Площадь ортогональной проекции треугольника

Ортогональное проецирование:

Параллельное проецирование, направление которого перпендикулярно плоскости проекции, называется ортогональным проецированием. Проекция фигуры, образующаяся при ортогональном проецировании, называется ортогональной проекцией, или просто проекцией этой фигуры.

Поскольку ортогональное проецирование является особым видом параллельного проецирования, то для него выполняются все свойства последнего. Ортогональной проекцией прямой

Отметим, что прямые, перпендикулярные одной из параллельных плоскостей, перпендикулярны и остальным, поэтому ортогональное проецирование на одну из таких плоскостей будет ортогональным и на остальные плоскости. Очевидно, что ортогональные проекции фигуры на параллельные плоскости равны между собой.

Ортогональное проецирование также имеет только ему присущие свойства. Одно из них выражает теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Площадь ортогональной проекции

Теорема 5

Площадь ортогональной проекции произвольного многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Как пример многоугольника возьмем (рис. 6.41). Проекцией на плоскость является . Проведем высоту треугольника . По теореме
о трех перпендикулярах — высота . Угол — угол между плоскостью и плоскостью проекции. Пусть . Тогда

Учитывая, что прямоугольный , имеем:. Поэтому

Итак, . Теорема доказана.

Чтобы доказать теорему для произвольного многоугольника, его разбивают на треугольники. Тогда для каждого треугольника и его проекции можно записать равенство

где поскольку угол между плоскостями этих треугольников и плоскостью их проекций будет один и тот же. Все эти равенства сложим почленно:

Получим в левой части равенства площадь проекции многоугольника, а в правой — площадь самого многоугольника, умноженную на косинус угла между их плоскостями. Отсюда

Т.е. и для этого случая теорема истинна.

Пример:

Ортогональной проекцией треугольника является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Плоскость треугольника образует с плоскостью проекции угол 60°. Вычислите площадь данного треугольника.

Воспользуемся рисунком 6.41. Известно, что площадь проекции треугольника вычисляют по формуле:

где — угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции.
По формуле Герона найдем площадь :

где — полупериметр треугольника, — его стороны.

Тогда

• Декартовы координаты на плоскости
• Декартовы координаты в пространстве
• Геометрические преобразования в геометрии
• Планиметрия — формулы, определение и вычисление
• Параллельность прямых и плоскостей
• Перпендикулярность прямой и плоскости
• Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
• Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Площадь ортогональной проекции многоугольникаСкачать

Презентация по теме «Площадь ортогональной проекции», 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Площадь ортогональной проекцииСкачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Площадь ортогональной проекции 30.04.2020

Время выполнения работ по ЕГЭ

Решение задач: № 46 Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим основанием АВ лежат в различных плоскостях, угол между которыми равен а. Найдите cosα, если: 1) АВ = 24 см, АС = 13 см, AD = 37 см, CD = 35 см

Решение задач: № 45 Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание равно 16 м, боковая сторона одного треугольника 17 м, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников.

Решение задач: № 47

Формулы площадей фигур

Площадь ортогональной проекции Если угол увеличивается, то площадь ортогональной проекции — ?

Решение задач: № 48 (1) а 30 0

Домашнее задание 1

Домашнее задание: 1. Разобрать п.34, доказать теорему; 2. Решить задачу со звездочкой; 3. Решить задачи № 48(2), № 49 (1). Ответы на задания необходимо прислать до 20.00 6 мая. Удачи!

Спасибо за урок!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 943 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 679 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 306 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Урок 17. Площадь ортогональной проекции Задание 14 ЕГЭ по математике. Стереометрия с нуля.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 501 085 материалов в базе

Видео:№ 48 - Геометрия 10-11 класс ПогореловСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 26.08.2020
• 102

• 26.08.2020
• 118

• 26.08.2020
• 119

• 26.08.2020
• 262

• 26.08.2020
• 209

• 26.08.2020
• 239

• 25.08.2020
• 349

• 25.08.2020
• 219

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 26.08.2020 2044 —> —> —> —>
• PPTX 1.7 мбайт —> —>
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мяснова Светлана Александровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 6 месяцев
• Подписчики: 1
• Всего просмотров: 44749
• Всего материалов: 66

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Теорема о площади проекцииСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

День памяти жертв холокоста включен в примерный план воспитательной работы

Время чтения: 1 минута

Учителя и воспитатели детсадов Подмосковья будут получать дополнительно 5 тыс. рублей

Время чтения: 1 минута

Большинство российских вузов используют смешанный формат обучения

Время чтения: 1 минута

Большинство российских школьников недовольны качеством питания в столовых

Время чтения: 1 минута

В Петербурге введут новые COVID-ограничения для несовершеннолетних

Время чтения: 2 минуты

Минспорта утвердило программу подготовки киберспортсменов

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Площадь ортогональной проекции многогранникаСкачать

Стереометрия. Страница 4

Видео:Площадь ортогональной проекции многоугольникаСкачать

1. Декартовы координаты в пространстве

Пусть заданы три взаимно перпендикулярные прямы x,y,z (Рис.1). Если провести через каждую пару прямых плоскость, то получим три взаимно перпендикулярные плоскости xy,xz,yz. Тогда прямые x,y,z будут называться осями координат, а точка пересечения О началом координат. Каждую ось точка О разбивает на две полуоси: положительную и отрицательную.

Возьмем теперь произвольную точку, например точку А. Тогда для того, чтобы определить координаты точки А, необходимо провести три плоскости, проходящие через точку А и параллельные плоскостям XY, XZ, YZ. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат Аx, Ay, Az и будут являться координатами точки А, которые записываются так: А (Ax, Ay, Az).

Рис. 1 Декартовы координаты в пространстве.

Видео:Площадь ортогональной проекцииСкачать

2.Расстояние между двумя точками

Пусть задана декартова система координат с осями X, Y, Z (Рис.2). Необходимо найти расстояние между двумя точками А (x₁;y₁;z₁) и В (x₂;y₂;z₂).

Проведем два перпендикуляра от точек А и В на плоскость XY. Они пересекут плоскость XY в точках A’ и B’. Теперь проведем плоскость через точку А и параллельную плоскости XY. Тогда расстояние между точками по теореме Пифагора будет равно:

AB 2 = AC 2 + BC 2

Таким образом, расстояние между двумя точками вычисляется по следующей формуле:

Рис.2 Расстояние между двумя точками

Видео:Занятие 12 Площадь ортогональной проекцииСкачать

3. Преобразование симметрии в пространстве

Преобразование фигур в пространстве определяется таким же образом, как и преобразование фигур на плоскости (Рис.3). Помимо преобразования относительно точки и преобразования относительно прямой, в пространстве рассматривают преобразование относительно плоскости.

Пусть в пространстве задана плоскость α. В не этой плоскости задан квадрат со сторонами АВСD. Каждую точку нашей фигуры проецируем на плоскость α. А затем откладываем такое же расстояние по другую стороны плоскости и получаем преобразованную фигуру A»B»C»D». Таким образом, точки A»B»C»D» симметричны точкам ABCD относительно плоскости так же, как и все точки квадрата ABCD. Такое преобразование называется преобразованием относительно плоскости. А плоскость называется плоскостью симметрии. Если точка принадлежит плоскости α, то она переходит в саму себя.

Рис. 3 Преобразование симметрии в пространстве.

4. Движение в пространстве

Движение в пространстве определяется таким же образом, как и на плоскости. При движении в пространстве сохраняются расстояния между точками. И так же, как и на плоскости, прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, углы между полупрямыми сохраняются. Новым свойством, которым обладает движение в пространстве, являются то, что при движении плоскость переходит в плоскость.

Пусть задана плоскость α. Отметим на ней точки А,В,С не лежащие на одной прямой и построим на них треугольник (Рис.4). При движении эти точки передут в точки A’, B’, C’ также не лежащие на одной прямой. Проведем на плоскости α прямую, перескающую треугольник в точках X и Y и отметим на ней точку Z. При движении точки X и Y передут в точки X’ и Y’, прямая а передет в прямую a’. Следовательно она будет принадлежать плоскости α’. Таким образом, плоскость α переходит в плоскость α’. При движении фигур в пространстве, две фигуры называются равными, если они переходят сами в себя, т.е. совмещаются.

Рис. 4 Движение в пространстве.

Видео:10-класс. Урок геометрии. 28.04.2020 г.Скачать

Параллельный перенос

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование фигуры, при котором все ее точки с координатами (z; y; z) переходят в точки с координатами (x+a; y+b; z+c), где a, b, c — постоянные числа.

Парралельный перенос в пространстве задается формулами:

x’ = x + a
y’ = y + b
z’ = z + c

Видео:Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Подобие пространственных фигур

Преобразование подобия фигур в пространстве (гомотетия) определяется таким же образом, как и на плоскости. (Рис. 4.1)

При преобразования подобия расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Прямые переходят в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Углы между полупрямыми сохраняются. При преобразовании подобия плоскость, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную плоскость. Так же, как и на плоскости преобразование подобия с коэффициентом гомотетии k переводит точки A и B в точки A’ и B’, отрезок АВ в отрезок A’B’ = k AB.

Рис. 4.1 Подобие пространственных фигур.

Видео:Площадь ортогональной проекции многоугольника.AVIСкачать

5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть задана плоскость α. Прямая с пересекает плоскость α в точке А (Рис.5). Точка А лежит на прямой c’. Прямая c’ называется проекцией прямой с на плоскость α. Таким образом, углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Т.е. угол между прямой с и c’.

Если прямая будет перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью будет составлять 90°. Если параллельна — то 0°.

Рис. 5 Угол между прямой и плоскостью.

Видео:Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

6. Угол между плоскостями

Пусть заданы две пересекающиеся плоскости α и β (Рис.6). Проведем плоскость γ, которая перпендикулярна их прямой пересечения с. Плоскость γ пересекает данные плоскости по прямым а и b. Угол между прямыми а и b и есть угол между данными плоскостями α и β.

Возьмем другую секущую плоскость γ’, которая параллельна γ и перпендикулярна прямой с. Она пересечет плоскости α и β по прямым a’ и b’. Если мы выполним параллельный перенос плоскости γ вдоль прямой с, то т.к. прямые а и a’ находятся в одной плоскости α и перпендикулярны прямой с, следовательно они совпадут. Таким образом, угол между плоскостями не зависит от секущей плоскости.

Рис. 6 Угол между плоскостями.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

7. Векторы в пространстве

Так же, как и на плоскости, в пространстве вектор — это направленный отрезок. Любой вектор имеет абсолютную величину и направление. Каждый вектор имеет три координаты а (x; y; z) (Рис.7).

Если вектор имеет начальную и конечную точки А и В, то его координатами будут числа: АВ (x₂ — x₁; y₂ — y₁; z₂ — z₁). Вектора с равными координатами равны.

Видео:Ортогональное проектирование Теорема о трех перпендикулярахСкачать

Действия над векторами

Действия над векторами в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

Рис. 7 Векторы в пространстве.

Видео:Ортогональная проекция и ортогональная составляющая. ТемаСкачать

8. Площадь ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.

Пусть задана плоскость α. Треугольник АВС имеет сторону АВ в плоскости α и расположен под некоторым углом к этой плоскости. BF — высота треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах B’F — высота треугольника AB’C. Угол ϕ между треугольником АВС и его проекцией равен углу между плоскостями, в которых они находятся, т.е. углу BFB’. Таким образом:

Если геометрическая фигура представляет собой многоугольник, то площадь ортогональной проекции можно найти, разбив его на простые треугольники, в которых хотя бы одна сторона будет параллельна плоскости проекции.

Рис. 8 Площадь ортогональной проекции многоугольника.

9. Пример 1

Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.

Доказательство:

Пусть дана плоскость α. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b. Они пересекаются в точке О (Рис.9). Доказать, что при движении плоскость α переходит в плоскость α’.

Подвергнем две прямые а и b движению.Тогда они перейдут в прямые a’ и b’ с точкой пересечения O’. Угол ϕ между ними сохранится. Проведем через прямые a’ и b’ плоскость α’.

Если в плоскости α провести прямую с, то она пересечет прямые а и b в точках А и В. При движении прямая с перейдет в прямую с’. А точки А и В перейдут в точки A’ и B’.

Таким образом, две точки A’ и B’ принадлежат плоскости α’, так как прямая с’ пересекает прямые а’ и b’ в этих точках. А следовательно и вся прямая c’, т.е. все ее точки, принадлежат плоскости α’. Отсюда следует, что плоскость α переходит в плоскость α’.

Рис.9 Задача. Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.

Пример 2

В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0), равноудаленную от трех данных точек: А (1; 1; 1), В (1; 2; 2), С (2; 0; 1).

Решение:

Так как расстояние от точки D до точек А, В и С одинаковое, то можно составить следующие соотношения:

AD 2 = (x — 1) 2 + (y — 1) 2 + (0 — 1) 2

BD 2 = (x — 1) 2 + (y — 2) 2 + (0 — 2) 2

CD 2 = (x — 2) 2 + (y — 0) 2 + (0 — 1) 2

Приравняем первое и второе уравнения:

y 2 — 2y + 2 = y 2 — 4y + 8

Теперь приравняем второе и третье уравнения:

x 2 — 4x + 4 + y 2 + 1 = x 2 — 2x + 1 + y 2 — 4y + 4 + 4

Подставляя y = 3, получим х = 4 и D (4;3;0).

Рис.10 Задача. В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0).

Пример 3

Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: А (0; 2; 1), В (1; 1; 1), С (2; 2; 3), D (1; 3; 3).

Решение:

По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются в точке, которая делит их пополам. Следовательно, можно найти середины отрезков АС и BD:

x_AC = (2 + 0) / 2 = 1; y_AC = (2 + 2) / 2 = 2; z_AC = (1 + 3) / 2 = 2

x_BD = (1 + 1) / 2 = 1; y_BD = (1 + 3) / 2 = 2; z_BD = (3 + 1) / 2 = 2

Так как координаты середин отрезков АС и BD совпадают, то АВСD является параллелограммом (Рис. 11).

Рис.11 Задача. Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом.

Пример 4

Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м, проведены две наклонные, которые пересекают плоскость в точках А и В. Они образуют с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние АВ между точками пересечения наклонных с плоскостью.

Решение:

Из прямоугольного треугольника СОВ (Рис.12) найдем СВ:

СВ = СО / sin 30° = 4 / 1 / 2 = 8 м.

Из прямоугольного треугольника СОА найдем СА:

АС = СО / sin 45° = 4 / 1 / = 4 м.

Теперь из прямоугольного треугольника АВС найдем АВ:

АВ 2 = CВ 2 + АС 2

АВ 2 = 8 2 + (4) 2

АВ = 4 м.

Рис.12 Задача. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м.

Пример 5

Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.

Решение:

Из прямоугольного треугольника АВО найдем ВО (Рис.13):

ВО = АВ sin 45° = АВ /

Из прямоугольного треугольника АВС найдем ВС:

ВС 2 = AB 2 + AC 2 = 2 AB 2 (т.к. АВ = АС по условию задачи)

ВС = AB

Теперь из прямоугольного треугольника ВОС найдем синус угла ВСО:

sin ∠BCO = BO / BC = АВ / / AB = 1/2

Отсюда следует, что ∠ ВСО = 30°.

Рис.13 Задача. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника.

📽️ Видео

Построение треугольника в трёх проекцияхСкачать

10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать