Если провести прямую из вершины трапеции параллельно боковой стороне

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

Видео:Урок 2. №23 ОГЭ. О боковой стороне трапеции, если ее угол В=60 и С=135 градусов. Соотношения сторонСкачать

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?

Геометрия | 5 — 9 классы

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ.

Она пересекает большое основание AD в точке К.

Периметр трапеции ABCD равен 37см, DK = 6cм, АК = 9 см.

Вычеслите : а) длину средней линии трапеции ; б) периметр треугольника KCD.

Mn — средняя линия = полусуммеоснований = 12.

Видео:35. Геометрия на ЕГЭ по математике. Трапеция.Скачать

В трапеции ABCD AD — большее основание?

В трапеции ABCD AD — большее основание.

Через вершину C проведена прямая параллельная AB, до пересечения с AD в точке E.

DE = 6см, AE = 11см.

Найти : 1) длину средней линии трапеции.

2)Периметр трапеции если периметр треугольника CDE равен 21см.

Видео:Сложные примеры с поиском периметра 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

В трапеции АВСД АД — большее основание?

В трапеции АВСД АД — большее основание.

Через вершину С проведена прямая, параллельная АВ, до пересечения с АД в точке Е, ДЕ = 6см, АЕ = 9см.

Найдите длинну средней линии трапеции, периметр трапеции, если периметр треугольника равен СДЕ 19 см.

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Меньшее основание BC трапеции ABCD равно 7 см через вершину B проведена Прямая параллельная стороне CD периметр отсекаемого от трапеции треугольник равен 16 см Найдите периметр трапеции?

Меньшее основание BC трапеции ABCD равно 7 см через вершину B проведена Прямая параллельная стороне CD периметр отсекаемого от трапеции треугольник равен 16 см Найдите периметр трапеции.

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Дана трапеция ABCD?

Дана трапеция ABCD.

Прямая, проведенная из вершины B параллельно к боковой стороне CD, пересекает большее основание в точке E.

Периметр треугольника ABE равен 18 дм, а отрезок ED = 5 дм.

Найдите периметр данной трапеции.

Видео:№1034. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой стороне, большее основаниеСкачать

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?

Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ.

Она пересекает большое основание AD в точке К.

Периметр трапеции ABCD равен 37см, DK = 6cм, АК = 9 см.

Вычеслите : а) длину средней линии трапеции ; б) периметр треугольника KCD.

Видео:ЕГЭ Математика Задание 6#27835Скачать

Дана трапеция ABCD Прямая проведенная из вершины B параллельно к боковой стороне CD пересекает большее основание в точке Е Периметр треугольника АВЕ равен 18 дм а отрезок ED 5 дм Найдите периметр трап?

Дана трапеция ABCD Прямая проведенная из вершины B параллельно к боковой стороне CD пересекает большее основание в точке Е Периметр треугольника АВЕ равен 18 дм а отрезок ED 5 дм Найдите периметр трапеци.

Видео:№1,16 Свойства трапеции. Планиметрия ЕГЭ 2023 по математикеСкачать

В трапеции со средней линией 40 прямая, проходящая через одну из ее вершин, параллельно боковой стороне, пересекает среднюю линию трапеции в ее середине?

В трапеции со средней линией 40 прямая, проходящая через одну из ее вершин, параллельно боковой стороне, пересекает среднюю линию трапеции в ее середине.

Большее основание трапеции равно — ?

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

В трапеции ABCD AD — большее основание?

В трапеции ABCD AD — большее основание.

Через вершину В проведена прямая, параллельная CD в точке Е, ВС = 7см.

Найдите : а)длину средней линии трапеции ; б)периметр трапеции , если периметр треугольника АВЕ равен 17 см.

Видео:№16 ЕГЭ 2022 по профильной математике. Построения в трапеции. ПланиметрияСкачать

Известно что AD большее основание трапеции?

Известно что AD большее основание трапеции.

Через вершину B провели прямую, параллельную стороне CD и пересекающую основание AD в точке M.

Периметр трапеции ABCD равен 24 см, а основание BC = 6 см.

Найдите периметр треугольника ABM.

Видео:Планиметрия с нуля и до уровня ЕГЭ 2023 за 4 часа | Вся теория по №1,16 | Математика профильСкачать

В трапеции ABCD AD — большее основание?

В трапеции ABCD AD — большее основание.

Через вершину C проведена прямая параллельная AB, до пересечения с AD в точке E.

DE = 6 см, AE = 9 см.

Найти : 1) длину средней линии трапеции.

2)Периметр трапеции если периметр треугольника CDE равен 19см.

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Через вершину С трапеция ABCD проведена прямая, параллельна боковой стороне АВ?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Линия МN — это средняя линия, а она равна половине основания на против которого находится, то есть 48÷2 = 24.

Делим АВ на ТРИ части и получаем АС 9 см : 3 = 3 см — АС 3 см * 2 = 6 см — ВС — в два раза больше.

Боковые грани призмы — параллелограммы, и площадь каждого равна произведению высоты на основание. Примем за основания граней (параллелограммов) боковые ребра. Они равны, а высоты — стороны треугольника в перпендикулярного сечения призмы, они разной..

Координаты вектора АВ будет [1 ; — 3], так как : ( — 3) + 4 = 1, а ( — 2) + ( — 1) = — 3.

Пусть угол3 = х угол3 = угол1 угол2 = х — 30 угол2 = угол4 сумма всех углов равна 360 получаем уравнение 2х + 2(х — 30) = 360 2х + 2х — 60 = 360 4х — 60 = 360 4х = 420 х = 105 угол3 = 105 градусов.

Если сторона равностороннего треугольника равна а, то его площадь будет равна площадь основания по условию поэтому сторона основания a ^ 2 * sqrt(3) / 4 = 4sqrt(3) a ^ 2 = 14 a = 4 см — — — — — — — — — — — — — — — — — — Боковая поверхность состоит и..

Метод координат довольно громоздкий, но, если просят. : ) Расположим начало координат в точке А, ось Х вправо, ось Y вверх А(0 ; 0) C(7 ; 0) Уравнение окружности радиусом 5 с началом в А x² + y² = 5² Уравнение окружности радиусом 3√2 с началом в C (..

2х + 2(х + 25)≔130 2х + 2х + 50≔130 4х≔80 х≔20.

АЕ = ЕD = 2, 5 АD = АЕ + ЕD = 2, 5 + 2, 5 = 5 Р = АD + АС + СD = 5 + 3 + 4 = 12 Ответ : 12.

Видео:№16 со Всероссийского пробника по математике ЕГЭ 2022. Трапеция и подобияСкачать

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Видео:✓ Как решить трапецию | ЕГЭ-2020. Задание 16. Профильный уровень. Основная волна | Борис ТрушинСкачать

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

🎦 Видео

8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

ЕГЭ 2017 | Задание 3 | Прямая, проведенная параллельно ... ✘ Школа ПифагораСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать