Как мы знаем, прямые либо пересекаются (т.е. имеют одну общую точку), либо не пересекаются (т.е. не имеют ни одной общей точки).
Определение 1. Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются.
Если прямые a и b параллельны, то это обозначают так:
. |
На рисунке Рис.1 изображены прямые a и b, которые перпендикулярны к прямой c. В этом случае эти прямые не пересекаются (см. статью Перперндикулярные прямые), т.е. они параллельны (Определение 1).
Понятие параллельности можно распространять и на отрезки.
Определение 2. Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых (Рис.2).
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, двух лучей, луча и прямой.
На Рис.3 отрезок AB пераллелен к прямой a поскольку прямая, проходящай через отроезок AB параллельна прямой a. На рисунке Рис.4 отрезок AB пераллелен к лучу a так как прямые, проходящие через отрезок AB и луч a параллельны. Для Рис.5 и Рис.6 можно сделать аналогичные рассуждения.
Видео:Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать
Признаки параллельности прямых
Определение 3. Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает их в двух точках.
При пересечении прямой c с a и b образуются восемь углов, некоторые пары из которых имеют специальные названия (Рис.7):
- накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
- односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
- соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.
Определим признаки параллельности двух прямых, связанные с этими парамы углов.
Теорема 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Предположим, что при пересечении прямых a и b секущей AB накрест лежащие углы равны: (Рис.8).
Докажем, что .
Если углы 1 и 2 прямые (Рис.9), то получается, что прямые a и b перпендикулярны прямой AB и, следовательно, они параллельны (теорема 1 статьи Перперндикулярные прямые и определение 1 настоящей статьи).
Предположим, что углы 1 и 2 не прямые (Рис.10).
Найдем середину отрезка AB и обозначим через O. Из точки O проведем перпендикуляр OM к прямой a. На прямой b отложим отрезок BN равной отрезку MA. Треугольники OAM и OBN равны по двум сторонам и углу между ними, так как OA=OB, MA=NB, . Тогда и .
означает, что точка N лежит на продолжении луча MO, т.е. точки M, O, N лежат на одной прямой. Угол BNO прямой (поскольку угол AMO прямой). Получается, что прямые a и b перпендикулярны к прямой MN, следовательно они параллельны.
Теорема 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с соответственные углы равны, например (Рис.11).
Так как углы 2 и 3 вертикальные, то . Тогда из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1, прямые a и b параллельны.
Теорема 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
Доказательство. Пусть при пересечении прямых a и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например (Рис.11). Из рисунка видно, что углы 4 и 3 смежные, т.е. . Из и следует, что . Но углы 1 и 3 накрест лежащие и, по теореме 1 прямые a и b параллельны.
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
Параллельность прямой и плоскости
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Данный урок посвящен теме «Параллельность прямой и плоскости». На этом уроке мы обсудим параллельность прямой и плоскости как один из трех возможных вариантов их взаимного расположения в пространстве, рассмотрим ситуацию плоскость параллельная прямой. Сформулируем теорему и докажем ее и два утверждения, которые часто используются при решении задач на эту тему.
Видео:№35. Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а.Скачать
1. Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?
Нет. Параллельные прямые должны еще и лежать в одной плоскости.
Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №1
к главе «Вопросы к главе I Параллельность прямых и плоскостей.».
Выделите её мышкой и нажмите CTRL + ENTER
Большое спасибо всем, кто помогает делать сайт лучше! =)
Нажмите на значок глаза возле рекламного блока, и блоки станут менее заметны. Работает до перезагрузки страницы.
🔍 Видео
10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать
Параллельность прямых. 10 класс.Скачать
10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать
Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать
Задание № 3 из раздела Проверь себя - Геометрия 7 класс МерзлякСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать
№123. Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.Скачать
Параллельные прямые (задачи).Скачать
ТОЧКИ и ПРЯМЫЕ. §1 геометрия 7 классСкачать
10 класс, 2 урок, Аксиомы стереометрииСкачать
Теорема 13.1. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны || Геометрия 7 класс ||Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать
1 признак параллельности прямых.Скачать
10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать