Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Если хорды окружности пересекаются под прямым угломОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Если хорды окружности пересекаются под прямым угломСвойства хорд и дуг окружности
Если хорды окружности пересекаются под прямым угломТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Если хорды окружности пересекаются под прямым угломДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Если хорды окружности пересекаются под прямым угломТеорема о бабочке

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
КругЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
РадиусЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
ХордаЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
ДиаметрЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
КасательнаяЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
СекущаяЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
Окружность
Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЕсли хорды окружности пересекаются под прямым угломДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли хорды окружности пересекаются под прямым угломЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЕсли хорды окружности пересекаются под прямым угломБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЕсли хорды окружности пересекаются под прямым угломУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЕсли хорды окружности пересекаются под прямым угломДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЕсли хорды окружности пересекаются под прямым углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Пересекающиеся хорды
Если хорды окружности пересекаются под прямым углом
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если хорды окружности пересекаются под прямым углом
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Если хорды окружности пересекаются под прямым углом
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Если хорды окружности пересекаются под прямым углом
Пересекающиеся хорды
Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Тогда справедливо равенство

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

Если хорды окружности пересекаются под прямым угломДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Доказать : AF ∙ FB=CF ∙ FD

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Что и требовалось доказать .

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

Если хорды окружности пересекаются под прямым угломДано : окружность (O; R), R=14 см, AB — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Проведём через точку M диаметр CD.

Если хорды окружности пересекаются под прямым угломПо свойству отрезков пересекающихся хорд:

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

Если хорды окружности пересекаются под прямым угломДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

Видео:Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CEСкачать

Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CE

Хорда окружности — определение, свойства, теорема

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рисСкачать

Геометрия Хорды AB и CD окружности не пересекаются, а прямые AB и CD пересекаются в точке M см. рис

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | Математика

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Видео:ОКРУЖНОСТЬ (внешне касающиеся окружности с разными радиусами-хорды) ЧАСТЬ 27Скачать

ОКРУЖНОСТЬ (внешне касающиеся окружности с разными радиусами-хорды) ЧАСТЬ 27

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Если хорды окружности пересекаются под прямым углом

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

🔥 Видео

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хордСкачать

Найти радиус окружности если известны длины пересекающихся хорд

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 классСкачать

Как найти длину хорды по радиусу и центральному углу. Геометрия 8-9 класс

39. Теорема об отрезках пересекающихся хордСкачать

39. Теорема об отрезках пересекающихся хорд

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..Скачать

Хорда АВ стягивает дугу окружности в 40 градусов. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной..

Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого углаСкачать

Найти расстояние от центра окружности до вершины прямого угла
Поделиться или сохранить к себе: