Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Центральный угол окружности

Центральный угол окружности — это угол, образованный двумя радиусами окружности, вершина которого совпадает с центром окружности.

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

O — центр окружности, AO и OB — радиусы окружности, образующие два центральных угла с вершиной в центре O.

Дуга, лежащая во внутренней области угла, называется дугой, соответствующей этому центральному углу.

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Углу AOB соответствует две дуги с концами A и B. Если угол AOB является развёрнутым, то он будет разделять окружность на две равные дуги, называемые полуокружностями:

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

∠AOB — развёрнутый угол, Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяALB и Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAMB — полуокружности.

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Градусная мера дуги окружности

Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги — это градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Если дуга AB окружности с центром O меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла AOB. Если же дуга больше полуокружности, то её градусная мера считается равной 360° —∠AOB:

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAMB = ∠AOB = 180°;

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяNLB = ∠NOB = 135°;

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяNMB = 360° — ∠NOB = 360° — 135° = 225°.

Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°:

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAMB + Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяALB = 360°.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

Геометрия. 8 класс

Рассмотрим окружность с центром в точке O. Отметим на окружности две точки A и В.

Они разделяют окружность на две дуги. Для того, чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку и обозначают дуги тремя буквами.
Например, дуга AСВ и дуга ADB.
ACB и ∪ ADB
Когда понятно, о какой дуге идет речь, то её обозначают двумя буквами.
Например, дуга АС.
АС
Если отрезок, соединяющий концы дуги, является диаметром окружности, то дуга называется полуокружностью.
Любой диаметр делит окружность на две полуокружности.
Рассмотрим угол, вершина которого находится в центре окружности.

Дадим определение: Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
Центральному углу NОM соответствуют две дуги с концами N и M.
Центральный угол может быть развернутым и неразвернутым. Если центральный угол развернутый, то ему соответствуют две полуокружности.

NOM — центральный угол
Если центральный угол неразвернутый, то дуга, расположенная внутри этого угла меньше полуокружности. На рисунке эта дуга выделена цветом.

Про другую дугу, соответствующую центральному углу говорят, что она больше полуокружности. На рисунке это дуга NKM.

Дугу окружности можно измерять в градусах.
Если дуга MN окружности с центром в точке O равна полуокружности или меньше полуокружности, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла NOM.

NKM = 180° ∪ NM = ∠NOM ∪ NKM = 360° — ∠NOM
Если дуга MN больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной разности 360° и градусной меры ∠NOM.
Таким образом, градусная мера дуги равна градусной мере соответствующего центрального угла или угла, дополняющего центральный угол до 360°.
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Видео:Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | ИнфоурокСкачать

Градусная мера дуги окружности | Геометрия 7-9 класс #70 | Инфоурок

§ 2. Центральные и вписанные углы

Градусная мера дуги окружности

Отметим на окружности две точки А и В. Они разделяют окружность на две дуги. Чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку, например L и М (рис. 214). Обозначают дуги так: Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяALB и Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAMВ. Иногда используется обозначение без промежуточной точки: Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAB (когда ясно, о какой из двух дуг идёт речь).

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности. На рисунке 215, а изображены две полуокружности, одна из которых выделена цветом.

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают её в точках А к В. Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В (рис. 215). Если ∠АОВ развёрнутый, то ему соответствуют две полуокружности (рис. 215, а). Если ∠АОВ неразвёрнутый, то говорят, что дуга АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. На рисунке 215, б эта дуга выделена цветом. Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности (дуга ALB на рисунке 215, в).

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга А В окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ (см. рис. 215, а, б). Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной 360° — ∠АОВ (см. рис. 215, в).

Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.

Градусная мера дуги АВ (дуги ALB), как и сама дуга, обозначается символом Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяАВ (Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяALB). На рисунке 216 градусная мера дуги САВ равна 145°. Обычно говорят кратко: «Дуга САВ равна 145°» и пишут: Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяCAB =145°. На этом же рисунке Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяADB = 360° — 115° = 245°, Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяCDB = 360° — 145° = 215°, Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяDВ = 180°.

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Теорема о вписанном угле

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают, окружность, называется вписанным углом.

На рисунке 217 угол АВС вписанный, дуга АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу АМС. Докажем теорему о вписанном угле.

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть ∠ABC — вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис. 218). Докажем, что Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяРассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис. 218, а). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому ∠AOC = Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAC. Так как угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Отсюда следует, что

2∠1 = Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAC или Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

2) Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (рис. 218, б). Точка D разделяет дугу АС на две дуги: Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAD и Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяDC. По доказанному в п. 1)

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Складывая эти равенства, получаем:

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

3) Луч ВО не делит угол ABC на два угла и не совпадает со стороной этого угла. Для этого случая, пользуясь рисунком 218, в, проведите доказательство самостоятельно.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 219).

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Вписанный угол, опирающийся на полуокруж ность, — прямой (рис. 220).

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Используя следствие 1, докажем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть хорды АВ и CD пересекаются в точке Е (рис. 221). Докажем, что

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

Рассмотрим треугольники ADE и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников ΔADE ∼ ΔCBE. Отсюда следует, что Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяили АЕ • BE = СЕ • DE. Теорема доказана.

Задачи

649. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB = 180°.

650. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB =180°.

651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны.

а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D.
б) Найдите дуги с концами С и D, если ∠AOB = 112°.

652. На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяАС = 37°, Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяBD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15см.

653. Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°.

654. По данным рисунка 222 найдите х.

Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считается

655. Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

656. Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС.

657. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.

658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяBD = 110°20′.

659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.

661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 140° и 52°.

662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяAD = 54°, Если дуга окружности больше полуокружности то градусная мера считаетсяBC = 70°.

663. Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.

664. Прямая AM — касательная к окружности, АВ — хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

665. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то ∠C > ∠A и ∠C > ∠B.

666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если:

а) АЕ = 5, ВЕ = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = 16, ВЕ = 9, CE = ED;
в) АЕ = 0,2, BE = 0,5, СЕ = 0,4.

667. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1 и пересекает её в точке С. Найдите ВВ1 если АС = 4 см, СА1 = 8 см.

668. Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

669. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.

670. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ 2 = АР • AQ.

671. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите CD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, AD = 10 см.

672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В1 и С1, а другая — в точках В2 и С2. Докажите, что АВ1 • АС1 = АВ2 • АС2.

673. К данной окружности постройте касательную, проходящую через данную точку вне окружности.

Пусть даны окружность с центром О и точка А вне этой окружности. Допустим, что задача решена и АВ — искомая касательная (рис. 223). Так как прямая АВ перпендикулярна к радиусу ОВ, то решение задачи сводится к построению точки В окружности, для которой ∠ABO прямой. Эту точку можно построить следующим образом: проводим отрезок ОА и строим его середину О1. Затем проводим окружность с центром в точке Ох радиуса О1А. Эта окружность пересекает данную окружность в двух точках: В1В1. Прямые АВ и АВ1 — искомые касательные, так как АВ ⊥ ОВ и АВ1 ⊥ ОВ1. Действительно, углы АВО и АВ1O, вписанные в окружность с центром О1, опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Очевидно, задача имеет два решения.

🎬 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

72. Градусная мера дуги окружностиСкачать

72. Градусная мера дуги окружности

Градусная мера дуги окружностиСкачать

Градусная мера дуги окружности

Градусная мера дуги окружности. Центральные углыСкачать

Градусная мера дуги окружности. Центральные углы

7 класс, 9 урок, Градусная мера углаСкачать

7 класс, 9 урок, Градусная мера угла

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Радианная мера угла. 9 класс.Скачать

Радианная мера угла. 9 класс.

Градусная мера угла. 9 класс.Скачать

Градусная мера угла. 9 класс.

Задача 6 №27886 ЕГЭ по математике. Урок 123Скачать

Задача 6 №27886 ЕГЭ по математике. Урок 123

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№29 - Радианная мера угла.)

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр
Поделиться или сохранить к себе: