Если около трапеции описана окружность свойства

Свойства трапеции, описанной около окружности: формулы и теоремы

Если около трапеции описана окружность свойства

Трапеция — это геометрическая фигура с четырмя углами. При построении трапеции важно учитывать, что две противоположные стороны параллельны, а две другие, наоборот, не параллельны относительно друг друга. Это слово пришло в современность из Древней Греции и звучало как «трапедзион», что означало «столик», «обеденный столик».

Если около трапеции описана окружность свойства

Эта статья рассказывает о свойствах трапеции, описанной около окружности. Также мы рассмотрим виды и элементы этой фигуры.

Содержание
  1. Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция
  2. Свойства трапеции, описанной около окружности
  3. Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность
  4. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  5. Основные свойства трапеции
  6. Сторона трапеции
  7. Формулы определения длин сторон трапеции:
  8. Средняя линия трапеции
  9. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  10. Высота трапеции
  11. Формулы определения длины высоты трапеции:
  12. Диагонали трапеции
  13. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  14. Площадь трапеции
  15. Формулы определения площади трапеции:
  16. Периметр трапеции
  17. Формула определения периметра трапеции:
  18. Окружность описанная вокруг трапеции
  19. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  20. Окружность вписанная в трапецию
  21. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  22. Другие отрезки разносторонней трапеции
  23. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  24. Трапеция. Свойства трапеции
  25. Свойства трапеции
  26. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  27. Вписанная окружность
  28. Площадь
  29. 🔥 Видео

Видео:Около трапеции описана окружностьСкачать

Около трапеции описана окружность

Элементы, виды и признаки геометрической фигуры трапеция

Параллельные стороны в этой фигуре называют основаниями, а те, что не параллельны — боковыми сторонами. При условии, что боковые стороны одинаковой длины, трапеция считается равнобедренной. Трапеция, боковые стороны которой лежат перпендикулярно основанию под углом в 90°, называется прямоугольной.

У этой, казалось бы, незамысловатой фигуры имеется немалое количество свойств, ей присущих, подчеркивающих ее признаки:

  1. Если провести среднюю линию по боковым сторонам, то она будет параллельна основаниям. Этот отрезок будет равен 1/2 разности оснований.
  2. При построении биссектрисы из любого угла трапеции образуется равносторонний треугольник.
  3. Из свойств трапеции, описанной около окружности, известно, что сумма параллельных боковых сторон должна быть равна сумме оснований.
  4. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является основанием трапеции, полученные треугольники будут подобны.
  5. При построении диагональных отрезков, где одна из сторон является боковой, полученные треугольники будут иметь равную площадь.
  6. Если продолжить боковые линии и построить отрезок из центра основания, то образованный угол будет равен 90°. Отрезок, соединяющий основания, будет равен 1/2 их разности.

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Свойства трапеции, описанной около окружности

Заключить окружность в трапецию возможно лишь при одном условии. Данное условие заключается в том, что сумма боковых сторон должна быть ровна сумме оснований. Например, при построении трапеции AFDM применимо AF + DM = FD + AM. Только в таком случае в трапецию можно заключить круг.

Если около трапеции описана окружность свойства

Итак, подробнее о свойствах трапеции, описанной около окружности:

  1. Если в трапецию заключена окружность, то для того, чтобы найти длину ее линии, пересекающей фигуру пополам, необходимо найти 1/2 от суммы длин боковых сторон.
  2. При построении трапеции, описанной около окружности, образованная гипотенуза тождественна радиусу круга, а высота трапеции по совместительству является и диаметром круга.
  3. Еще одним свойством равнобедренной трапеции, описанной около окружности, является то, что ее боковая сторона сразу видна от центра окружности под углом 90°.

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Еще немного о свойствах трапеции, заключенной в окружность

Только равнобедренная трапеция может быть вписана в окружность. Это значит, что нужно соблюсти условия, при которых построенная трапеция AFDM будет отвечать следующим требованиям: AF + DM = FD + MA.

Теорема Птолемея гласит, что в трапеции, заключенной в окружность, произведение диагоналей тождественно и равно сумме умноженных противоположных сторон. Это значит, что при построении окружности, описанной около трапеции AFDM, применимо: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

На школьных экзаменах довольно часто встречаются задачи, требующие решения задач с трапецией. Большое количество теорем необходимо запоминать, но если выучить сразу не получиться — не беда. Лучше всего периодически прибегать к подсказке в учебниках, чтобы эти знания сами собой, без особого труда уложились в голове.

Видео:№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.Скачать

№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Если около трапеции описана окружность свойстваЕсли около трапеции описана окружность свойства
Рис.1Рис.2

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:ПЛАНИМЕТРИЯ ТРАПЕЦИЯ ВСЕ ДЛЯ ЧАЙНИКОВ НА ЕГЭ | ЗОТОТАЯ ЛИХОРАДКА 90-х| ГАРМАШУКСкачать

ПЛАНИМЕТРИЯ ТРАПЕЦИЯ ВСЕ ДЛЯ ЧАЙНИКОВ НА ЕГЭ | ЗОТОТАЯ ЛИХОРАДКА 90-х|  ГАРМАШУК

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:Задание 24 Равнобокая трапеция Описанная окружностьСкачать

Задание 24 Равнобокая трапеция  Описанная окружность

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:ЕГЭ математика 2023 Вариант 2 задача 1Скачать

ЕГЭ математика 2023  Вариант 2 задача 1

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Если около трапеции описана окружность свойства

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Если около трапеции описана окружность свойства

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Если около трапеции описана окружность свойства

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Если около трапеции описана окружность свойства

Видео:Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?Скачать

Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Если около трапеции описана окружность свойства

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Если около трапеции описана окружность свойства

3. Треугольники Если около трапеции описана окружность свойстваи Если около трапеции описана окружность свойства, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Если около трапеции описана окружность свойства

Отношение площадей этих треугольников есть Если около трапеции описана окружность свойства.

Если около трапеции описана окружность свойства

4. Треугольники Если около трапеции описана окружность свойстваи Если около трапеции описана окружность свойства, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Если около трапеции описана окружность свойства

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Если около трапеции описана окружность свойства

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Если около трапеции описана окружность свойства

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Если около трапеции описана окружность свойства

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Если около трапеции описана окружность свойства

Видео:Трапеция в окружности. Задача Шаталова.Скачать

Трапеция в окружности. Задача Шаталова.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Если около трапеции описана окружность свойства

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Если около трапеции описана окружность свойства

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Если около трапеции описана окружность свойства

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Если около трапеции описана окружность свойстваи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Если около трапеции описана окружность свойстваи Если около трапеции описана окружность свойства, то Если около трапеции описана окружность свойства

Если около трапеции описана окружность свойства

Видео:Геометрия Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит ее большему основаниюСкачать

Геометрия Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, принадлежит ее большему основанию

Площадь

Если около трапеции описана окружность свойстваили Если около трапеции описана окружность свойствагде Если около трапеции описана окружность свойства– средняя линия

Если около трапеции описана окружность свойства

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

🔥 Видео

Геометрия Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковаяСкачать

Геометрия Центр окружности, описанной около трапеции, принадлежит большему основанию, а боковая
Поделиться или сохранить к себе: