегде Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне– средняя линия

Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

🎦 Видео

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

8 класс, 6 урок, Трапеция

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Прямая, проведенная параллельно ... ✘ Школа ПифагораСкачать

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Прямая, проведенная параллельно ... ✘ Школа Пифагора

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline
Поделиться или сохранить к себе: