Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Прямая линия. Параллельные прямые. Основные понятия.

Две прямые называются параллельными, если, находясь в одной плоскости, они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || СE

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB. Опустим на AB из точки С перпендикуляр СD и затем проведем СE ^ СD, что возможно. Прямая CE параллельна AB.

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M. Тогда из точки M к прямой СD мы имели бы два различных перпендикуляра MD и , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB, т.е. СE параллельна AB.

Следствие.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Так, если прямая СD, проведенная через точку С параллельна прямой AB, то всякая другая прямая СE, проведенная через ту же точку С, не может быть параллельна AB, т.е. она при продолжении пересечется с AB.

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (СE) пересекается с одной из параллельных (СВ), то она пересекается и с другой (AB), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB, что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B) параллельны одной и той же третьей прямой (С), то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M, то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С, что невозможно.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Перпендикуляр EF, пересекаясь с AB, непременно пересечет и СD. Пусть точка пересечения будет H.

Предположим теперь, что СD не перпендикулярна к EH. Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK, будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB: одна СD, по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH.

Видео:10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскостиСкачать

10 класс, 16 урок, Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Лекция по геометрии на тему: «Перпендикулярность в пространстве». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение: Две прямые в пространстве могут пересекаться. (Привести примеры перпендикулярных прямых, используя окружающую обстановку).

Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: a || b, a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc

Доказать: b Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Через т.М | М Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоa, М Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоb и М Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc проведем прямые MA || a и MC || c. Так как a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc (по условию), то Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоАМС =90 0 . По условию a || b и MA || a (по построению) значит, b || MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и c параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90 0 Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоb Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc, что и требовалось доказать.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

(Возможна запись: a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоили Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоa).

Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость.

a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоa Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоb, a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc, a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоd.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: a || b, a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство.

Доказать: b Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Проведем в плоскости Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствопроизвольную прямую с. Так как a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, то a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствос (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярна с. Так как с – произвольная прямая, то b перпендикулярна Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство. (по определению). Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная): Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

(Доказать предлагается учащимся самостоятельно).

Теорема: Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Предлагается 2 способа доказательства.

Дано: a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, bЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, cЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, b x c=0, a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоb, a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc

Доказать: a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Проведем в плоскости Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствопроизвольную прямую р. (Если р не проходит через т.О, то можно провести р | || р через т.О) На прямых a, b, c, и p’ отложим векторы Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствосоответственно. Так как Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, то Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство=xЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство+y Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство(известно из курса планиметрии). Так как a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоb, тоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство· Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство=0; так как a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоc , то Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство·Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство=0. Докажем, что Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство. Найдем их скалярное произведение Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство·Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство= Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство( xЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство+yЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство)=xЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство·Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство+yЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство·Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство=0 Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоa Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоp. Так как p произвольная прямая плоскости Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, то a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство(по определению). Что и требовалось доказать.

Дано: mЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, nЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, m x n=0, l Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоm, l Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоn

Доказать: l Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство.

Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

Проведем прямую p так, чтобы O Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоp и p || l. l Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоm, l Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоn и p || l Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоp Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоn и p Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоm. Пусть P и P1 – точки прямой p такие, что OP=OP1. Тогда m и n –оси симметрии и значит, Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство— плоскость симметрии для этих точек, а следовательно, p Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство. p Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствои p || l Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоl Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство. Что и требовалось доказать.

Замечание: Еще одно доказательство теоремы в учебнике “Геометрия 10-11” Л.С. Атанасяна и др.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:

  • Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
  • Если две плоскости Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствои Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоперпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.
  • Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.
  • Теорема: Через любую точку пространства не принадлежащую плоскости проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

    Дано: Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, А Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство.

    Доказать: Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоa | A Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоa, a Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство.

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Доказательство:

    1. Проведем в Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствопроизвольную прямую а; построим плоскость Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоа, проходящую через т.А Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство=b В плоскости Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствочерез А проведем прямую с | c Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство(c Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоb по построению c Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоа, т.к. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство). Значит, с и есть искомая прямая.
    2. Докажем, что она единственная. Допустим, что это не так и существует прямая с1Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, тогда с || c1 ,что не возможно т.к. с х с1=А. Таким образом, через А проходит только одна прямая к Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    . Что и требовалось доказать

    Можно предложить учащимся подготовить к семинару ответы на следующие вопросы:

  • Верно ли что: если 2 прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то это утверждение при условии, что все три прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?
  • Прямая а || Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство, а b Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство
  • . Существует ли прямая перпендикулярная к прямым а и b?

    Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

    Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

    Геометрия. 10 класс

    Конспект урока

    Геометрия, 10 класс

    Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости

    Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

    1. Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
    2. Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
    3. Решать задачи по теме.

    Глоссарий по теме

    Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

    Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

    Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

    Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

    Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

    Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

    Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

    Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

    Открытые электронные ресурсы:

    Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

    Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой..

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как ас, то ∠АМС=90 о .

    Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

    Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

    Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то аx.

    По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 ⊥ x.

    Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а1 ⊥ α

    Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а.

    Докажем, что прямая b1 совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что аb. Допустим, что прямые b1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b1, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, аb, т.е. b ∊ β, b1 ∊ β, α Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательствоβ = c (невозможно)→ аb

    Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

    Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

    Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

    Предположим, что существует прямая с1, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с1 параллельны. Но по построению прямые с и с1пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

    Теоретический материал для углубленного изучения

    Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Доказательство (см. рис. 1)

    Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

    Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство. В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

    Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

    Выбор элемента из выпадающего списка

    Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DCЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство).

    Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

    Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

    Подсказка: в кубе все углы по Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство. Плоскость (DCЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство), проходит через грань куба DCЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство.

    • Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DCЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство), к грани куба (DDCЕсли две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство).Эти ребра — AD, A1D1, BC, B1C1

    Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

    • Две прямые называются перпендикулярными, если …..
    • Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

    • Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство
    • Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство
    • параллельны
    • один
    • она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.
    • перпендикулярна плоскости.

    Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

    Две прямые называются перпендикулярными, если …

    угол между ними равен 90Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой то они параллельны доказательство

    Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

    перпендикулярна и другой

    Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

    Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

    Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

    🎥 Видео

    10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

    10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

    Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

    Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

    Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать

    Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||

    ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

    ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 класс

    Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

    Параллельность прямых. 10 класс.

    Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

    Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

    7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

    №123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.Скачать

    №123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.

    10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространствеСкачать

    10 класс, 15 урок, Перпендикулярные прямые в пространстве

    Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)Скачать

    Геометрия 10 класс (Урок№8 - Перпендикулярность прямой и плоскости.)

    7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямыеСкачать

    7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые

    Теорема о двух прямых, параллельных третьейСкачать

    Теорема о двух прямых, параллельных третьей

    Перпендикулярные прямыеСкачать

    Перпендикулярные прямые

    Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

    Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

    10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскостиСкачать

    10 класс, 17 урок, Признак перпендикулярности прямой и плоскости

    Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

    Перпендикулярные прямые. 6 класс.

    Перпендикулярность прямой и плоскости. Видеоурок 7. Геометрия 10 классСкачать

    Перпендикулярность прямой и плоскости. Видеоурок 7. Геометрия 10 класс
    Поделиться или сохранить к себе: