Если две прямые перпендикулярны к плоскости то они параллельны доказательство кратко (8 видео)

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок № 8 Перпендикулярность прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых по теме

Ввести понятие перпендикулярных прямых в пространстве;
Доказать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых;
Решать задачи по теме.

Глоссарий по теме

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 10-11 кл. Базовый и профильный уровень. М.: Просвещение, 2015. С.1-10.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 9 класса. Базовый и профильный уровень

Зив Б.Г. Геометрия. Дидактические материалы. 10-11 класс М.: Просвещение, 2015.

Открытые электронные ресурсы:

Перпендикулярность прямой и плоскости. http://school-collection.edu.ru // Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

Перпендикулярность прямой и плоскости. https://www.yaklass.ru // Я-класс. Образовательный портал Сколково.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Через точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с. Так как а ⊥ с, то ∠АМС=90 о .

Итак, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между ними равен 90 о , т.е. b ‖ МА, с ‖ МС, угол между МА и МС равен 90 о

Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90 о , то есть b ⊥ с.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Проведем какую-нибудь прямую x в плоскости α, т.е. x ∊ α.Так как а ⊥ α, то а ⊥ x.

По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а₁ ⊥ x.

Таким образом, прямая а₁ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т. е. а₁ ⊥ α

Теорема. Ели две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁, параллельную прямой а.

Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будем доказано, что а ‖ b. Допустим, что прямые b₁ и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b₁, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, следовательно, а ‖ b, т.е. b ∊ β, b₁ ∊ β, α β = c (невозможно)→ а ‖ b

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b – линия пересечения плоскостей α и γ.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Теоретический материал для углубленного изучения

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

Выбор элемента из выпадающего списка

Выпишите ребра, перпендикулярные плоскости (DC).

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Подсказка: в кубе все углы по . Плоскость (DC), проходит через грань куба DC.

Разбор задания: Куб – это геометрическая фигура у которой все углы прямые, следовательно нужно увидеть ребра которые перпендикулярны к плоскости (DC), к грани куба (DDC).Эти ребра — AD, A₁D₁, BC, B₁C₁

Закончите предложение, чтобы получилось верное утверждение.

Две прямые называются перпендикулярными, если …..
Если плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она ……

параллельны
один
она перпендикулярна к любой прямой, лежай в этой плоскости.
перпендикулярна плоскости.

Правильный вариант/варианты (или правильные комбинации вариантов):

Две прямые называются перпендикулярными, если …

угол между ними равен 90

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она …

перпендикулярна и другой

Неправильный вариант/варианты (или комбинации):

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к третьей прямой.

Теорема: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ перпендикулярные к плоскости 10 классСкачать

Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых в пространстве, перпендикулярность прямой и плоскости и параллельные прямые, которые перпендикулярны к плоскости.
Вначале дадим определение двух перпендикулярных прямых в пространстве и их обозначение. Рассмотрим и докажем лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой. Далее дадим определение прямой, перпендикулярной к плоскости, и рассмотрим свойство такой прямой, при этом вспомнив взаимное расположение прямой и плоскости. Далее докажем прямую и обратную теорему о двух параллельных прямых, перпендикулярных к плоскости.
В конце урока решим две задачи на перпендикулярность прямых в параллелепипеде и тетраэдре.

Видео:№123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.Скачать

Лекция по геометрии на тему: «Перпендикулярность в пространстве». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение: Две прямые в пространстве могут пересекаться. (Привести примеры перпендикулярных прямых, используя окружающую обстановку).

Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: a || b, a c

Доказать: b c

Через т.М | М a, М b и М c проведем прямые MA || a и MC || c. Так как a c (по условию), то АМС =90 0 . По условию a || b и MA || a (по построению) значит, b || MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и c параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90 0 b c, что и требовалось доказать.

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

(Возможна запись: a или a).

Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость.

a a b, a c, a d.

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: a || b, a .

Доказать: b .

Проведем в плоскости произвольную прямую с. Так как a , то a с (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярна с. Так как с – произвольная прямая, то b перпендикулярна . (по определению). Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная): Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

(Доказать предлагается учащимся самостоятельно).

Теорема: Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Предлагается 2 способа доказательства.

Дано: a , b, c, b x c=0, a b, a c

Доказать: a .

Проведем в плоскости произвольную прямую р. (Если р не проходит через т.О, то можно провести р | || р через т.О) На прямых a, b, c, и p’ отложим векторы , , и соответственно. Так как , и , то =x+y (известно из курса планиметрии). Так как a b, то · =0; так как a c , то ·=0. Докажем, что . Найдем их скалярное произведение ·= ( x+y)=x·+y·=0 a p. Так как p произвольная прямая плоскости , то a (по определению). Что и требовалось доказать.

Дано: m, n, m x n=0, l m, l n

Доказать: l .

Проведем прямую p так, чтобы O p и p || l. l m, l n и p || l p n и p m. Пусть P и P₁ – точки прямой p такие, что OP=OP₁. Тогда m и n –оси симметрии и значит, — плоскость симметрии для этих точек, а следовательно, p . p и p || l l . Что и требовалось доказать.

Замечание: Еще одно доказательство теоремы в учебнике “Геометрия 10-11” Л.С. Атанасяна и др.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Если две плоскости

Если две прямые перпендикулярны к плоскости то они параллельны доказательство кратко

перпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.

Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Теорема: Через любую точку пространства не принадлежащую плоскости проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Дано: , А .

Доказать: a | A a, a .

Доказательство:

Проведем в произвольную прямую а; построим плоскость а, проходящую через т.А =b В плоскости через А проведем прямую с | c (c b по построению c а, т.к. ). Значит, с и есть искомая прямая.
Докажем, что она единственная. Допустим, что это не так и существует прямая с₁, тогда с || c₁ ,что не возможно т.к. с х с₁=А. Таким образом, через А проходит только одна прямая к

. Что и требовалось доказать

Можно предложить учащимся подготовить к семинару ответы на следующие вопросы:

Верно ли что: если 2 прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то это утверждение при условии, что все три прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Прямая а ||

, а b

. Существует ли прямая перпендикулярная к прямым а и b?