Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеСвойства хорд и дуг окружности
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеТеорема о бабочке

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Видео:Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
КругЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
РадиусЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
ХордаЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
ДиаметрЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
КасательнаяЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
СекущаяЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Окружность
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательныеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЕсли из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Пересекающиеся хорды
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные
Пересекающиеся хорды
Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Видео:Геометрия Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние отСкачать

Геометрия Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Тогда справедливо равенство

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекаетСкачать

№672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащейСкачать

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Ключевые слова: окружность, касательная, секущая, теорема о секущих, теорема о касательной и секущей

  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB.

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32Скачать

№660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32

Теорема о секущей и касательной

Об этой теореме можно сказать: в учебнике нет, а на экзамене есть. Конечно, в учебнике она тоже есть – но никак не выделена и найти ее почти невозможно.

Множество задач ЕГЭ и ОГЭ решаются с помощью этой теоремы.

Если из точки лежащей вне окружности проведены две касательные

Если из одной точки к окружности проведены секущая и касательная, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной.

Пусть МС – касательная, МВ — секущая к окружности. Покажем, что

Как мы доказали , и это значит, что треугольники МСА и МВС подобны по двум углам.

Запишем соотношение сходственных сторон:
.

🌟 Видео

через точку А, лежащую вне окружности проведены две прямые. Одна прямая касается.. ФИПИСкачать

через точку А, лежащую вне окружности проведены две прямые. Одна прямая касается.. ФИПИ

Из точки С проведены две касательные к окружности с центром в точке ОСкачать

Из точки С проведены две касательные к окружности с центром в точке О

Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружностиСкачать

Из точки A проведены две касательные к окружности с центром в точке O. Найдите радиус окружности

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касаетсяСкачать

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых касается

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекаетСкачать

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые, одна из которых пересекает

№640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательныеСкачать

№640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные

Геометрия Из одной точки проведены к окружности две касательные, длина каждой из которых равна 12 смСкачать

Геометрия Из одной точки проведены к окружности две касательные, длина каждой из которых равна 12 см

№636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиесяСкачать

№636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся

ОГЭ 2023, сборник Ященко, вариант 18, задача 16Скачать

ОГЭ 2023, сборник Ященко, вариант 18, задача 16

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности с центром в точке O, проведены две прямые, однаСкачать

Геометрия Через точку A, лежащую вне окружности с центром в точке O, проведены две прямые, одна

№643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, еслиСкачать

№643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если
Поделиться или сохранить к себе: