Если окружность сжимать до эллипса

Если окружность сжимать до эллипса

Пусть, наконец, из точки P проведены к эллипсу две взаимно перпендикулярные касательные t1 и t2 (см. Рис. 17).

Если окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипса

Отразим фокус Если окружность сжимать до эллипсаотносительно прямой t2 и полученную точку Если окружность сжимать до эллипсасоединим с F. Очевидно, что Если окружность сжимать до эллипсаи угол Если окружность сжимать до эллипса— прямой (последнее следует из того, что угол между t1 и t2 прямой, и второй теоремы Понселе); следовательно Если окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипса. Но Если окружность сжимать до эллипса; поэтому Если окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипса. С другой стороны, PO — медиана треугольника Если окружность сжимать до эллипса, так что Если окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипса. Учитывая предыдущее равенство получаем: PO 2 = 2a 2 — c 2 или PO 2 = (a 2 — c 2 ) + a 2 = a 2 + b 2 , т. е. вершины прямых углов, стороны которых касаются эллипса, расположены на окружности радиуса Если окружность сжимать до эллипсас центром в центре эллипса.

Эллипс как результат сжатия окружности. Пусть точка M, принадлежащая эллипсу, удалена от главной оси x на расстояние MM1 = y, а от главной оси y — на расстояние MM2 = x (см. Рис. 18). Симметрия эллипса позволяет ограничиться рассмотрением точек эллипса, расположенных внутри одного из прямых углов, образованных главными осями x и y. Из соотношений (2) следует:

Если окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипса

После исключения r и d, получим:

Если окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипса

откуда, умножая обе части равенства на a и учитывая соотношения (2), найдем окончательно:

Если окружность сжимать до эллипса Если окружность сжимать до эллипса(3)

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Что такое эллипс: формула длины окружности эллипса

Видео:Аналитическая геометрия: окружность и эллипсСкачать

Аналитическая геометрия: окружность и эллипс

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Если окружность сжимать до эллипса,

где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Понятие алгебраической линии и её порядка

Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид Если окружность сжимать до эллипса, где Если окружность сжимать до эллипса, где Если окружность сжимать до эллипса– многочлен, состоящий из слагаемых вида Если окружность сжимать до эллипса( Если окружность сжимать до эллипса( Если окружность сжимать до эллипса– действительное число, Если окружность сжимать до эллипса– целые неотрицательные числа).

Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательныхстепенях.

Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости

Порядок линии равен максимальному значению Если окружность сжимать до эллипсавходящих в него слагаемых.

По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат , поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах Если окружность сжимать до эллипса.

Общее уравнение линии второго порядка имеет вид Если окружность сжимать до эллипса, где Если окружность сжимать до эллипса, где Если окружность сжимать до эллипса– произвольные действительные числа ( Если окружность сжимать до эллипса принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Если окружность сжимать до эллипса принято записывать с множителем-«двойкой»), причём коэффициенты Если окружность сжимать до эллипсане равны одновременно нулю.

Если Если окружность сжимать до эллипса, то уравнение упрощается до Если окружность сжимать до эллипса, то уравнение упрощается до Если окружность сжимать до эллипса, и если коэффициенты Если окружность сжимать до эллипсаодновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой , которая представляет собой линию первого порядка.

Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемыееё уравнения и у каждого из них найти сумму степенейвходящих переменных.

слагаемое Если окружность сжимать до эллипсасодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Если окружность сжимать до эллипсасодержит «икс» в 1-й степени;
слагаемое Если окружность сжимать до эллипсасодержит «игрек» в 1-й степени;
в слагаемом Если окружность сжимать до эллипсапеременные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна нулю.

Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии.

Теперь разберёмся, почему уравнение Если окружность сжимать до эллипсазадаёт линию второго порядка:

слагаемое Если окружность сжимать до эллипсасодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Если окружность сжимать до эллипсасодержит «икс» во 2-й степени;
у слагаемого Если окружность сжимать до эллипсасумма степеней переменных: 1 + 1 = 2;
слагаемое Если окружность сжимать до эллипсасодержит «игрек» во 2-й степени;
все остальные слагаемые – меньшей степени.

Максимальное значение: 2

Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, Если окружность сжимать до эллипса, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Если окружность сжимать до эллипса, то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём:
Если окружность сжимать до эллипса, где коэффициенты Если окружность сжимать до эллипсане равны одновременно нулю.

В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат Если окружность сжимать до эллипса, то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, и т.д.

С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат .

Однако вернёмся к общему уравнению Если окружность сжимать до эллипсаи вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Если окружность сжимать до эллипсаи вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола Если окружность сжимать до эллипса, уравнение которой легко привести к общему виду Если окружность сжимать до эллипса, и гипербола Если окружность сжимать до эллипса, и гипербола Если окружность сжимать до эллипсас эквивалентным уравнением Если окружность сжимать до эллипса. Однако не всё так гладко….

Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае Если окружность сжимать до эллипсане сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .

Видео:Оптическое свойство эллипса и его применение в медицинеСкачать

Оптическое свойство эллипса и его применение в медицине

Определение эллипсa

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек F1 и F2 равна постоянной величине. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.

Если окружность сжимать до эллипсаЕсли окружность сжимать до эллипса
Рис.1Рис.2

Видео:§17 Определение эллипсаСкачать

§17 Определение эллипса

Формула площади эллипса через каноническое уравнение

Формула для нахождения площади в этом случае такова:

a , b – большая и мала полуоси эллипса, соответственно.

Решим задачу этим способом.

Дано уравнение эллипса. Найти его площадь и округлить ответ до целого числа.

2 5 x 2 ​ + 9 y 2 ​ = 1

Решение

Для начала найдем длины наших полуосей:

a = a 2 ​ = 2 5 ​ = 5

S = π ⋅ a ⋅ b = π ⋅ 5 ⋅ 3 ≈ 4 7 (см. кв.)

Ответ: 47 см. кв.

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Соотношения между элементами эллипса

Если окружность сжимать до эллипса

  • Малая полуось: Если окружность сжимать до эллипса;
  • Расстояние от фокуса до ближней вершины : Если окружность сжимать до эллипса;
  • Расстояние от фокуса до дальней вершины : Если окружность сжимать до эллипса;
  • Связь фокального параметра с полуосями и фокусным расстоянием:
    • Если окружность сжимать до эллипса;
    • Если окружность сжимать до эллипса;
    • Если окружность сжимать до эллипса;
    • Если окружность сжимать до эллипса;
  • Связь фокального параметра с удалением вершин от данного фокуса:
    • Если окружность сжимать до эллипса;
    • Если окружность сжимать до эллипса;

Видео:Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интегралаСкачать

Длина эллипса и разложение в ряд для эллиптического интеграла

Элементы эллипсa

А1А2 = 2 a – большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса)

B1B2 = 2 b – малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр)

a – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

O – центр эллипса (точка пересечения большей и малой осей эллипса)

Эксцентриситет эллипсa e характеризует его растяженность и определяется отношением фокального расстояния c к большой полуоси a . Для эллипсa эксцентриситет всегда будет 0 e e = 0, для параболы e = 1, для гиперболы e > 1.

e =c
a

Радиус эллипсa R – отрезок, соединяющий центр эллипсa О с точкой на эллипсе.

R =ab=b
√ a 2 sin 2 φ + b 2 cos 2 φ√ 1 – e 2 cos 2 φ

где e – эксцентриситет эллипсa, φ – угол между радиусом и большой осью A1A2.

p =b 2
a

Коэффициент сжатия эллипсa (эллиптичность) k – отношение длины малой полуоси к большой полуоси. Так как малая полуось эллипсa всегда меньше большей, то k k = 1:

k =b
a

где e – эксцентриситет.

1 – k =a – b
a

Видео:10 Окружность и эллипсСкачать

10 Окружность и эллипс

Что такое канонический вид уравнения?

Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению Если окружность сжимать до эллипса «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Если окружность сжимать до эллипса «плоской» прямой , во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка Если окружность сжимать до эллипса и направляющий вектор Если окружность сжимать до эллипса.

Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй:

Видео:Изображение окружности в перспективе. Эллипс.Скачать

Изображение окружности в перспективе. Эллипс.

Связанные определения

  • Отрезок AB, проходящий через фокусы эллипса, концы которого лежат на эллипсе, называется большой осью данного эллипса. Длина большой оси равна 2a в вышеприведённом уравнении.
  • Отрезок CD, перпендикулярный большой оси эллипса, проходящий через центральную точку большой оси, концы которого лежат на эллипсе, называется малой осью эллипса.
  • Точка пересечения большой и малой осей эллипса называется его центром.
  • Точка пересечения эллипса с осями называются его вершинами.
  • Отрезки, проведённые из центра эллипса к вершинам на большой и малой осях называются, соответственно, большой полуосью и малой полуосью эллипса, и обозначаются a и b.
  • Расстояния r1 и r2 от каждого из фокусов до данной точки на эллипсе называются фокальными радиусами в этой точке.
  • Расстояние Если окружность сжимать до эллипсаназывается фокальным расстоянием.
  • Эксцентриситетом эллипса называется отношение Если окружность сжимать до эллипса. Эксцентриситет (также обозначается ε) характеризует вытянутость эллипса изменяется. Чем эксцентриситет ближе к нулю, тем эллипс больше напоминает окружность и наоборот, чем эксцентриситет ближе к единице, тем он более вытянут.
  • Фокальным параметромЕсли окружность сжимать до эллипсаназывается половина длины хорды , проходящей через фокус и перпендикулярной большой оси эллипса.
  • Отношение длин малой и большой полуосей называется коэффициентом сжатия эллипса или эллиптичностью: Если окружность сжимать до эллипса. Величина, равная Если окружность сжимать до эллипсаназывается сжатием эллипса. Для окружности коэффициент сжатия равен единице, сжатие — нулю. Коэффициент и эксцентриситет эллипса связаны соотношением Если окружность сжимать до эллипса

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Расчет площади

Если окружность сжимать до эллипса

  • Большая полуось эллипса является максимальным расстоянием от его центра до края. [1]

Если окружность сжимать до эллипса

  • Малая полуось эллипса расположена под прямым углом 90º к его большой полуоси, однако для нахождения площади нет необходимости определять углы.
  • Малая полуось эллипса является минимальным расстоянием от его центра до края.

Если окружность сжимать до эллипса

  • Например, если большая полуось эллипса равна 5 единицам, а малая 3 единицам длины, то получим площадь 5 x 3 x π, или около 47 квадратных единиц длины.
  • Если у вас нет под рукой калькулятора или на калькуляторе нет символа π, используйте вместо этого числа значение “3,14”.

Видео:4K Построение эллипса по точкам, ellipse constructionСкачать

4K Построение эллипса по точкам, ellipse construction

Объяснение метода

Если окружность сжимать до эллипса

Если окружность сжимать до эллипса

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипсана рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Если окружность сжимать до эллипса,

где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Если окружность сжимать до эллипса

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Если окружность сжимать до эллипса Если окружность сжимать до эллипса Если окружность сжимать до эллипсаперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Если окружность сжимать до эллипса. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Если окружность сжимать до эллипса, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Если окружность сжимать до эллипса

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса.

Точки Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипса, обозначенные зелёным на большей оси, где

Если окружность сжимать до эллипса,

называются фокусами.

Если окружность сжимать до эллипса

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует “сплюснутость” эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

– если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

– если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Если окружность сжимать до эллипса

Результат – каноническое уравнение эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Если окружность сжимать до эллипса.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Если окружность сжимать до эллипса.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Если окружность сжимать до эллипса

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Если окружность сжимать до эллипса.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса.

Получаем фокусы эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Классификация линий второго порядка

С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов:

( Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипса– положительные действительные числа)

1) Если окружность сжимать до эллипса– каноническое уравнение эллипса;

2) Если окружность сжимать до эллипса– каноническое уравнение гиперболы;

3) Если окружность сжимать до эллипса– каноническое уравнение параболы;

4) Если окружность сжимать до эллипсамнимый эллипс;

5) Если окружность сжимать до эллипса– пара пересекающихся прямых;

6) Если окружность сжимать до эллипса– пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат);

7) Если окружность сжимать до эллипса– пара параллельных прямых;

Если окружность сжимать до эллипса Если окружность сжимать до эллипса– пара мнимых параллельных прямых;

9) Если окружность сжимать до эллипса– пара совпавших прямых.

У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение Если окружность сжимать до эллипсазадаёт пару прямых Если окружность сжимать до эллипсазадаёт пару прямых Если окружность сжимать до эллипса, параллельных оси Если окружность сжимать до эллипса, и возникает вопрос: а где же уравнение Если окружность сжимать до эллипса, и возникает вопрос: а где же уравнение Если окружность сжимать до эллипса, определяющее прямые Если окружность сжимать до эллипса, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Если окружность сжимать до эллипса, параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые Если окружность сжимать до эллипсапредставляют собой тот же самый стандартный случай Если окружность сжимать до эллипса, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Если окружность сжимать до эллипса, повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись Если окружность сжимать до эллипсав классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового.

Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола .

Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова.

Видео:Построение эллипса по восьми точкам в прямоугольной диметрииСкачать

Построение эллипса по восьми точкам в прямоугольной диметрии

Что такое эллипс и фокусное расстояние

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой , то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние = – фокусное расстояние.

Если окружность сжимать до эллипса

Если окружность сжимать до эллипса– половина расстояния между фокусами;

Если окружность сжимать до эллипса– большая полуось;

Если окружность сжимать до эллипса– малая полуось.

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

Если точка Если окружность сжимать до эллипсанаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка Если окружность сжимать до эллипсанаходится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Как построить эллипс?

Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом:

Построить эллипс, заданный уравнением Если окружность сжимать до эллипса

Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду:
Если окружность сжимать до эллипса

Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения Если окружность сжимать до эллипсазаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Если окружность сжимать до эллипсазаключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках Если окружность сжимать до эллипса. Легко заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению Если окружность сжимать до эллипса.

В данном случае Если окружность сжимать до эллипса:
Если окружность сжимать до эллипса:
Если окружность сжимать до эллипса
Отрезок Если окружность сжимать до эллипсаназывают большой осью эллипса;
отрезок Если окружность сжимать до эллипсаназывают большой осью эллипса;
отрезок Если окружность сжимать до эллипсамалой осью;
число Если окружность сжимать до эллипсаназывают большой полуосью эллипса;
число Если окружность сжимать до эллипсаназывают большой полуосью эллипса;
число Если окружность сжимать до эллипсамалой полуосью.
в нашем примере: Если окружность сжимать до эллипса.

Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения.

Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы . И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения.

По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями Если окружность сжимать до эллипса. Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки.

Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса Если окружность сжимать до эллипсана черновике быстренько выражаем:
Если окружность сжимать до эллипсана черновике быстренько выражаем:
Если окружность сжимать до эллипса

Далее уравнение распадается на две функции:
Если окружность сжимать до эллипса– определяет верхнюю дугу эллипса;
Если окружность сжимать до эллипса– определяет верхнюю дугу эллипса;
Если окружность сжимать до эллипса– определяет нижнюю дугу эллипса.

Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция Если окружность сжимать до эллипса. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Если окружность сжимать до эллипса. Напрашивается нахождение дополнительных точек с абсциссами Если окружность сжимать до эллипса. Настукаем три смс-ки на калькуляторе:
Если окружность сжимать до эллипса
Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения.

Отметим на чертеже точки Если окружность сжимать до эллипса(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Если окружность сжимать до эллипса(красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию:
Если окружность сжимать до эллипса
Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая?

Видео:Построение касательных к эллипсу. Изображение конусаСкачать

Построение касательных к эллипсу. Изображение конуса

Свойства

  • Фокальное свойство. Если F1 и F2 — фокусы эллипса, то для любой точки X, принадлежащей эллипсу, угол между касательной в этой точке и прямой (F1X) равен углу между этой касательной и прямой (F2X) .
  • Прямая, проведённая через середины отрезков, отсечённых двумя параллельными прямыми, пересекающими эллипс, всегда будет проходить через центр эллипса. Это позволяет построением с помощью циркуля и линейки легко получить центр эллипса, а в дальнейшем оси, вершины и фокусы.
  • Эволютой эллипса является астроида .

Эллипс также можно описать как

  • фигуру, которую можно получить из окружности , применяя аффинное преобразование
  • ортогональную проекцию окружности на плоскость .
  • Пересечение плоскости и кругового цилиндра

Видео:Окружность. Эллипс.Скачать

Окружность. Эллипс.

Формула длины окружности эллипса

Хотя рассматриваемая фигура является достаточно простой, длину ее окружности точно можно определить, если вычислить так называемые эллиптические интегралы второго рода. Однако, индусский математик-самоучка Рамануджан еще в начале XX века предложил достаточно простую формулу длины эллипса, которая приближается к результату отмеченных интегралов снизу. То есть рассчитанное по ней значение рассматриваемой величины будет немного меньше, чем реальная длина. Эта формула имеет вид: P ≈ pi * [3 * (a+b) – √((3 * a + b) * (a + 3 * b))], где pi = 3,14 – число пи.

Например, пусть длины двух полуосей эллипса будут равны a = 10 см и b = 8 см, тогда его длина P = 56,7 см.

Каждый может проверить, что если a = b = R, то есть рассматривается обычная окружность, тогда формула Рамануджана сводится к виду P = 2 * pi * R.

Отметим, что в школьных учебниках часто приводится другая формула: P = pi * (a + b). Она является более простой, но и менее точной. Так, если ее применить для рассмотренного случая, то получим значение P = 56,5 см.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Кривые второго порядка. Эллипс: формулы и задачи

Видео:165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Если окружность сжимать до эллипса,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипсана рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Если окружность сжимать до эллипса,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Если окружность сжимать до эллипса

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Если окружность сжимать до эллипса Если окружность сжимать до эллипсаперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Если окружность сжимать до эллипса. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Если окружность сжимать до эллипса, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Если окружность сжимать до эллипса

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса.

Точки Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипса, обозначенные зелёным на большей оси, где

Если окружность сжимать до эллипса,

называются фокусами.

Если окружность сжимать до эллипса

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Если окружность сжимать до эллипса

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Если окружность сжимать до эллипса.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Если окружность сжимать до эллипса.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Если окружность сжимать до эллипса

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Если окружность сжимать до эллипса.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса.

Получаем фокусы эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Если окружность сжимать до эллипса, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Если окружность сжимать до эллипса— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Если окружность сжимать до эллипса— расстояния до этой точки от фокусов Если окружность сжимать до эллипса, то формулы для расстояний — следующие:

Если окружность сжимать до эллипса.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Если окружность сжимать до эллипса,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Если окружность сжимать до эллипса,

где Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипса— расстояния этой точки до директрис Если окружность сжимать до эллипсаи Если окружность сжимать до эллипса.

Пример 7. Дан эллипс Если окружность сжимать до эллипса. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Если окружность сжимать до эллипса. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Если окружность сжимать до эллипса.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Если окружность сжимать до эллипса

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Если окружность сжимать до эллипса, а директрисами являются прямые Если окружность сжимать до эллипса.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Если окружность сжимать до эллипса.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Если окружность сжимать до эллипса

Уравнение эллипса готово:

Если окружность сжимать до эллипса

Пример 9. Проверить, находится ли точка Если окружность сжимать до эллипсана эллипсе Если окружность сжимать до эллипса. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Если окружность сжимать до эллипса.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Если окружность сжимать до эллипса

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Если окружность сжимать до эллипса,

так как из исходного уравнения эллипса Если окружность сжимать до эллипса.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Поделиться или сохранить к себе: